vectores
11. Distancia y desplazamiento en el espacio
Distancia y desplazamiento en 3D
Objetivo de la página
- Calcular e interpretar la distancia y el desplazamiento entre puntos del espacio usando vectores en 3D.
Distancia y desplazamiento en el espacio
En 3D, un vector puede representar el desplazamiento desde un punto inicial hasta un punto final.
Si el vector es:
\[ \vec{v}=(a,b,c) \]
entonces sus componentes indican cuánto cambia la posición en los ejes \(x\), \(y\) y \(z\).
La distancia recorrida en línea recta corresponde al módulo de ese vector.
Módulo de un vector en 3D
Si \(\vec{v}=(a,b,c)\), entonces:
\[ |\vec{v}|=\sqrt{a^2+b^2+c^2} \]
Esta fórmula extiende la idea del módulo en 2D, agregando la tercera componente.
Ejemplo 1: desplazamiento en una caja 3D
La siguiente figura representa un desplazamiento en el espacio. El vector \(\overrightarrow{OP}\) tiene componentes:
\[ \overrightarrow{OP}=(4,4,2) \]
Para calcular la distancia real en el espacio usamos las componentes del vector:
\[ |\overrightarrow{OP}|=\sqrt{4^2+4^2+2^2} \]
\[ |\overrightarrow{OP}|=\sqrt{16+16+4} \]
\[ |\overrightarrow{OP}|=\sqrt{36}=6 \]
Por lo tanto, la distancia desde \(O\) hasta \(P\) es \(6\) unidades.
Distancia entre dos puntos en 3D
Si \(A=(x_A,y_A,z_A)\) y \(B=(x_B,y_B,z_B)\), entonces:
\[ \overrightarrow{AB}=(x_B-x_A,\;y_B-y_A,\;z_B-z_A) \]
La distancia entre \(A\) y \(B\) es el módulo de ese vector:
\[ d(A,B)=|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2} \]
Ejemplo 2: distancia entre dos puntos del espacio
Sean los puntos:
\[ A=(1,2,3) \qquad B=(5,5,15) \]
Primero calculamos el vector:
\[ \overrightarrow{AB}=(5-1,\;5-2,\;15-3) \]
\[ \overrightarrow{AB}=(4,3,12) \]
Luego calculamos su módulo:
\[ |\overrightarrow{AB}|=\sqrt{4^2+3^2+12^2} \]
\[ |\overrightarrow{AB}|=\sqrt{16+9+144} \]
\[ |\overrightarrow{AB}|=\sqrt{169}=13 \]
Por lo tanto, la distancia entre \(A\) y \(B\) es \(13\) unidades.
Idea clave
El vector \(\overrightarrow{AB}\) describe el desplazamiento desde \(A\) hasta \(B\).
La distancia entre \(A\) y \(B\) corresponde a la longitud de ese desplazamiento:
\[ d(A,B)=|\overrightarrow{AB}| \]
Desplazamiento versus distancia
| Concepto | Tipo de resultado | Ejemplo |
|---|---|---|
| Desplazamiento | Vector | \(\overrightarrow{AB}=(4,3,12)\) |
| Distancia | Número no negativo | \(d(A,B)=13\) |
Error frecuente
No confundas desplazamiento con distancia.
El desplazamiento es un vector, por ejemplo:
\[ \overrightarrow{AB}=(4,3,12) \]
La distancia es un número positivo o cero:
\[ |\overrightarrow{AB}|=13 \]
Ejercicio 1: calcular módulos en 3D
Calcula el módulo de cada vector en 3D:
- \(\vec{u}=(2,3,6)\)
- \(\vec{v}=(-4,0,3)\)
- \(\vec{w}=(1,-2,2)\)
Usamos:
\[ |\vec{v}|=\sqrt{a^2+b^2+c^2} \]
- \[ |\vec{u}|=\sqrt{2^2+3^2+6^2}=\sqrt{4+9+36}=\sqrt{49}=7 \]
- \[ |\vec{v}|=\sqrt{(-4)^2+0^2+3^2}=\sqrt{16+0+9}=\sqrt{25}=5 \]
- \[ |\vec{w}|=\sqrt{1^2+(-2)^2+2^2}=\sqrt{1+4+4}=\sqrt{9}=3 \]
Los módulos son \(7\), \(5\) y \(3\), respectivamente.
Ejercicio 2: desplazamiento y distancia entre puntos
Calcula \(\overrightarrow{AB}\) y luego la distancia entre los puntos:
- \(A=(1,2,0)\), \(B=(5,5,0)\)
- \(A=(-1,2,1)\), \(B=(2,6,13)\)
- \(A=(4,-2,5)\), \(B=(0,1,5)\)
Calculamos primero el vector \(\overrightarrow{AB}\) y luego su módulo.
- \[ \overrightarrow{AB}=(5-1,\;5-2,\;0-0)=(4,3,0) \] \[ d(A,B)=\sqrt{4^2+3^2+0^2}=5 \]
- \[ \overrightarrow{AB}=(2-(-1),\;6-2,\;13-1)=(3,4,12) \] \[ d(A,B)=\sqrt{3^2+4^2+12^2}=\sqrt{169}=13 \]
- \[ \overrightarrow{AB}=(0-4,\;1-(-2),\;5-5)=(-4,3,0) \] \[ d(A,B)=\sqrt{(-4)^2+3^2+0^2}=5 \]
Las distancias son \(5\), \(13\) y \(5\), respectivamente.
