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1. Vectores para comprender la Geometría 3D
Vectores para comprender la Geometría 3D
Objetivo de la página
- Comprender qué es un vector y reconocerlo como una herramienta para representar desplazamientos, direcciones, sentidos y magnitudes.
¿Qué es un vector?
Un vector es un objeto matemático que permite representar un desplazamiento. Para describirlo correctamente no basta con indicar cuánto mide: también importa hacia dónde va y en qué sentido se recorre.
En geometría, un vector suele representarse mediante una flecha. El punto donde comienza la flecha se llama origen y el punto donde termina se llama extremo.
Elementos de un vector
Un vector se caracteriza por tres elementos principales:
- Módulo: corresponde a la longitud del vector.
- Dirección: corresponde a la recta o inclinación sobre la que se ubica.
- Sentido: corresponde hacia dónde apunta la flecha.
Ejemplo 1: un desplazamiento representado por un vector
Observa los puntos \(A\) y \(B\). El vector \(\overrightarrow{AB}\) representa el desplazamiento desde \(A\) hasta \(B\).
La flecha no solo muestra que hay una distancia entre \(A\) y \(B\), sino también que el movimiento parte en \(A\) y termina en \(B\).
Por eso escribimos:
\[ \overrightarrow{AB} \]
y se lee: “vector desde \(A\) hasta \(B\)”.
Atención
No es lo mismo \(\overrightarrow{AB}\) que \(\overrightarrow{BA}\).
Ambos tienen el mismo módulo y la misma dirección, pero tienen sentidos opuestos.
Ejemplo 2: sentido del vector
Si una persona se desplaza desde \(P\) hasta \(Q\), el vector que representa ese movimiento es \(\overrightarrow{PQ}\).
En cambio, si se desplaza desde \(Q\) hasta \(P\), el vector es \(\overrightarrow{QP}\).
Aunque ambos desplazamientos ocurren entre los mismos puntos, no representan el mismo vector:
\[ \overrightarrow{PQ}\neq \overrightarrow{QP} \]
El orden de las letras importa, porque indica el sentido del desplazamiento.
Idea clave
Un vector no describe solamente una posición. Describe un cambio de posición.
Por eso será útil más adelante para estudiar movimientos, traslaciones, distancias y objetos en el espacio tridimensional.
Ejercicio 1
Observa los puntos \(A\) y \(B\). Explica con tus palabras qué representa el vector \(\overrightarrow{AB}\).
El vector \(\overrightarrow{AB}\) representa el desplazamiento que comienza en el punto \(A\) y termina en el punto \(B\).
Esto significa que la flecha indica tres aspectos:
- la distancia entre \(A\) y \(B\), que corresponde al módulo;
- la inclinación del desplazamiento, que corresponde a la dirección;
- el recorrido desde \(A\) hacia \(B\), que corresponde al sentido.
Por lo tanto, \(\overrightarrow{AB}\) representa un desplazamiento desde \(A\) hasta \(B\), no solo una línea entre dos puntos.
Ejercicio 2
¿Por qué los vectores \(\overrightarrow{AB}\) y \(\overrightarrow{BA}\) no representan el mismo desplazamiento?
El vector \(\overrightarrow{AB}\) comienza en \(A\) y termina en \(B\). En cambio, el vector \(\overrightarrow{BA}\) comienza en \(B\) y termina en \(A\).
Ambos usan los mismos puntos, pero el recorrido ocurre en sentido contrario.
Por eso tienen el mismo módulo y la misma dirección, pero distinto sentido.
Entonces, \(\overrightarrow{AB}\neq\overrightarrow{BA}\), porque el sentido del desplazamiento es diferente.
Ejercicio 3
Un dron se mueve desde un punto inicial \(I\) hasta un punto final \(F\). Luego vuelve desde \(F\) hasta \(I\). Escribe los dos vectores que representan estos desplazamientos e indica qué diferencia hay entre ellos.
El primer desplazamiento va desde el punto inicial \(I\) hasta el punto final \(F\). Por lo tanto, se representa mediante:
\[ \overrightarrow{IF} \]
El segundo desplazamiento va desde \(F\) hasta \(I\). Por lo tanto, se representa mediante:
\[ \overrightarrow{FI} \]
Ambos desplazamientos recorren la misma distancia, pero en sentidos opuestos.
Los vectores son \(\overrightarrow{IF}\) y \(\overrightarrow{FI}\). Se diferencian en el sentido del movimiento.