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6. Dirección de un vector en el plano
Dirección de un vector en el plano
Objetivo de aprendizaje
- Determinar e interpretar la dirección de un vector en el plano cartesiano usando sus componentes y tangentes conocidas.
Idea inicial
Un vector del plano puede describir un desplazamiento mediante sus componentes.
Por ejemplo, el vector:
\[ \vec{v}=(2,2\sqrt{3}) \]
indica avanzar \(2\) unidades en dirección horizontal y \(2\sqrt{3}\) unidades en dirección vertical.
Además de sus componentes y su módulo, un vector también tiene una dirección, que puede representarse mediante el ángulo que forma con el eje \(x\) positivo.
Dirección de un vector
Si un vector del plano se escribe como:
\[ \vec{v}=(a,b) \]
entonces su dirección puede relacionarse con el ángulo \(\theta\) que forma con el eje \(x\) positivo.
Cuando \(a\neq 0\), usamos la razón tangente:
\[ \tan(\alpha)=\frac{\text{cateto opuesto}}{\text{cateto adyacente}} \]
En un vector \((a,b)\), esto se escribe como:
\[ \tan(\alpha)=\frac{b}{a} \]
En el primer cuadrante, el ángulo de referencia \(\alpha\) coincide con la dirección \(\theta\).
Tangentes conocidas
En esta página trabajaremos principalmente con ángulos notables:
\[ \tan(30^\circ)=\frac{1}{\sqrt{3}} \]
\[ \tan(45^\circ)=1 \]
\[ \tan(60^\circ)=\sqrt{3} \]
También consideraremos el caso vertical:
\[ 90^\circ \]
En ese caso no se calcula la tangente usando \(\frac{b}{a}\), porque la componente horizontal es \(0\).
Ejemplo 1: dirección de un vector usando tangente conocida
Consideremos el vector:
\[ \vec{v}=(2,2\sqrt{3}) \]
La componente horizontal es \(2\) y la componente vertical es \(2\sqrt{3}\).
Usamos la razón tangente:
\[ \tan(\alpha)=\frac{CO}{CA} \]
En este caso:
\[ \tan(\alpha)=\frac{2\sqrt{3}}{2} \]
Simplificando:
\[ \tan(\alpha)=\sqrt{3} \]
Como sabemos que:
\[ \tan(60^\circ)=\sqrt{3} \]
Entonces:
\[ \alpha=60^\circ \]
Por lo tanto, el vector \(\vec{v}=(2,2\sqrt{3})\) forma un ángulo de \(60^\circ\) con el eje \(x\) positivo.
Lectura importante
No es necesario que el vector sea exactamente \((1,\sqrt{3})\) para formar un ángulo de \(60^\circ\).
Por ejemplo:
\[ (2,2\sqrt{3})=2(1,\sqrt{3}) \]
Como es un múltiplo positivo de \((1,\sqrt{3})\), tiene la misma dirección y el mismo sentido.
Lo importante es que al calcular la razón:
\[ \frac{b}{a} \]
obtengamos una tangente conocida.
Ejemplo 2: dirección de \(45^\circ\)
Consideremos el vector:
\[ \vec{u}=(3,3) \]
Calculamos:
\[ \tan(\alpha)=\frac{3}{3}=1 \]
Como:
\[ \tan(45^\circ)=1 \]
Entonces:
\[ \alpha=45^\circ \]
Por lo tanto, el vector \((3,3)\) forma un ángulo de \(45^\circ\) con el eje \(x\) positivo.
Ejemplo 3: dirección de \(30^\circ\)
Consideremos el vector:
\[ \vec{w}=(4\sqrt{3},4) \]
Calculamos:
\[ \tan(\alpha)=\frac{4}{4\sqrt{3}} \]
Simplificando:
\[ \tan(\alpha)=\frac{1}{\sqrt{3}} \]
Como:
\[ \tan(30^\circ)=\frac{1}{\sqrt{3}} \]
Entonces:
\[ \alpha=30^\circ \]
Por lo tanto, el vector \((4\sqrt{3},4)\) forma un ángulo de \(30^\circ\) con el eje \(x\) positivo.
Vectores con la misma dirección
Dos vectores tienen la misma línea de dirección si uno se puede obtener multiplicando el otro por un número real distinto de cero.
Si:
\[ \vec{u}=k\vec{v} \]
entonces \(\vec{u}\) y \(\vec{v}\) son vectores paralelos.
- Si \(k>0\), tienen la misma dirección y el mismo sentido.
- Si \(k<0\), tienen la misma dirección, pero sentidos opuestos.
