Superficies
Ejercicios desarrollados en clases
2. 29nde abril
Ejercicios de superficie de cuerpos geométricos
Objetivos
- Calcular la superficie total de cubos, ortoedros, prismas rectos y cilindros.
- Identificar correctamente el área basal y el área lateral según el cuerpo geométrico.
- Aplicar fórmulas de superficie en contextos geométricos simples.
Recuerdo general
La superficie total de un cuerpo geométrico corresponde a la suma de las áreas de todas sus caras.
En prismas y cilindros se usa con frecuencia la idea:
\[ S_T=2A_b+A_L \]
donde \(A_b\) es el área de una base y \(A_L\) es el área lateral.
Cubos
Recuerdo de fórmula: cubo
Un cubo tiene 6 caras cuadradas iguales. Si la arista mide \(a\), entonces:
\[ S_T=6a^2 \]
Ejercicio 1: superficie de un cubo
Calcula la superficie total de un cubo cuya arista mide \(5\text{ cm}\).
Para un cubo se usa:
\[ S_T=6a^2 \]
Como \(a=5\), reemplazamos:
\[ S_T=6\cdot 5^2 \]
\[ S_T=6\cdot 25=150 \]
La superficie total del cubo es \(150\text{ cm}^2\).
Ejercicio 2: superficie de un cubo
Calcula la superficie total de un cubo cuya arista mide \(8\text{ m}\).
La fórmula de la superficie total de un cubo es:
\[ S_T=6a^2 \]
Como \(a=8\), se tiene:
\[ S_T=6\cdot 8^2 \]
\[ S_T=6\cdot 64=384 \]
La superficie total del cubo es \(384\text{ m}^2\).
Ejercicio 3: encontrar la superficie a partir de la arista
Una caja con forma de cubo tiene aristas de \(12\text{ cm}\). ¿Cuál es su superficie total?
Como la caja tiene forma de cubo, todas sus caras son cuadrados iguales.
Usamos:
\[ S_T=6a^2 \]
Con \(a=12\):
\[ S_T=6\cdot 12^2 \]
\[ S_T=6\cdot 144=864 \]
La superficie total de la caja es \(864\text{ cm}^2\).
Ortoedros
Recuerdo de fórmula: ortoedro
Un ortoedro es un prisma rectangular. Si sus dimensiones son largo \(l\), ancho \(w\) y alto \(h\), entonces:
\[ S_T=2lw+2lh+2wh \]
También se puede escribir como:
\[ S_T=2(lw+lh+wh) \]
Ejercicio 4: superficie de un ortoedro
Calcula la superficie total de un ortoedro de largo \(10\text{ cm}\), ancho \(4\text{ cm}\) y alto \(6\text{ cm}\).
Usamos la fórmula:
\[ S_T=2(lw+lh+wh) \]
Reemplazamos \(l=10\), \(w=4\) y \(h=6\):
\[ S_T=2(10\cdot4+10\cdot6+4\cdot6) \]
\[ S_T=2(40+60+24) \]
\[ S_T=2\cdot124=248 \]
La superficie total del ortoedro es \(248\text{ cm}^2\).
Ejercicio 5: superficie de una caja rectangular
Una caja rectangular mide \(15\text{ cm}\) de largo, \(8\text{ cm}\) de ancho y \(5\text{ cm}\) de alto. Calcula su superficie total.
La caja tiene forma de ortoedro, por lo tanto:
\[ S_T=2(lw+lh+wh) \]
Reemplazamos:
\[ S_T=2(15\cdot8+15\cdot5+8\cdot5) \]
\[ S_T=2(120+75+40) \]
\[ S_T=2\cdot235=470 \]
La superficie total de la caja es \(470\text{ cm}^2\).
Ejercicio 6: superficie de un ortoedro en metros
Calcula la superficie total de un ortoedro de dimensiones \(3\text{ m}\), \(2\text{ m}\) y \(7\text{ m}\).
