vectores
7. Operaciones con vectores
Objetivo de la página
- Operar vectores en el plano mediante suma, resta y multiplicación por escalar, interpretando cada operación como un desplazamiento.
Operaciones con vectores
Como un vector representa un desplazamiento, operar vectores permite combinar, comparar o modificar desplazamientos.
En esta página trabajaremos tres operaciones básicas:
- suma de vectores,
- resta de vectores,
- multiplicación de un vector por un escalar.
Operatoria básica en coordenadas
Si \(\vec{u}=(a,b)\) y \(\vec{v}=(c,d)\), entonces:
\[ \vec{u}+\vec{v}=(a+c,\;b+d) \]
\[ \vec{u}-\vec{v}=(a-c,\;b-d) \]
Si \(k\) es un número real, entonces:
\[ k\vec{u}=(ka,\;kb) \]
Ejemplo 1: suma de vectores con el método punta-cola
Observa los vectores \(\overrightarrow{AB}\) y \(\overrightarrow{BC}\). Al recorrer primero \(\overrightarrow{AB}\) y luego \(\overrightarrow{BC}\), se obtiene directamente el desplazamiento \(\overrightarrow{AC}\).
Calculamos:
\[ \overrightarrow{AB}=(3-0,\;1-0)=(3,1) \]
\[ \overrightarrow{BC}=(5-3,\;4-1)=(2,3) \]
Entonces:
\[ \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=(3,1)+(2,3)=(5,4) \]
Pero también:
\[ \overrightarrow{AC}=(5-0,\;4-0)=(5,4) \]
Por lo tanto:
\[ \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC} \]
Idea clave
Sumar vectores significa realizar un desplazamiento y luego otro.
Geométricamente, esto se puede representar colocando la cola del segundo vector en la punta del primero.
Ejemplo 2: multiplicación por escalar
Consideremos el vector \(\overrightarrow{OA}=(2,1)\).
Como \(\overrightarrow{OA}=(2,1)\), entonces:
\[ 2\overrightarrow{OA}=2(2,1)=(4,2) \]
Este vector corresponde a \(\overrightarrow{OB}\).
Además:
\[ -\overrightarrow{OA}=-(2,1)=(-2,-1) \]
Este vector corresponde a \(\overrightarrow{OC}\).
Multiplicar por un escalar positivo mantiene el sentido. Multiplicar por un escalar negativo invierte el sentido.
Error frecuente
Al multiplicar un vector por un escalar, se multiplican todas sus componentes.
Por ejemplo, si \(\vec{u}=(-3,4)\), entonces:
\[ 2\vec{u}=2(-3,4)=(-6,8) \]
No corresponde multiplicar solo una componente.
Usar un vector como desplazamiento
Si un vector \(\vec{v}=(a,b)\) comienza en un punto \(P=(x_P,y_P)\), entonces el punto final \(Q\) se obtiene sumando componente a componente:
\[ Q=(x_P+a,\;y_P+b) \]
Esto significa que el vector actúa como una instrucción de movimiento desde el punto inicial.
Ejemplo 3: determinar el punto final de un desplazamiento
Un vector de coordenadas \((3,2)\) comienza en \(P=(1,1)\). Determinemos el punto donde termina.
Sumamos el vector al punto inicial:
\[ Q=(1+3,\;1+2)=(4,3) \]
Entonces el vector termina en \(Q=(4,3)\).
En este caso:
\[ \overrightarrow{PQ}=(3,2) \]
Determinar el punto inicial
Si un vector \(\vec{v}=(a,b)\) termina en un punto \(Q=(x_Q,y_Q)\), entonces el punto inicial \(P\) se obtiene restando el vector al punto final:
\[ P=(x_Q-a,\;y_Q-b) \]
Esto permite reconstruir desde dónde comenzó el desplazamiento.
Ejemplo 4: determinar el punto inicial de un desplazamiento
Un vector de coordenadas \((3,2)\) termina en \(Q=(7,5)\). Determinemos el punto donde comenzó.
Restamos el vector al punto final:
\[ P=(7-3,\;5-2)=(4,3) \]
Entonces el vector comenzó en \(P=(4,3)\).
En este caso:
\[ \overrightarrow{PQ}=(3,2) \]
Ejercicio 1
Calcula las siguientes sumas y restas de vectores:
- \((3,2)+(4,1)\)
- \((-5,3)+(2,-7)\)
- \((8,-2)-(3,5)\)
- \((-4,-6)-(-1,2)\)
Operamos componente a componente.
