vectores
6. Dirección de un vector en el plano
Objetivo de aprendizaje
- Determinar e interpretar la dirección de un vector en el plano cartesiano usando sus componentes, su módulo y un ángulo de inclinación.
Idea inicial
En las páginas anteriores se estudió que un vector puede describir un desplazamiento mediante sus componentes.
Por ejemplo, el vector
\[ \vec{v}=(3,4) \]
indica avanzar \(3\) unidades en dirección horizontal y \(4\) unidades en dirección vertical.
Además de sus componentes y su módulo, un vector también tiene una dirección, que puede representarse mediante el ángulo que forma con el eje \(x\) positivo.
Dirección de un vector
Si un vector del plano se escribe como
\[ \vec{v}=(a,b), \]
entonces su dirección puede relacionarse con el ángulo \(\theta\) que forma con el eje \(x\) positivo.
Cuando \(a>0\), se puede usar la razón trigonométrica:
\[ \tan(\theta)=\frac{b}{a} \]
Esta relación aparece porque las componentes \(a\) y \(b\) forman un triángulo rectángulo con el vector.
Ejemplo 1: dirección del vector \(\vec{v}=(3,4)\)
Consideremos el vector:
\[ \vec{v}=(3,4) \]
Su componente horizontal es \(3\) y su componente vertical es \(4\).
El módulo del vector es:
\[ |\vec{v}|=\sqrt{3^2+4^2} \]
\[ |\vec{v}|=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5 \]
Para encontrar su dirección, usamos:
\[ \tan(\theta)=\frac{4}{3} \]
Por lo tanto, el ángulo \(\theta\) es aproximadamente:
\[ \theta \approx 53{,}1^\circ \]
Esto significa que el vector \(\vec{v}\) apunta formando un ángulo aproximado de \(53{,}1^\circ\) con el eje \(x\) positivo.
Lectura geométrica
El vector \((3,4)\) no solo indica cuánto se avanza en cada eje. También permite reconocer:
- su módulo: \(5\) unidades,
- su sentido: hacia la derecha y hacia arriba,
- su dirección: inclinada respecto del eje \(x\) positivo.
Ejemplo 2: comparar dos vectores con igual dirección
Consideremos los vectores:
\[ \vec{u}=(2,1) \qquad \vec{w}=(4,2) \]
Observamos que:
\[ \vec{w}=2\vec{u} \]
porque:
\[ 2(2,1)=(4,2) \]
Entonces, \(\vec{u}\) y \(\vec{w}\) tienen la misma dirección y el mismo sentido, pero distinto módulo.
Calculamos sus módulos:
\[ |\vec{u}|=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5} \]
\[ |\vec{w}|=\sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5} \]
El vector \(\vec{w}\) mide el doble que \(\vec{u}\), pero apunta hacia la misma dirección.
Vectores con la misma dirección
Dos vectores tienen la misma dirección si uno se puede obtener multiplicando el otro por un número real distinto de cero.
Si
\[ \vec{u}=k\vec{v}, \]
entonces \(\vec{u}\) y \(\vec{v}\) son vectores paralelos.
- Si \(k>0\), tienen el mismo sentido.
- Si \(k<0\), tienen sentidos opuestos.
Ejemplo 3: misma dirección, sentidos opuestos
Consideremos los vectores:
\[ \vec{a}=(3,-6) \qquad \vec{b}=(-1,2) \]
Podemos escribir:
\[ \vec{a}=-3\vec{b} \]
ya que:
\[ -3(-1,2)=(3,-6) \]
Como el número multiplicador es negativo, los vectores tienen la misma dirección, pero sentidos opuestos.
Error frecuente
No basta con mirar si las componentes tienen números parecidos.
Por ejemplo, los vectores
\[ (2,3) \qquad (4,5) \]
no tienen la misma dirección, porque no existe un mismo número \(k\) que multiplique ambas componentes de \((2,3)\) para obtener \((4,5)\).
En cambio:
\[ (4,6)=2(2,3) \]
sí tiene la misma dirección que \((2,3)\).
Ejercicio 1
Calcula el módulo del vector \(\vec{v}=(6,8)\) y determina aproximadamente el ángulo que forma con el eje \(x\) positivo.
Primero calculamos el módulo:
\[ |\vec{v}|=\sqrt{6^2+8^2} \]
\[ |\vec{v}|=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10 \]
Luego usamos la relación:
\[ \tan(\theta)=\frac{b}{a} \]
Como \(\vec{v}=(6,8)\), se tiene:
\[ \tan(\theta)=\frac{8}{6}=\frac{4}{3} \]
Por lo tanto:
\[ \theta \approx 53{,}1^\circ \]
El vector tiene módulo \(10\) y forma un ángulo aproximado de \(53{,}1^\circ\) con el eje \(x\) positivo.
Ejercicio 2
Determina si los vectores \(\vec{u}=(3,5)\) y \(\vec{w}=(6,10)\) tienen la misma dirección. Justifica.
Comparamos las componentes.
Observamos que:
\[ 2(3,5)=(6,10) \]
Entonces:
\[ \vec{w}=2\vec{u} \]
Como \(\vec{w}\) se obtiene multiplicando \(\vec{u}\) por un número positivo, ambos vectores tienen la misma dirección y el mismo sentido.
Ejercicio 3
Determina si los vectores \(\vec{a}=(-2,4)\) y \(\vec{b}=(1,-2)\) tienen la misma dirección. Indica si tienen el mismo sentido o sentidos opuestos.
Buscamos si uno de los vectores es múltiplo del otro.
Observamos que:
\[ -2(1,-2)=(-2,4) \]
Por lo tanto:
\[ \vec{a}=-2\vec{b} \]
Como el número multiplicador es negativo, los vectores tienen la misma dirección, pero sentidos opuestos.
Ejercicio 4
Un estudiante afirma que los vectores \((2,4)\) y \((3,6)\) tienen la misma dirección porque ambos tienen componentes positivas. ¿Es correcta su afirmación? Justifica.
La afirmación es incompleta: tener componentes positivas no basta para asegurar que dos vectores tienen la misma dirección.
En este caso particular, sí tienen la misma dirección, pero no por tener componentes positivas, sino porque uno es múltiplo del otro.
Observamos que:
\[ \frac{3}{2}=1{,}5 \qquad \frac{6}{4}=1{,}5 \]
Entonces:
\[ (3,6)=1{,}5(2,4) \]
Por lo tanto, los vectores tienen la misma dirección y el mismo sentido. La justificación correcta es que uno es múltiplo positivo del otro.
Para continuar
La dirección de un vector permite comparar desplazamientos que apuntan hacia una misma línea, aunque tengan distinta longitud. En la siguiente página se puede profundizar en el vector unitario, que conserva la dirección y el sentido de un vector, pero tiene módulo \(1\).