Usamos:
\[ S_T=2(lw+lh+wh) \]
Reemplazamos \(l=3\), \(w=2\) y \(h=7\):
\[ S_T=2(3\cdot2+3\cdot7+2\cdot7) \]
\[ S_T=2(6+21+14) \]
\[ S_T=2\cdot41=82 \]
La superficie total del ortoedro es \(82\text{ m}^2\).
Prismas rectos con base triangular
Recuerdo de fórmula: prisma recto
En un prisma recto, la superficie total se calcula con:
\[ S_T=2A_b+P_b\cdot h \]
donde \(A_b\) es el área de la base, \(P_b\) es el perímetro de la base y \(h\) es la altura del prisma.
Si la base es un triángulo, se puede usar:
\[ A_b=\frac{b\cdot h_t}{2} \]
donde \(b\) es la base del triángulo y \(h_t\) es la altura del triángulo.
Ejercicio 7: prisma recto de base triangular
Un prisma recto tiene base triangular. El triángulo de la base tiene lados \(3\text{ cm}\), \(4\text{ cm}\) y \(5\text{ cm}\), y su área basal es \(6\text{ cm}^2\). Si la altura del prisma es \(10\text{ cm}\), calcula su superficie total.
Usamos:
\[ S_T=2A_b+P_b\cdot h \]
El área basal es:
\[ A_b=6 \]
El perímetro de la base es:
\[ P_b=3+4+5=12 \]
La altura del prisma es \(h=10\). Reemplazamos:
\[ S_T=2\cdot6+12\cdot10 \]
\[ S_T=12+120=132 \]
La superficie total del prisma es \(132\text{ cm}^2\).
Ejercicio 8: prisma triangular con área basal calculada
La base de un prisma recto es un triángulo de base \(8\text{ cm}\) y altura \(5\text{ cm}\). Los lados del triángulo miden \(8\text{ cm}\), \(6\text{ cm}\) y \(6\text{ cm}\). Si la altura del prisma es \(12\text{ cm}\), calcula la superficie total.
Primero calculamos el área basal:
\[ A_b=\frac{b\cdot h_t}{2} \]
\[ A_b=\frac{8\cdot5}{2}=\frac{40}{2}=20 \]
El perímetro de la base es:
\[ P_b=8+6+6=20 \]
Ahora usamos:
\[ S_T=2A_b+P_b\cdot h \]
\[ S_T=2\cdot20+20\cdot12 \]
\[ S_T=40+240=280 \]
La superficie total del prisma es \(280\text{ cm}^2\).
Ejercicio 9: prisma triangular en metros
Un prisma recto tiene base triangular de lados \(5\text{ m}\), \(5\text{ m}\) y \(6\text{ m}\). El área basal es \(12\text{ m}^2\) y la altura del prisma es \(9\text{ m}\). Calcula su superficie total.
La fórmula para un prisma recto es:
\[ S_T=2A_b+P_b\cdot h \]
Calculamos el perímetro basal:
\[ P_b=5+5+6=16 \]
Reemplazamos \(A_b=12\), \(P_b=16\) y \(h=9\):
\[ S_T=2\cdot12+16\cdot9 \]
\[ S_T=24+144=168 \]
La superficie total del prisma es \(168\text{ m}^2\).
Prismas rectos con base rectangular o cuadrada
Recuerdo de fórmula: prismas con base rectangular o cuadrada
Para cualquier prisma recto:
\[ S_T=2A_b+P_b\cdot h \]
Si la base es un rectángulo de largo \(l\) y ancho \(w\):
\[ A_b=l\cdot w \qquad P_b=2l+2w \]
Si la base es un cuadrado de lado \(a\):
\[ A_b=a^2 \qquad P_b=4a \]
Ejercicio 10: prisma recto de base rectangular
Un prisma recto tiene base rectangular de largo \(7\text{ cm}\) y ancho \(4\text{ cm}\). Si la altura del prisma es \(10\text{ cm}\), calcula su superficie total.
