vectores
3. Vectores para comprender la Geometría 3D
Componentes de un vector en el plano
Objetivo de la página
- Representar vectores en el plano cartesiano mediante sus componentes horizontal y vertical.
Vectores en 2D
En el plano cartesiano, un vector se puede describir usando dos componentes.
Si un vector se escribe como:
\[ \vec{v}=(a,b) \]
entonces \(a\) indica el desplazamiento horizontal y \(b\) indica el desplazamiento vertical.
Componentes de un vector en el plano
Para un vector \(\vec{v}=(a,b)\):
- La primera componente, \(a\), indica cuánto se avanza hacia la derecha o hacia la izquierda.
- La segunda componente, \(b\), indica cuánto se avanza hacia arriba o hacia abajo.
Si \(a>0\), el desplazamiento horizontal es hacia la derecha. Si \(a<0\), es hacia la izquierda.
Si \(b>0\), el desplazamiento vertical es hacia arriba. Si \(b<0\), es hacia abajo.
Ejemplo 1: el vector \(\vec{v}=(4,3)\)
El vector \(\vec{v}=(4,3)\) indica un desplazamiento de 4 unidades hacia la derecha y 3 unidades hacia arriba.
Desde el origen \(O=(0,0)\), el vector llega al punto \(A=(4,3)\).
Su primera componente es \(4\), porque se avanza 4 unidades hacia la derecha.
Su segunda componente es \(3\), porque se avanza 3 unidades hacia arriba.
Por lo tanto:
\[ \vec{v}=(4,3) \]
Idea clave
Las componentes de un vector indican cómo se descompone el desplazamiento en dos movimientos más simples: uno horizontal y otro vertical.
Por eso, el vector \((4,3)\) puede entenderse como “avanzar 4 y subir 3”.
Ejemplo 2: interpretación de signos
Consideremos algunos vectores:
| Vector | Interpretación horizontal | Interpretación vertical |
|---|---|---|
| \(\vec{u}=(5,2)\) | 5 unidades hacia la derecha | 2 unidades hacia arriba |
| \(\vec{v}=(-3,4)\) | 3 unidades hacia la izquierda | 4 unidades hacia arriba |
| \(\vec{w}=(2,-5)\) | 2 unidades hacia la derecha | 5 unidades hacia abajo |
| \(\vec{z}=(-4,-1)\) | 4 unidades hacia la izquierda | 1 unidad hacia abajo |
El signo de cada componente indica el sentido del desplazamiento respecto de los ejes coordenados.
Error frecuente
No confundas las componentes de un vector con las coordenadas de un punto.
En \(A=(4,3)\), los números indican una ubicación. En \(\vec{v}=(4,3)\), los números indican un desplazamiento.
Ejercicio 1: interpretar componentes
Describe con palabras el desplazamiento representado por cada vector:
- \(\vec{a}=(6,2)\)
- \(\vec{b}=(-4,3)\)
- \(\vec{c}=(5,-1)\)
- \(\vec{d}=(-2,-7)\)
Analizamos el signo de cada componente:
- \(\vec{a}=(6,2)\): 6 unidades hacia la derecha y 2 unidades hacia arriba.
- \(\vec{b}=(-4,3)\): 4 unidades hacia la izquierda y 3 unidades hacia arriba.
- \(\vec{c}=(5,-1)\): 5 unidades hacia la derecha y 1 unidad hacia abajo.
- \(\vec{d}=(-2,-7)\): 2 unidades hacia la izquierda y 7 unidades hacia abajo.
Cada componente se interpreta según su signo y según el eje al que corresponde.
Ejercicio 2: escribir el vector desde una descripción
Escribe el vector que representa cada desplazamiento:
- Avanzar 3 unidades hacia la derecha y 5 unidades hacia arriba.
- Avanzar 6 unidades hacia la izquierda y 2 unidades hacia arriba.
- Avanzar 4 unidades hacia la derecha y 7 unidades hacia abajo.
- Avanzar 1 unidad hacia la izquierda y 3 unidades hacia abajo.
Recordemos que la primera componente corresponde al desplazamiento horizontal y la segunda al desplazamiento vertical.
- Derecha y arriba: \((3,5)\).
- Izquierda y arriba: \((-6,2)\).
- Derecha y abajo: \((4,-7)\).
- Izquierda y abajo: \((-1,-3)\).
Los vectores son \((3,5)\), \((-6,2)\), \((4,-7)\) y \((-1,-3)\).