Por ejemplo:
\[ (6,6\sqrt{3})=3(2,2\sqrt{3}) \]
Ambos vectores tienen dirección de \(60^\circ\), porque son múltiplos positivos.
Dirección en otros cuadrantes
Cuando un vector no está en el primer cuadrante, podemos usar un ángulo de referencia.
El ángulo de referencia se calcula usando los valores positivos de las componentes:
\[ \tan(\alpha)=\frac{|b|}{|a|} \]
Luego se ajusta según el cuadrante donde está el vector.
| Cuadrante | Signos de \((a,b)\) | Dirección |
|---|---|---|
| I | \((+,+)\) | \(\theta=\alpha\) |
| II | \((-,+)\) | \(\theta=180^\circ-\alpha\) |
| III | \((-,-)\) | \(\theta=180^\circ+\alpha\) |
| IV | \((+,-)\) | \(\theta=360^\circ-\alpha\) |
Ejemplo 4: dirección en el segundo cuadrante
Consideremos el vector:
\[ \vec{r}=(-2,2) \]
Este vector está en el segundo cuadrante, porque su componente horizontal es negativa y su componente vertical es positiva.
Primero calculamos el ángulo de referencia:
\[ \tan(\alpha)=\frac{|2|}{|-2|} \]
\[ \tan(\alpha)=\frac{2}{2}=1 \]
Como:
\[ \tan(45^\circ)=1 \]
Entonces:
\[ \alpha=45^\circ \]
Como el vector está en el segundo cuadrante:
\[ \theta=180^\circ-45^\circ \]
\[ \theta=135^\circ \]
Por lo tanto, el vector \((-2,2)\) forma un ángulo de \(135^\circ\) con el eje \(x\) positivo.
Error frecuente
No se debe invertir la razón.
Para un vector \((a,b)\), la tangente del ángulo se calcula como:
\[ \tan(\alpha)=\frac{b}{a} \]
Es decir:
\[ \tan(\alpha)=\frac{\text{componente vertical}}{\text{componente horizontal}} \]
Por ejemplo, para \((2,2\sqrt{3})\):
\[ \tan(\alpha)=\frac{2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3} \]
Entonces el ángulo es \(60^\circ\), no \(30^\circ\).
Ejercicio 1: calcular dirección en el primer cuadrante
Determina el ángulo que forma cada vector con el eje \(x\) positivo:
- \(\vec{a}=(3,3\sqrt{3})\)
- \(\vec{b}=(5,5)\)
- \(\vec{c}=(6\sqrt{3},6)\)
-
\[ \tan(\alpha)=\frac{3\sqrt{3}}{3}=\sqrt{3} \]
Como \(\tan(60^\circ)=\sqrt{3}\), entonces \(\alpha=60^\circ\).
-
\[ \tan(\alpha)=\frac{5}{5}=1 \]
Como \(\tan(45^\circ)=1\), entonces \(\alpha=45^\circ\).
-
\[ \tan(\alpha)=\frac{6}{6\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}} \]
Como \(\tan(30^\circ)=\frac{1}{\sqrt{3}}\), entonces \(\alpha=30^\circ\).
Los ángulos son \(60^\circ\), \(45^\circ\) y \(30^\circ\), respectivamente.
Ejercicio 2: hallar una componente desconocida
El vector:
\[ \vec{v}=(2,b) \]
forma un ángulo de \(60^\circ\) con el eje \(x\) positivo.
Halla el valor de \(b\).
Usamos:
\[ \tan(\alpha)=\frac{b}{a} \]
Como el ángulo es \(60^\circ\), se cumple:
\[ \tan(60^\circ)=\frac{b}{2} \]
Sabemos que:
\[ \tan(60^\circ)=\sqrt{3} \]
Entonces:
\[ \frac{b}{2}=\sqrt{3} \]
\[ b=2\sqrt{3} \]
Por lo tanto, \(b=2\sqrt{3}\).
Ejercicio 3: construir un vector con una dirección dada
Escribe un vector distinto de \((1,\sqrt{3})\) que tenga dirección de \(60^\circ\) y el mismo sentido.
Un vector con dirección de \(60^\circ\) debe cumplir:
\[ \frac{b}{a}=\sqrt{3} \]
Una posibilidad es multiplicar \((1,\sqrt{3})\) por un escalar positivo.
Por ejemplo:
\[ 4(1,\sqrt{3})=(4,4\sqrt{3}) \]
Verificamos:
\[ \frac{4\sqrt{3}}{4}=\sqrt{3} \]
Un ejemplo posible es \((4,4\sqrt{3})\).
