10. Del plano al espacio

Objetivo de la página

  • Comprender cómo se representan vectores en 3D mediante tres componentes y relacionarlos con vectores en 2D.

Del plano al espacio

En 2D, un vector se representa mediante dos componentes:

\[ \vec{v}=(a,b) \]

La primera componente indica el desplazamiento en el eje \(x\), y la segunda componente indica el desplazamiento en el eje \(y\).

En 3D aparece una tercera dirección, asociada al eje \(z\). Por eso, un vector en el espacio se representa mediante tres componentes:

\[ \vec{v}=(a,b,c) \]

Componentes de un vector en 3D

Si \(\vec{v}=(a,b,c)\), entonces:

  • \(a\) representa el desplazamiento en el eje \(x\).
  • \(b\) representa el desplazamiento en el eje \(y\).
  • \(c\) representa el desplazamiento en el eje \(z\).

La lógica es la misma que en 2D, pero ahora se incorpora una tercera componente.

Ejemplo 1: interpretar el vector \(\overrightarrow{OP}=(4,2,3)\)

Consideremos el vector:

\[ \overrightarrow{OP}=(4,2,3) \]

Este vector representa un desplazamiento desde el origen \(O=(0,0,0)\) hasta el punto \(P=(4,2,3)\).

El vector \(\overrightarrow{OP}=(4,2,3)\) indica que, desde el origen, se avanza:

  • 4 unidades en la dirección del eje \(x\),
  • 2 unidades en la dirección del eje \(y\),
  • 3 unidades en la dirección del eje \(z\).

Por lo tanto, el punto final del desplazamiento es:

\[ P=(4,2,3) \]

Idea clave

Un vector en 3D conserva la misma idea de desplazamiento que un vector en 2D.

La diferencia es que ahora el desplazamiento puede ocurrir en tres direcciones independientes: \(x\), \(y\) y \(z\).

Ejemplo 2: comparación entre 2D y 3D

Tipo de vector Forma Interpretación
Vector en 2D \((3,5)\) 3 unidades en \(x\) y 5 unidades en \(y\).
Vector en 3D \((3,5,2)\) 3 unidades en \(x\), 5 unidades en \(y\) y 2 unidades en \(z\).

El vector en 3D necesita una tercera componente porque describe desplazamientos en el espacio, no solo en el plano.

Ejemplo 3: vector entre dos puntos en 3D

Sean los puntos:

\[ A=(1,2,3) \qquad B=(5,4,8) \]

Para calcular \(\overrightarrow{AB}\), restamos punto final menos punto inicial, componente a componente:

\[ \overrightarrow{AB}=(5-1,\;4-2,\;8-3) \]

\[ \overrightarrow{AB}=(4,2,5) \]

Esto significa que para ir desde \(A\) hasta \(B\), el desplazamiento cambia 4 unidades en \(x\), 2 unidades en \(y\) y 5 unidades en \(z\).

Vector entre dos puntos en 3D

Si \(A=(x_A,y_A,z_A)\) y \(B=(x_B,y_B,z_B)\), entonces:

\[ \overrightarrow{AB}=(x_B-x_A,\;y_B-y_A,\;z_B-z_A) \]

Es la misma regla usada en 2D, pero agregando la resta de la tercera componente.

Error frecuente

No olvides la tercera componente al trabajar en 3D.

Por ejemplo, si \(A=(1,2,3)\) y \(B=(5,4,8)\), no basta con calcular:

\[ (5-1,\;4-2) \]

También se debe considerar:

\[ 8-3 \]

Ejercicio 1

Interpreta con palabras cada vector en 3D:

  1. \(\vec{u}=(3,2,5)\)
  2. \(\vec{v}=(-4,1,6)\)
  3. \(\vec{w}=(2,-3,-1)\)
  4. \(\vec{z}=(-5,-2,4)\)

Ejercicio 2

Escribe el vector en 3D que representa cada desplazamiento:

  1. Avanzar 4 unidades en \(x\), 3 unidades en \(y\) y 2 unidades en \(z\).
  2. Avanzar 5 unidades en sentido negativo de \(x\), 1 unidad en \(y\) y 6 unidades en \(z\).
  3. Avanzar 2 unidades en \(x\), 4 unidades en sentido negativo de \(y\) y 3 unidades en sentido negativo de \(z\).
  4. Avanzar 1 unidad en sentido negativo de \(x\), 2 unidades en sentido negativo de \(y\) y 5 unidades en \(z\).

Ejercicio 3

Calcula las coordenadas de cada vector en 3D:

  1. \(A=(1,2,3)\), \(B=(4,6,8)\). Calcula \(\overrightarrow{AB}\).
  2. \(C=(-2,1,5)\), \(D=(3,4,2)\). Calcula \(\overrightarrow{CD}\).
  3. \(E=(5,-1,0)\), \(F=(2,3,-4)\). Calcula \(\overrightarrow{EF}\).
  4. \(G=(-3,-2,6)\), \(H=(-7,1,10)\). Calcula \(\overrightarrow{GH}\).

Ejercicio 4

Un estudiante afirma que para calcular un vector en 3D basta con restar las coordenadas \(x\) e \(y\), porque el eje \(z\) solo sirve para dibujar profundidad.

¿Es correcta su afirmación? Justifica.