vectores
8. Vector unitario en el plano
Vector unitario
Objetivo de aprendizaje
- Determinar e interpretar el vector unitario asociado a un vector no nulo, reconociendo que conserva su dirección y sentido, pero tiene módulo \(1\).
Idea inicial
En las páginas anteriores se estudió que un vector puede describirse mediante sus componentes, su módulo y su dirección.
Ahora estudiaremos un vector especial: el vector unitario.
Un vector unitario es un vector que tiene módulo \(1\). Sirve para indicar una dirección y un sentido sin importar la longitud original del vector.
Definición de vector unitario
Sea \(\vec{v}\) un vector distinto del vector cero. El vector unitario asociado a \(\vec{v}\) se define como:
\[ \hat{v}=\frac{\vec{v}}{|\vec{v}|} \]
Esto significa que cada componente del vector se divide por su módulo.
Si \(\vec{v}=(a,b)\), entonces:
\[ \hat{v}=\left(\frac{a}{|\vec{v}|},\frac{b}{|\vec{v}|}\right) \]
Atención
El vector cero \(\vec{0}=(0,0)\) no tiene vector unitario asociado.
Esto ocurre porque su módulo es \(0\), y no se puede dividir por cero:
\[ \frac{\vec{0}}{|\vec{0}|}=\frac{(0,0)}{0} \]
Además, el vector cero no determina una dirección específica.
Ejemplo 1: vector unitario asociado a \(\vec{v}=(3,4)\)
Consideremos el vector:
\[ \vec{v}=(3,4) \]
Primero calculamos su módulo:
\[ |\vec{v}|=\sqrt{3^2+4^2} \]
\[ |\vec{v}|=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5 \]
Luego dividimos cada componente por el módulo:
\[ \hat{v}=\frac{\vec{v}}{|\vec{v}|} \]
\[ \hat{v}=\left(\frac{3}{5},\frac{4}{5}\right) \]
Por lo tanto, el vector unitario asociado a \(\vec{v}\) es \(\hat{v}=\left(\frac{3}{5},\frac{4}{5}\right)\).
Este vector tiene la misma dirección y el mismo sentido que \(\vec{v}\), pero su módulo es \(1\).
Ejemplo 2: comprobar que el vector obtenido es unitario
En el ejemplo anterior se obtuvo:
\[ \hat{v}=\left(\frac{3}{5},\frac{4}{5}\right) \]
Para comprobar que es unitario, calculamos su módulo:
\[ |\hat{v}|=\sqrt{\left(\frac{3}{5}\right)^2+\left(\frac{4}{5}\right)^2} \]
\[ |\hat{v}|=\sqrt{\frac{9}{25}+\frac{16}{25}} \]
\[ |\hat{v}|=\sqrt{\frac{25}{25}}=\sqrt{1}=1 \]
Por lo tanto, efectivamente \(\hat{v}\) es un vector unitario.
Interpretación geométrica
Calcular un vector unitario no cambia la dirección ni el sentido del vector original.
Lo que cambia es su módulo: el nuevo vector queda con longitud \(1\).
Por eso, el vector unitario permite representar solo la dirección y el sentido de un desplazamiento.
Ejemplo 3: vector unitario con componentes negativas
Consideremos el vector:
\[ \vec{u}=(-5,12) \]
Calculamos su módulo:
\[ |\vec{u}|=\sqrt{(-5)^2+12^2} \]
\[ |\vec{u}|=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13 \]
Dividimos cada componente por \(13\):
\[ \hat{u}=\left(\frac{-5}{13},\frac{12}{13}\right) \]
Entonces:
\[ \hat{u}=\left(-\frac{5}{13},\frac{12}{13}\right) \]
Este vector unitario apunta hacia la izquierda y hacia arriba, igual que el vector original.
Procedimiento
- Identifica las componentes del vector \(\vec{v}=(a,b)\).
- Calcula su módulo usando \( |\vec{v}|=\sqrt{a^2+b^2} \).
- Divide cada componente por el módulo.
- Verifica, si es necesario, que el módulo del vector obtenido sea \(1\).
Error frecuente
No se debe dividir el vector por la suma de sus componentes.
Por ejemplo, si \(\vec{v}=(3,4)\), no corresponde hacer:
\[ \left(\frac{3}{7},\frac{4}{7}\right) \]
Lo correcto es dividir por el módulo:
\[ |\vec{v}|=5 \]
Entonces:
\[ \hat{v}=\left(\frac{3}{5},\frac{4}{5}\right) \]
Ejercicio 1: calcular un vector unitario
Calcula el vector unitario asociado a:
\[ \vec{v}=(6,8) \]
Primero calculamos el módulo de \(\vec{v}\):
\[ |\vec{v}|=\sqrt{6^2+8^2} \]
\[ |\vec{v}|=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10 \]
Luego dividimos cada componente por \(10\):
\[ \hat{v}=\left(\frac{6}{10},\frac{8}{10}\right) \]
Simplificando:
\[ \hat{v}=\left(\frac{3}{5},\frac{4}{5}\right) \]
Por lo tanto, el vector unitario asociado es \(\hat{v}=\left(\frac{3}{5},\frac{4}{5}\right)\).
Ejercicio 2: vector unitario con signos
Calcula el vector unitario asociado a:
\[ \vec{u}=(-12,5) \]
Luego indica hacia qué cuadrante apunta.
