Superficies
Ejercicios desarrollados en clases
4. Superficie de la esfera
Objetivos
- Reconocer la fórmula de la superficie de una esfera.
- Calcular la superficie de una esfera a partir de su radio o diámetro.
- Resolver ejercicios directos e inversos relacionados con la superficie esférica.
¿Qué es la superficie de una esfera?
La superficie de una esfera corresponde al área total de su parte exterior.
Por ejemplo, si pensamos en una pelota, la superficie es toda la parte que se podría cubrir con pintura, papel o material exterior.
Fórmula de la superficie de una esfera
Si una esfera tiene radio \(r\), su superficie total se calcula con:
\[ S=4\pi r^2 \]
donde:
- \(S\) es la superficie de la esfera.
- \(r\) es el radio de la esfera.
- \(\pi\) puede dejarse indicado o aproximarse como \(3{,}14\), según indique el ejercicio.
Radio y diámetro
El diámetro es el doble del radio:
\[ d=2r \]
Por lo tanto, si el ejercicio entrega el diámetro, primero se debe calcular el radio:
\[ r=\frac{d}{2} \]
Ejemplo 1: superficie con radio dado
Calcula la superficie de una esfera de radio \(5\text{ cm}\).
Usamos:
\[ S=4\pi r^2 \]
Reemplazamos \(r=5\):
\[ S=4\pi\cdot 5^2 \]
\[ S=4\pi\cdot25=100\pi \]
La superficie de la esfera es \(100\pi\text{ cm}^2\).
Ejemplo 2: superficie con diámetro dado
Calcula la superficie de una esfera de diámetro \(12\text{ cm}\).
Primero calculamos el radio:
\[ r=\frac{12}{2}=6 \]
Luego usamos la fórmula:
\[ S=4\pi r^2 \]
\[ S=4\pi\cdot6^2 \]
\[ S=4\pi\cdot36=144\pi \]
La superficie de la esfera es \(144\pi\text{ cm}^2\).
Ejercicios directos
Recuerdo antes de resolver
Para calcular la superficie de una esfera se usa:
\[ S=4\pi r^2 \]
Si se entrega el diámetro, primero se calcula el radio con:
\[ r=\frac{d}{2} \]
Ejercicio 1: radio dado
Calcula la superficie de una esfera de radio \(3\text{ cm}\). Deja el resultado en función de \(\pi\).
Usamos la fórmula:
\[ S=4\pi r^2 \]
Como \(r=3\), reemplazamos:
\[ S=4\pi\cdot3^2 \]
\[ S=4\pi\cdot9=36\pi \]
La superficie de la esfera es \(36\pi\text{ cm}^2\).
Ejercicio 2: radio dado
Calcula la superficie de una esfera de radio \(7\text{ m}\). Deja el resultado en función de \(\pi\).
Aplicamos:
\[ S=4\pi r^2 \]
Reemplazamos \(r=7\):
\[ S=4\pi\cdot7^2 \]
\[ S=4\pi\cdot49=196\pi \]
La superficie de la esfera es \(196\pi\text{ m}^2\).
Ejercicio 3: radio dado
Una pelota tiene forma de esfera y radio \(10\text{ cm}\). Calcula su superficie exterior. Deja el resultado en función de \(\pi\).
La pelota tiene forma esférica, por lo tanto:
\[ S=4\pi r^2 \]
Como \(r=10\):
\[ S=4\pi\cdot10^2 \]
\[ S=4\pi\cdot100=400\pi \]
La superficie exterior de la pelota es \(400\pi\text{ cm}^2\).
Ejercicio 4: diámetro dado
Calcula la superficie de una esfera cuyo diámetro mide \(8\text{ cm}\). Deja el resultado en función de \(\pi\).