Ejercicio 4: dirección en otros cuadrantes
Determina el ángulo que forma cada vector con el eje \(x\) positivo:
- \(\vec{u}=(-5,-5)\)
- \(\vec{w}=(6\sqrt{3},-6)\)
- \(\vec{r}=(-4,4\sqrt{3})\)
-
El vector \((-5,-5)\) está en el tercer cuadrante.
\[ \tan(\alpha)=\frac{|-5|}{|-5|}=1 \]
Entonces \(\alpha=45^\circ\). Como está en el tercer cuadrante:
\[ \theta=180^\circ+45^\circ=225^\circ \]
-
El vector \((6\sqrt{3},-6)\) está en el cuarto cuadrante.
\[ \tan(\alpha)=\frac{|-6|}{|6\sqrt{3}|}=\frac{1}{\sqrt{3}} \]
Entonces \(\alpha=30^\circ\). Como está en el cuarto cuadrante:
\[ \theta=360^\circ-30^\circ=330^\circ \]
-
El vector \((-4,4\sqrt{3})\) está en el segundo cuadrante.
\[ \tan(\alpha)=\frac{|4\sqrt{3}|}{|-4|}=\sqrt{3} \]
Entonces \(\alpha=60^\circ\). Como está en el segundo cuadrante:
\[ \theta=180^\circ-60^\circ=120^\circ \]
Los ángulos son \(225^\circ\), \(330^\circ\) y \(120^\circ\), respectivamente.
Ejercicio 5: completar usando el cuadrante
Un vector está en el segundo cuadrante y tiene ángulo de referencia \(30^\circ\).
Si su componente vertical es \(2\), entonces el vector tiene la forma:
\[ \vec{v}=(a,2) \]
Halla el valor de \(a\) y determina su dirección \(\theta\).
Como el vector está en el segundo cuadrante, su componente horizontal debe ser negativa.
Usamos el ángulo de referencia:
\[ \tan(30^\circ)=\frac{|2|}{|a|} \]
Como:
\[ \tan(30^\circ)=\frac{1}{\sqrt{3}} \]
entonces:
\[ \frac{2}{|a|}=\frac{1}{\sqrt{3}} \]
\[ |a|=2\sqrt{3} \]
Como el vector está en el segundo cuadrante:
\[ a=-2\sqrt{3} \]
Además, como el ángulo de referencia es \(30^\circ\):
\[ \theta=180^\circ-30^\circ=150^\circ \]
Por lo tanto, \(a=-2\sqrt{3}\) y la dirección es \(150^\circ\).
Ejercicio 6: comparar dirección y sentido
Determina si los vectores:
\[ \vec{p}=(2,2\sqrt{3}) \]
y
\[ \vec{q}=(-6,-6\sqrt{3}) \]
tienen la misma línea de dirección, el mismo sentido o sentidos opuestos. Justifica.
Observamos que:
\[ -3(2,2\sqrt{3})=(-6,-6\sqrt{3}) \]
Entonces:
\[ \vec{q}=-3\vec{p} \]
Como el número multiplicador es negativo, los vectores son paralelos y tienen la misma línea de dirección, pero sentidos opuestos.
Además, \(\vec{p}\) apunta hacia el primer cuadrante y \(\vec{q}\) apunta hacia el tercer cuadrante.
Tienen la misma línea de dirección, pero sentidos opuestos.
Ejercicio 7: corregir un error frecuente
Un estudiante afirma que el vector:
\[ \vec{v}=(2,2\sqrt{3}) \]
forma un ángulo de \(30^\circ\), porque hizo:
\[ \tan(\alpha)=\frac{2}{2\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}} \]
¿Es correcto su procedimiento? Justifica y corrige.
El procedimiento no es correcto, porque invirtió la razón.
Para un vector \((a,b)\), se debe usar:
\[ \tan(\alpha)=\frac{b}{a} \]
En este caso:
\[ \tan(\alpha)=\frac{2\sqrt{3}}{2} \]
\[ \tan(\alpha)=\sqrt{3} \]
Como:
\[ \tan(60^\circ)=\sqrt{3} \]
Por lo tanto, el vector forma un ángulo de \(60^\circ\), no de \(30^\circ\).
Para continuar
La dirección de un vector puede reconocerse usando la razón entre su componente vertical y su componente horizontal.
Cuando esa razón corresponde a una tangente conocida, podemos determinar el ángulo sin usar calculadora.
Además, los múltiplos escalares positivos conservan dirección y sentido, mientras que los múltiplos negativos conservan la misma línea de dirección, pero cambian el sentido.