Calculamos el área basal:
\[ A_b=7\cdot4=28 \]
Calculamos el perímetro basal:
\[ P_b=2\cdot7+2\cdot4=14+8=22 \]
Usamos:
\[ S_T=2A_b+P_b\cdot h \]
\[ S_T=2\cdot28+22\cdot10 \]
\[ S_T=56+220=276 \]
La superficie total del prisma es \(276\text{ cm}^2\).
Ejercicio 11: prisma recto de base cuadrada
Un prisma recto tiene base cuadrada de lado \(6\text{ cm}\). Si la altura del prisma es \(15\text{ cm}\), calcula su superficie total.
Como la base es cuadrada:
\[ A_b=6^2=36 \]
\[ P_b=4\cdot6=24 \]
Usamos la fórmula:
\[ S_T=2A_b+P_b\cdot h \]
\[ S_T=2\cdot36+24\cdot15 \]
\[ S_T=72+360=432 \]
La superficie total del prisma es \(432\text{ cm}^2\).
Ejercicio 12: prisma rectangular en metros
Un prisma recto tiene base rectangular de \(9\text{ m}\) por \(3\text{ m}\). Su altura es \(5\text{ m}\). Calcula su superficie total.
Área basal:
\[ A_b=9\cdot3=27 \]
Perímetro basal:
\[ P_b=2\cdot9+2\cdot3=18+6=24 \]
Superficie total:
\[ S_T=2A_b+P_b\cdot h \]
\[ S_T=2\cdot27+24\cdot5 \]
\[ S_T=54+120=174 \]
La superficie total del prisma es \(174\text{ m}^2\).
Prismas rectos con base de más de 4 lados
Recuerdo de fórmula: prismas con bases de más de 4 lados
Cuando la base tiene más de 4 lados y el área basal está dada, se usa directamente:
\[ S_T=2A_b+P_b\cdot h \]
donde \(A_b\) es el área de una base, \(P_b\) es el perímetro de la base y \(h\) es la altura del prisma.
Ejercicio 13: prisma recto de base pentagonal
Un prisma recto tiene base pentagonal. Su área basal es \(35\text{ cm}^2\), el perímetro de la base es \(30\text{ cm}\) y la altura del prisma es \(8\text{ cm}\). Calcula su superficie total.
Usamos:
\[ S_T=2A_b+P_b\cdot h \]
Reemplazamos \(A_b=35\), \(P_b=30\) y \(h=8\):
\[ S_T=2\cdot35+30\cdot8 \]
\[ S_T=70+240=310 \]
La superficie total del prisma es \(310\text{ cm}^2\).
Ejercicio 14: prisma recto de base hexagonal
Un prisma recto tiene base hexagonal. El área basal es \(54\text{ cm}^2\), el perímetro basal es \(36\text{ cm}\) y la altura del prisma es \(11\text{ cm}\). Calcula su superficie total.
La fórmula para un prisma recto es:
\[ S_T=2A_b+P_b\cdot h \]
Reemplazamos:
\[ S_T=2\cdot54+36\cdot11 \]
\[ S_T=108+396=504 \]
La superficie total del prisma es \(504\text{ cm}^2\).
Ejercicio 15: prisma recto de base octagonal
Un prisma recto tiene base octagonal. Su área basal es \(120\text{ m}^2\), el perímetro de la base es \(48\text{ m}\) y la altura del prisma es \(6\text{ m}\). Calcula su superficie total.
Usamos:
\[ S_T=2A_b+P_b\cdot h \]
Reemplazamos los datos:
\[ S_T=2\cdot120+48\cdot6 \]
\[ S_T=240+288=528 \]
La superficie total del prisma es \(528\text{ m}^2\).
Cilindros
Recuerdo de fórmula: cilindro
La superficie total de un cilindro se calcula sumando las dos bases circulares y la superficie lateral:
\[ S_T=2\pi r^2+2\pi rh \]
También se puede factorizar como:
\[ S_T=2\pi r(r+h) \]
donde \(r\) es el radio de la base y \(h\) es la altura del cilindro.