Primero calculamos el radio:
\[ r=\frac{d}{2}=\frac{8}{2}=4 \]
Ahora usamos la fórmula:
\[ S=4\pi r^2 \]
\[ S=4\pi\cdot4^2 \]
\[ S=4\pi\cdot16=64\pi \]
La superficie de la esfera es \(64\pi\text{ cm}^2\).
Ejercicio 5: diámetro dado
Una esfera tiene diámetro \(18\text{ m}\). Calcula su superficie. Deja el resultado en función de \(\pi\).
Calculamos el radio:
\[ r=\frac{18}{2}=9 \]
Aplicamos la fórmula:
\[ S=4\pi r^2 \]
\[ S=4\pi\cdot9^2 \]
\[ S=4\pi\cdot81=324\pi \]
La superficie de la esfera es \(324\pi\text{ m}^2\).
Ejercicio 6: aproximación decimal
Calcula la superficie de una esfera de radio \(6\text{ cm}\), usando \(\pi\approx3{,}14\).
Usamos:
\[ S=4\pi r^2 \]
Reemplazamos \(r=6\) y \(\pi\approx3{,}14\):
\[ S=4\cdot3{,}14\cdot6^2 \]
\[ S=4\cdot3{,}14\cdot36 \]
\[ S=452{,}16 \]
La superficie de la esfera es aproximadamente \(452{,}16\text{ cm}^2\).
Ejercicio 7: aproximación decimal con diámetro
Una esfera tiene diámetro \(20\text{ cm}\). Calcula su superficie usando \(\pi\approx3{,}14\).
Primero calculamos el radio:
\[ r=\frac{20}{2}=10 \]
Luego:
\[ S=4\pi r^2 \]
\[ S=4\cdot3{,}14\cdot10^2 \]
\[ S=4\cdot3{,}14\cdot100 \]
\[ S=1256 \]
La superficie de la esfera es aproximadamente \(1256\text{ cm}^2\).
Ejercicios inversos
Recuerdo para ejercicios inversos
Si se conoce la superficie de la esfera y se pide el radio, se parte de:
\[ S=4\pi r^2 \]
Luego se despeja \(r\):
\[ r^2=\frac{S}{4\pi} \]
Finalmente, se busca el valor positivo de \(r\), porque una longitud no puede ser negativa.
Ejercicio 8: encontrar el radio
La superficie de una esfera es \(100\pi\text{ cm}^2\). ¿Cuál es su radio?
Usamos:
\[ S=4\pi r^2 \]
Reemplazamos \(S=100\pi\):
\[ 100\pi=4\pi r^2 \]
Dividimos por \(4\pi\):
\[ r^2=\frac{100\pi}{4\pi}=25 \]
Entonces:
\[ r=5 \]
El radio de la esfera mide \(5\text{ cm}\).
Ejercicio 9: encontrar el radio
Una esfera tiene superficie \(256\pi\text{ m}^2\). Calcula su radio.
Partimos de la fórmula:
\[ S=4\pi r^2 \]
Reemplazamos:
\[ 256\pi=4\pi r^2 \]
Dividimos por \(4\pi\):
\[ r^2=\frac{256\pi}{4\pi}=64 \]
Por lo tanto:
\[ r=8 \]
El radio de la esfera mide \(8\text{ m}\).
Ejercicio 10: encontrar el diámetro
La superficie de una esfera es \(144\pi\text{ cm}^2\). ¿Cuál es su diámetro?
Primero encontramos el radio usando:
\[ S=4\pi r^2 \]
Reemplazamos \(S=144\pi\):
\[ 144\pi=4\pi r^2 \]
Dividimos por \(4\pi\):
\[ r^2=\frac{144\pi}{4\pi}=36 \]
\[ r=6 \]
El diámetro es el doble del radio:
\[ d=2r=2\cdot6=12 \]
El diámetro de la esfera mide \(12\text{ cm}\).
Ejercicio 11: encontrar el radio con aproximación decimal
Una esfera tiene superficie aproximada \(314\text{ cm}^2\). Usando \(\pi\approx3{,}14\), calcula su radio.