Ejercicio 3: interpretar una situación
Un desplazamiento en el espacio tiene componentes \(6\) en \(x\), \(2\) en \(y\) y \(3\) en \(z\).
- Escribe el vector que representa el desplazamiento.
- Calcula la distancia recorrida en línea recta.
- Explica por qué el vector y la distancia no son el mismo tipo de objeto.
El vector se escribe respetando el orden de las componentes:
\[ \vec{v}=(6,2,3) \]
La distancia recorrida en línea recta es el módulo del vector:
\[ |\vec{v}|=\sqrt{6^2+2^2+3^2} \]
\[ |\vec{v}|=\sqrt{36+4+9} \]
\[ |\vec{v}|=\sqrt{49}=7 \]
El vector \((6,2,3)\) indica dirección, sentido y cambios en los tres ejes. La distancia \(7\) solo indica la longitud del desplazamiento.
El vector es \((6,2,3)\) y la distancia recorrida es \(7\) unidades.
Ejercicio 4: hallar una componente desconocida
Sea el vector:
\[ \vec{v}=(x,2,6) \]
Si su módulo es \(7\), halla los posibles valores de \(x\).
Usamos la fórmula del módulo:
\[ |\vec{v}|=\sqrt{x^2+2^2+6^2} \]
Como el módulo es \(7\):
\[ \sqrt{x^2+4+36}=7 \]
\[ \sqrt{x^2+40}=7 \]
Elevamos al cuadrado:
\[ x^2+40=49 \]
\[ x^2=9 \]
Por lo tanto:
\[ x=3 \quad \text{o} \quad x=-3 \]
Los posibles valores son \(x=3\) y \(x=-3\).
Ejercicio 5: hallar una coordenada faltante
Sean los puntos:
\[ A=(1,2,3) \qquad B=(a,5,15) \]
Si la distancia entre \(A\) y \(B\) es \(13\), halla los posibles valores de \(a\).
Primero calculamos el desplazamiento:
\[ \overrightarrow{AB}=(a-1,\;5-2,\;15-3) \]
\[ \overrightarrow{AB}=(a-1,\;3,\;12) \]
Como la distancia es el módulo del desplazamiento:
\[ d(A,B)=\sqrt{(a-1)^2+3^2+12^2} \]
Y sabemos que \(d(A,B)=13\):
\[ \sqrt{(a-1)^2+9+144}=13 \]
\[ \sqrt{(a-1)^2+153}=13 \]
Elevamos al cuadrado:
\[ (a-1)^2+153=169 \]
\[ (a-1)^2=16 \]
Entonces:
\[ a-1=4 \quad \text{o} \quad a-1=-4 \]
Por lo tanto:
\[ a=5 \quad \text{o} \quad a=-3 \]
Los posibles valores de \(a\) son \(5\) y \(-3\).
Ejercicio 6: comparar desplazamientos opuestos
Si:
\[ \overrightarrow{AB}=(4,3,12) \]
- Escribe \(\overrightarrow{BA}\).
- Calcula \( |\overrightarrow{AB}| \).
- Calcula \( |\overrightarrow{BA}| \).
- Explica qué tienen en común y en qué se diferencian.
El vector contrario tiene todas sus componentes con signo opuesto:
\[ \overrightarrow{BA}=(-4,-3,-12) \]
Calculamos el módulo de \(\overrightarrow{AB}\):
\[ |\overrightarrow{AB}|=\sqrt{4^2+3^2+12^2} \]
\[ |\overrightarrow{AB}|=\sqrt{16+9+144}=\sqrt{169}=13 \]
Calculamos el módulo de \(\overrightarrow{BA}\):
\[ |\overrightarrow{BA}|=\sqrt{(-4)^2+(-3)^2+(-12)^2} \]
\[ |\overrightarrow{BA}|=\sqrt{16+9+144}=\sqrt{169}=13 \]
Ambos desplazamientos tienen la misma distancia, pero sentidos opuestos.
Entonces, \(\overrightarrow{BA}=(-4,-3,-12)\) y ambos vectores tienen módulo \(13\).
Ejercicio 7: corregir un error frecuente
Un estudiante afirma que si:
\[ \overrightarrow{AB}=(-3,4,-12) \]
entonces la distancia entre \(A\) y \(B\) es \(-13\), porque una de las componentes es negativa.
¿Es correcta su afirmación? Justifica.
La afirmación no es correcta.
La distancia siempre es un número mayor o igual que cero.
Calculamos el módulo del vector:
\[ |\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(-3)^2+4^2+(-12)^2} \]
\[ |\overrightarrow{AB}|=\sqrt{9+16+144} \]
\[ |\overrightarrow{AB}|=\sqrt{169}=13 \]
Las componentes negativas indican sentido en ciertos ejes, pero no hacen que la distancia sea negativa.
La afirmación es falsa: la distancia entre \(A\) y \(B\) es \(13\) unidades.
Para continuar
En 3D, el desplazamiento se representa mediante un vector de tres componentes.
La distancia corresponde al módulo de ese vector:
\[ d(A,B)=|\overrightarrow{AB}| \]
Por eso, un desplazamiento puede tener componentes negativas, pero la distancia siempre será un número no negativo.