Ejercicio 16: superficie de un cilindro
Calcula la superficie total de un cilindro de radio \(4\text{ cm}\) y altura \(10\text{ cm}\). Usa \(\pi\) en el resultado.
Usamos:
\[ S_T=2\pi r^2+2\pi rh \]
Reemplazamos \(r=4\) y \(h=10\):
\[ S_T=2\pi\cdot4^2+2\pi\cdot4\cdot10 \]
\[ S_T=2\pi\cdot16+80\pi \]
\[ S_T=32\pi+80\pi=112\pi \]
La superficie total del cilindro es \(112\pi\text{ cm}^2\).
Ejercicio 17: cilindro con radio y altura
Un cilindro tiene radio \(3\text{ m}\) y altura \(7\text{ m}\). Calcula su superficie total. Usa \(\pi\) en el resultado.
La fórmula es:
\[ S_T=2\pi r^2+2\pi rh \]
Reemplazamos \(r=3\) y \(h=7\):
\[ S_T=2\pi\cdot3^2+2\pi\cdot3\cdot7 \]
\[ S_T=18\pi+42\pi=60\pi \]
La superficie total del cilindro es \(60\pi\text{ m}^2\).
Ejercicio 18: cilindro con diámetro dado
Un cilindro tiene diámetro \(12\text{ cm}\) y altura \(9\text{ cm}\). Calcula su superficie total. Usa \(\pi\) en el resultado.
Primero encontramos el radio. Como el diámetro es el doble del radio:
\[ r=\frac{12}{2}=6 \]
Usamos la fórmula:
\[ S_T=2\pi r^2+2\pi rh \]
Reemplazamos \(r=6\) y \(h=9\):
\[ S_T=2\pi\cdot6^2+2\pi\cdot6\cdot9 \]
\[ S_T=72\pi+108\pi=180\pi \]
La superficie total del cilindro es \(180\pi\text{ cm}^2\).
Ejercicio 19: cilindro con aproximación decimal
Un cilindro tiene radio \(5\text{ cm}\) y altura \(8\text{ cm}\). Calcula su superficie total usando \(\pi\approx3{,}14\).
Usamos:
\[ S_T=2\pi r^2+2\pi rh \]
Reemplazamos \(r=5\), \(h=8\) y \(\pi\approx3{,}14\):
\[ S_T=2\cdot3{,}14\cdot5^2+2\cdot3{,}14\cdot5\cdot8 \]
\[ S_T=2\cdot3{,}14\cdot25+2\cdot3{,}14\cdot40 \]
\[ S_T=157+251{,}2=408{,}2 \]
La superficie total del cilindro es aproximadamente \(408{,}2\text{ cm}^2\).
Ejercicio 20: problema mixto
Compara la superficie total de un cubo de arista \(6\text{ cm}\) con la de un cilindro de radio \(3\text{ cm}\) y altura \(6\text{ cm}\). Usa \(\pi\approx3{,}14\). ¿Cuál tiene mayor superficie?
Primero calculamos la superficie del cubo:
\[ S_T=6a^2 \]
\[ S_T=6\cdot6^2=6\cdot36=216 \]
El cubo tiene superficie \(216\text{ cm}^2\).
Ahora calculamos la superficie del cilindro:
\[ S_T=2\pi r^2+2\pi rh \]
Con \(r=3\), \(h=6\) y \(\pi\approx3{,}14\):
\[ S_T=2\cdot3{,}14\cdot3^2+2\cdot3{,}14\cdot3\cdot6 \]
\[ S_T=2\cdot3{,}14\cdot9+2\cdot3{,}14\cdot18 \]
\[ S_T=56{,}52+113{,}04=169{,}56 \]
El cilindro tiene superficie aproximada \(169{,}56\text{ cm}^2\).
Comparamos:
\[ 216>169{,}56 \]
El cubo tiene mayor superficie total.