Usamos:
\[ S=4\pi r^2 \]
Reemplazamos \(S=314\) y \(\pi\approx3{,}14\):
\[ 314=4\cdot3{,}14\cdot r^2 \]
\[ 314=12{,}56r^2 \]
Dividimos por \(12{,}56\):
\[ r^2=\frac{314}{12{,}56}=25 \]
\[ r=5 \]
El radio de la esfera mide \(5\text{ cm}\).
Problemas de aplicación
Estrategia
En problemas de contexto, primero identifica si el dato entregado es radio o diámetro. Luego aplica la fórmula de superficie de la esfera.
Ejercicio 12: pelota
Una pelota esférica tiene radio \(11\text{ cm}\). ¿Cuánta superficie exterior tiene? Deja el resultado en función de \(\pi\).
Como la pelota tiene forma de esfera:
\[ S=4\pi r^2 \]
Reemplazamos \(r=11\):
\[ S=4\pi\cdot11^2 \]
\[ S=4\pi\cdot121=484\pi \]
La superficie exterior de la pelota es \(484\pi\text{ cm}^2\).
Ejercicio 13: esfera decorativa
Una esfera decorativa tiene diámetro \(30\text{ cm}\). Calcula su superficie usando \(\pi\approx3{,}14\).
Como se entrega el diámetro, primero calculamos el radio:
\[ r=\frac{30}{2}=15 \]
Luego usamos:
\[ S=4\pi r^2 \]
\[ S=4\cdot3{,}14\cdot15^2 \]
\[ S=4\cdot3{,}14\cdot225 \]
\[ S=2826 \]
La superficie de la esfera decorativa es aproximadamente \(2826\text{ cm}^2\).
Ejercicio 14: pintura de una esfera
Se quiere pintar una esfera metálica de radio \(2\text{ m}\). ¿Qué superficie se debe pintar? Usa \(\pi\approx3{,}14\).
Se debe pintar toda la superficie exterior de la esfera:
\[ S=4\pi r^2 \]
Reemplazamos \(r=2\):
\[ S=4\cdot3{,}14\cdot2^2 \]
\[ S=4\cdot3{,}14\cdot4 \]
\[ S=50{,}24 \]
Se deben pintar aproximadamente \(50{,}24\text{ m}^2\).
Ejercicio 15: comparar dos esferas
Una esfera A tiene radio \(4\text{ cm}\) y una esfera B tiene radio \(8\text{ cm}\). Calcula la superficie de cada una y compara sus resultados. Deja las respuestas en función de \(\pi\).
Para la esfera A:
\[ S_A=4\pi\cdot4^2 \]
\[ S_A=4\pi\cdot16=64\pi \]
Para la esfera B:
\[ S_B=4\pi\cdot8^2 \]
\[ S_B=4\pi\cdot64=256\pi \]
Comparamos:
\[ 256\pi=4\cdot64\pi \]
La esfera B tiene una superficie 4 veces mayor que la esfera A.
Ejercicio 16: desafío de cierre
Una esfera tiene superficie \(900\pi\text{ cm}^2\). Calcula su radio y su diámetro.
Usamos la fórmula:
\[ S=4\pi r^2 \]
Reemplazamos \(S=900\pi\):
\[ 900\pi=4\pi r^2 \]
Dividimos por \(4\pi\):
\[ r^2=\frac{900\pi}{4\pi}=225 \]
Entonces:
\[ r=15 \]
El diámetro es:
\[ d=2r=2\cdot15=30 \]
El radio mide \(15\text{ cm}\) y el diámetro mide \(30\text{ cm}\).
Errores frecuentes
- Usar el diámetro en lugar del radio dentro de la fórmula.
- Olvidar elevar el radio al cuadrado.
- Escribir unidades lineales, como cm, en vez de unidades cuadradas, como \(\text{cm}^2\).
- Confundir la fórmula de superficie de la esfera con la del círculo.