Primero calculamos el módulo:
\[ |\vec{u}|=\sqrt{(-12)^2+5^2} \]
\[ |\vec{u}|=\sqrt{144+25}=\sqrt{169}=13 \]
Dividimos cada componente por \(13\):
\[ \hat{u}=\left(\frac{-12}{13},\frac{5}{13}\right) \]
Entonces:
\[ \hat{u}=\left(-\frac{12}{13},\frac{5}{13}\right) \]
Como la primera componente es negativa y la segunda positiva, el vector apunta hacia el segundo cuadrante.
El vector unitario es \(\hat{u}=\left(-\frac{12}{13},\frac{5}{13}\right)\).
Ejercicio 3: verificar si un vector es unitario
Verifica si el vector:
\[ \vec{a}=\left(\frac{8}{17},\frac{15}{17}\right) \]
es unitario.
Para verificar si es unitario, calculamos su módulo:
\[ |\vec{a}|=\sqrt{\left(\frac{8}{17}\right)^2+\left(\frac{15}{17}\right)^2} \]
\[ |\vec{a}|=\sqrt{\frac{64}{289}+\frac{225}{289}} \]
\[ |\vec{a}|=\sqrt{\frac{289}{289}} \]
\[ |\vec{a}|=\sqrt{1}=1 \]
Por lo tanto, \(\vec{a}\) sí es un vector unitario.
Ejercicio 4: completar un vector usando su unitario
El vector \(\vec{v}=(x,8)\) tiene asociado el vector unitario:
\[ \hat{v}=\left(\frac{3}{5},\frac{4}{5}\right) \]
Halla el valor de \(x\).
Si \(\hat{v}=\left(\frac{3}{5},\frac{4}{5}\right)\), entonces \(\vec{v}\) tiene la misma dirección y el mismo sentido que ese vector unitario.
Por lo tanto, \(\vec{v}\) debe ser un múltiplo positivo de \(\left(\frac{3}{5},\frac{4}{5}\right)\):
\[ \vec{v}=k\left(\frac{3}{5},\frac{4}{5}\right) \]
Como la segunda componente de \(\vec{v}\) es \(8\), se cumple:
\[ k\cdot \frac{4}{5}=8 \]
\[ k=10 \]
Entonces la primera componente es:
\[ x=10\cdot \frac{3}{5}=6 \]
Por lo tanto, \(x=6\).
Ejercicio 5: reconstruir un vector desde su módulo y unitario
Un vector tiene módulo \(10\) y su vector unitario asociado es:
\[ \hat{v}=\left(\frac{3}{5},-\frac{4}{5}\right) \]
Determina el vector \(\vec{v}\).
Si conocemos el módulo y el vector unitario, podemos reconstruir el vector original multiplicando:
\[ \vec{v}=|\vec{v}|\hat{v} \]
Reemplazamos:
\[ \vec{v}=10\left(\frac{3}{5},-\frac{4}{5}\right) \]
\[ \vec{v}=\left(10\cdot\frac{3}{5},10\cdot\left(-\frac{4}{5}\right)\right) \]
\[ \vec{v}=(6,-8) \]
Por lo tanto, el vector original es \(\vec{v}=(6,-8)\).
Ejercicio 6: construir un vector unitario con dirección dada
Construye un vector unitario que tenga la misma dirección y sentido que:
\[ \vec{w}=(5,12) \]
Primero calculamos el módulo de \(\vec{w}\):
\[ |\vec{w}|=\sqrt{5^2+12^2} \]
\[ |\vec{w}|=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13 \]
Luego dividimos cada componente por \(13\):
\[ \hat{w}=\left(\frac{5}{13},\frac{12}{13}\right) \]
El vector unitario pedido es \(\hat{w}=\left(\frac{5}{13},\frac{12}{13}\right)\).
Ejercicio 7: analizar el vector cero
Explica por qué el vector:
\[ \vec{0}=(0,0) \]
no tiene vector unitario asociado.
Para calcular el vector unitario asociado a un vector \(\vec{v}\), usamos:
\[ \hat{v}=\frac{\vec{v}}{|\vec{v}|} \]
Si \(\vec{v}=(0,0)\), entonces su módulo es:
\[ |\vec{v}|=\sqrt{0^2+0^2}=0 \]
Por lo tanto, habría que dividir por \(0\):
\[ \frac{(0,0)}{0} \]
Como la división por cero no está definida, el vector cero no tiene vector unitario asociado.
Además, el vector cero no determina una dirección específica.
Por eso, solo los vectores no nulos tienen vector unitario asociado.
Ejercicio 8: corregir un error frecuente
Un estudiante afirma que el vector unitario asociado a:
\[ \vec{w}=(4,3) \]
es:
\[ \left(\frac{4}{7},\frac{3}{7}\right) \]
porque \(4+3=7\).
¿Es correcta su afirmación? Justifica y corrige si es necesario.
La afirmación no es correcta, porque para calcular un vector unitario se divide por el módulo del vector, no por la suma de sus componentes.
Calculamos el módulo de \(\vec{w}\):
\[ |\vec{w}|=\sqrt{4^2+3^2} \]
\[ |\vec{w}|=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5 \]
Ahora dividimos cada componente por \(5\):
\[ \hat{w}=\left(\frac{4}{5},\frac{3}{5}\right) \]
Por lo tanto, el vector unitario correcto es \(\hat{w}=\left(\frac{4}{5},\frac{3}{5}\right)\).
Para continuar
El vector unitario permite separar la dirección de la longitud.
En la siguiente página se puede estudiar cómo reconocer perpendicularidad entre vectores usando una herramienta algebraica llamada producto punto.