- \((3,2)+(4,1)=(3+4,\;2+1)=(7,3)\)
- \((-5,3)+(2,-7)=(-5+2,\;3+(-7))=(-3,-4)\)
- \((8,-2)-(3,5)=(8-3,\;-2-5)=(5,-7)\)
- \((-4,-6)-(-1,2)=(-4-(-1),\;-6-2)=(-3,-8)\)
Los resultados son \((7,3)\), \((-3,-4)\), \((5,-7)\) y \((-3,-8)\).
Ejercicio 2
Observa la figura. Calcula \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\) y verifica que coincide con \(\overrightarrow{AC}\).
Calculamos cada vector:
\[ \overrightarrow{AB}=(3-(-1),\;2-1)=(4,1) \]
\[ \overrightarrow{BC}=(5-3,\;6-2)=(2,4) \]
Sumamos:
\[ \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=(4,1)+(2,4)=(6,5) \]
Ahora calculamos directamente:
\[ \overrightarrow{AC}=(5-(-1),\;6-1)=(6,5) \]
Por lo tanto, \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}=(6,5)\).
Ejercicio 3
Calcula:
- Si \(\vec{u}=(4,-2)\), calcula \(3\vec{u}\).
- Si \(\vec{v}=(-6,9)\), calcula \(\frac{1}{3}\vec{v}\).
- Si \(\vec{w}=(5,1)\), calcula \(-2\vec{w}\).
- Si \(\vec{z}=(-8,-4)\), calcula \(-\frac{1}{2}\vec{z}\).
Multiplicamos cada componente por el escalar correspondiente.
- \(3\vec{u}=3(4,-2)=(12,-6)\)
- \(\frac{1}{3}\vec{v}=\frac{1}{3}(-6,9)=(-2,3)\)
- \(-2\vec{w}=-2(5,1)=(-10,-2)\)
- \(-\frac{1}{2}\vec{z}=-\frac{1}{2}(-8,-4)=(4,2)\)
Los resultados son \((12,-6)\), \((-2,3)\), \((-10,-2)\) y \((4,2)\).
Ejercicio 4
Un vector comienza en el punto indicado y tiene las coordenadas dadas. Determina el punto donde termina.
- Comienza en \(A=(2,1)\) y tiene coordenadas \((3,4)\).
- Comienza en \(B=(-1,5)\) y tiene coordenadas \((4,-2)\).
- Comienza en \(C=(6,-3)\) y tiene coordenadas \((-5,1)\).
- Comienza en \(D=(-4,-2)\) y tiene coordenadas \((-2,-3)\).
Para encontrar el punto final, sumamos componente a componente.
- \((2,1)+(3,4)=(5,5)\)
- \((-1,5)+(4,-2)=(3,3)\)
- \((6,-3)+(-5,1)=(1,-2)\)
- \((-4,-2)+(-2,-3)=(-6,-5)\)
Los puntos finales son \((5,5)\), \((3,3)\), \((1,-2)\) y \((-6,-5)\).
Ejercicio 5
Un vector tiene las coordenadas dadas y termina en el punto indicado. Determina el punto donde comenzó.
- \(\vec{v}=(3,2)\) termina en \(Q=(7,5)\).
- \(\vec{u}=(-4,1)\) termina en \(R=(2,6)\).
- \(\vec{w}=(5,-3)\) termina en \(S=(8,-1)\).
- \(\vec{z}=(-2,-6)\) termina en \(T=(-5,-4)\).
Para encontrar el punto inicial, restamos el vector al punto final.
- \((7,5)-(3,2)=(4,3)\)
- \((2,6)-(-4,1)=(6,5)\)
- \((8,-1)-(5,-3)=(3,2)\)
- \((-5,-4)-(-2,-6)=(-3,2)\)
Los puntos iniciales son \((4,3)\), \((6,5)\), \((3,2)\) y \((-3,2)\).
Ejercicio 6
Un estudiante afirma que si \(\vec{u}=(3,-5)\), entonces \(2\vec{u}=(6,-5)\), porque solo debe duplicarse la primera componente.
¿Es correcta su afirmación? Justifica y corrige si es necesario.
La afirmación no es correcta. Al multiplicar un vector por un escalar, se deben multiplicar todas sus componentes.
Como \(\vec{u}=(3,-5)\), entonces:
\[ 2\vec{u}=2(3,-5)=(2\cdot 3,\;2\cdot (-5))=(6,-10) \]
El resultado \((6,-5)\) es incorrecto porque no se multiplicó la segunda componente.
La respuesta correcta es \(2\vec{u}=(6,-10)\).