Ejercicio 3: completar componentes desconocidas
Completa los valores de \(a\) y \(b\) en cada caso:
- Si \(\vec{u}=(a,4)\) representa 3 unidades hacia la izquierda y 4 unidades hacia arriba, ¿cuál es el valor de \(a\)?
- Si \(\vec{v}=(5,b)\) representa 5 unidades hacia la derecha y 2 unidades hacia abajo, ¿cuál es el valor de \(b\)?
- Si \(\vec{w}=(a,b)\) representa 6 unidades hacia la izquierda y 1 unidad hacia abajo, calcula \(a+b\).
- Hacia la izquierda se representa con signo negativo. Por lo tanto, \(a=-3\).
- Hacia abajo se representa con signo negativo. Por lo tanto, \(b=-2\).
- El vector es \(\vec{w}=(-6,-1)\). Entonces:
\[ a+b=-6+(-1)=-7 \]
Las respuestas son \(a=-3\), \(b=-2\) y \(a+b=-7\).
Ejercicio 4: igualdad de componentes
Si dos vectores tienen las mismas componentes, entonces representan el mismo desplazamiento.
Completa los valores de \(x\) e \(y\) para que se cumpla:
\[ (x,-3)=(4,y) \]
Luego calcula:
\[ x+y \]
Dos vectores son iguales si sus componentes correspondientes son iguales.
Entonces, al comparar:
\[ (x,-3)=(4,y) \]
obtenemos:
\[ x=4 \]
y
\[ y=-3 \]
Por lo tanto:
\[ x+y=4+(-3)=1 \]
El valor de \(x+y\) es \(1\).
Ejercicio 5: dibujar vectores desde el origen
Dibuja en el plano cartesiano los siguientes vectores, todos comenzando en el origen \(O=(0,0)\):
- \(\overrightarrow{OU}=(3,2)\)
- \(\overrightarrow{OV}=(-4,1)\)
- \(\overrightarrow{OW}=(2,-3)\)
- \(\overrightarrow{OZ}=(-1,-4)\)
Para dibujar un vector desde el origen, se parte en \(O=(0,0)\) y se llega al punto indicado por sus componentes.
- \(\overrightarrow{OU}=(3,2)\): termina en \(U=(3,2)\).
- \(\overrightarrow{OV}=(-4,1)\): termina en \(V=(-4,1)\).
- \(\overrightarrow{OW}=(2,-3)\): termina en \(W=(2,-3)\).
- \(\overrightarrow{OZ}=(-1,-4)\): termina en \(Z=(-1,-4)\).
Cada vector se dibuja como una flecha que comienza en \(O\) y termina en el punto indicado por sus coordenadas.
Ejercicio 6: leer vectores desde un gráfico
Observa los vectores dibujados desde el origen. Determina las coordenadas de \(\overrightarrow{OA}\), \(\overrightarrow{OB}\), \(\overrightarrow{OC}\) y \(\overrightarrow{OD}\).
Cuando un vector comienza en el origen, sus coordenadas coinciden con las coordenadas del punto donde termina.
- \(\overrightarrow{OA}\) termina en \(A=(4,2)\), por lo tanto \(\overrightarrow{OA}=(4,2)\).
- \(\overrightarrow{OB}\) termina en \(B=(-3,4)\), por lo tanto \(\overrightarrow{OB}=(-3,4)\).
- \(\overrightarrow{OC}\) termina en \(C=(5,-2)\), por lo tanto \(\overrightarrow{OC}=(5,-2)\).
- \(\overrightarrow{OD}\) termina en \(D=(-2,-4)\), por lo tanto \(\overrightarrow{OD}=(-2,-4)\).
Si el vector parte en \(O=(0,0)\), basta identificar el punto donde termina.
Ejercicio 7: corregir un error frecuente
Un estudiante afirma que el vector \(\vec{v}=(-5,4)\) significa:
“Retroceder 5 unidades y bajar 4 unidades”.
¿Es correcta su interpretación? Justifica.
El vector dado es:
\[ \vec{v}=(-5,4) \]
La primera componente es \(-5\). Como es negativa, indica un desplazamiento de 5 unidades hacia la izquierda.
La segunda componente es \(4\). Como es positiva, indica un desplazamiento de 4 unidades hacia arriba.
Por lo tanto, la parte “retroceder 5 unidades” puede aceptarse si se interpreta como ir hacia la izquierda, pero la parte “bajar 4 unidades” es incorrecta.
La interpretación correcta es: 5 unidades hacia la izquierda y 4 unidades hacia arriba.
Para continuar
Hasta ahora hemos representado vectores desde el origen. En la siguiente página estudiaremos cómo calcular las coordenadas de un vector cuando comienza en cualquier punto del plano.