vectores
9. Producto punto y perpendicularidad entre vectores
Producto punto y perpendicularidad
Objetivo de aprendizaje
- Calcular el producto punto entre dos vectores del plano e interpretarlo como una herramienta para reconocer perpendicularidad.
Idea inicial
En las páginas anteriores se estudió que los vectores tienen componentes, módulo, dirección y sentido.
Ahora veremos una operación entre dos vectores llamada producto punto. Esta operación entrega un número y permite reconocer si dos vectores son perpendiculares.
Producto punto en el plano
Si:
\[ \vec{u}=(a,b) \qquad \vec{v}=(c,d) \]
entonces el producto punto entre \(\vec{u}\) y \(\vec{v}\) se define como:
\[ \vec{u}\cdot\vec{v}=ac+bd \]
Es decir, se multiplican las componentes correspondientes y luego se suman los resultados.
Ejemplo 1: calcular un producto punto
Sean los vectores:
\[ \vec{u}=(2,5) \qquad \vec{v}=(3,-1) \]
Calculamos:
\[ \vec{u}\cdot\vec{v}=2\cdot3+5\cdot(-1) \]
\[ \vec{u}\cdot\vec{v}=6-5=1 \]
Por lo tanto, \(\vec{u}\cdot\vec{v}=1\).
El resultado del producto punto es un número, no un vector.
Criterio de perpendicularidad
Dos vectores no nulos son perpendiculares si y solo si su producto punto es igual a cero.
\[ \vec{u}\perp\vec{v} \quad \Longleftrightarrow \quad \vec{u}\cdot\vec{v}=0 \]
Este criterio permite verificar perpendicularidad usando solo las componentes de los vectores.
Ejemplo 2: vectores perpendiculares
Sean los vectores:
\[ \vec{a}=(3,2) \qquad \vec{b}=(2,-3) \]
Calculamos el producto punto:
\[ \vec{a}\cdot\vec{b}=3\cdot2+2\cdot(-3) \]
\[ \vec{a}\cdot\vec{b}=6-6=0 \]
Como el producto punto es \(0\), los vectores son perpendiculares:
\[ \vec{a}\perp\vec{b} \]
Ejemplo 3: vectores que no son perpendiculares
Sean los vectores:
\[ \vec{p}=(4,1) \qquad \vec{q}=(2,3) \]
Calculamos:
\[ \vec{p}\cdot\vec{q}=4\cdot2+1\cdot3 \]
\[ \vec{p}\cdot\vec{q}=8+3=11 \]
Como el producto punto no es \(0\), los vectores no son perpendiculares.
Relación con el ángulo entre vectores
El producto punto también se relaciona con el ángulo \(\theta\) que forman dos vectores:
\[ \vec{u}\cdot\vec{v}=|\vec{u}||\vec{v}|\cos(\theta) \]
Si dos vectores son perpendiculares, entonces forman un ángulo de \(90^\circ\).
Como:
\[ \cos(90^\circ)=0 \]
se obtiene:
\[ \vec{u}\cdot\vec{v}=0 \]
Por eso el producto punto igual a cero permite reconocer perpendicularidad.
Ejemplo 4: encontrar un valor para que dos vectores sean perpendiculares
Determina el valor de \(k\) para que los vectores:
\[ \vec{u}=(k,4) \qquad \vec{v}=(2,-3) \]
sean perpendiculares.
Para que sean perpendiculares, debe cumplirse:
\[ \vec{u}\cdot\vec{v}=0 \]
Calculamos:
\[ (k,4)\cdot(2,-3)=2k+4(-3) \]
\[ 2k-12=0 \]
Resolviendo:
\[ 2k=12 \]
\[ k=6 \]
Por lo tanto, si \(k=6\), los vectores son perpendiculares.
Error frecuente
No confundas el producto punto con la multiplicación por escalar.
La multiplicación por escalar produce un vector:
\[ 3(2,5)=(6,15) \]
En cambio, el producto punto entre dos vectores produce un número:
\[ (2,5)\cdot(3,-1)=1 \]
Procedimiento
- Identifica las componentes de ambos vectores.
- Multiplica las primeras componentes entre sí.
- Multiplica las segundas componentes entre sí.
- Suma ambos productos.
- Si el resultado es \(0\), los vectores son perpendiculares.
Ejercicio 1: calcular producto punto
Calcula el producto punto entre los vectores:
\[ \vec{u}=(5,-2) \qquad \vec{v}=(3,4) \]
Usamos la fórmula:
\[ \vec{u}\cdot\vec{v}=ac+bd \]
Como \(\vec{u}=(5,-2)\) y \(\vec{v}=(3,4)\), se tiene:
\[ \vec{u}\cdot\vec{v}=5\cdot3+(-2)\cdot4 \]
\[ \vec{u}\cdot\vec{v}=15-8=7 \]
Por lo tanto, \(\vec{u}\cdot\vec{v}=7\).
Ejercicio 2: verificar perpendicularidad
Determina si los vectores:
\[ \vec{a}=(4,3) \qquad \vec{b}=(6,-8) \]
son perpendiculares.
Calculamos el producto punto:
\[ \vec{a}\cdot\vec{b}=4\cdot6+3\cdot(-8) \]
\[ \vec{a}\cdot\vec{b}=24-24=0 \]
Como el producto punto es \(0\), los vectores son perpendiculares.
\[ \vec{a}\perp\vec{b} \]
Sí, los vectores son perpendiculares.
Ejercicio 3: reconocer cuando no hay perpendicularidad
Determina si los vectores:
\[ \vec{p}=(-1,7) \qquad \vec{q}=(3,2) \]
son perpendiculares.
Calculamos:
\[ \vec{p}\cdot\vec{q}=(-1)\cdot3+7\cdot2 \]
\[ \vec{p}\cdot\vec{q}=-3+14=11 \]
Como el producto punto no es \(0\), los vectores no son perpendiculares.
No son perpendiculares.
Ejercicio 4: hallar una componente desconocida
Encuentra el valor de \(k\) para que los vectores:
\[ \vec{u}=(3,k) \qquad \vec{v}=(4,-6) \]
sean perpendiculares.
Para que sean perpendiculares, debe cumplirse:
\[ \vec{u}\cdot\vec{v}=0 \]
Calculamos:
\[ (3,k)\cdot(4,-6)=3\cdot4+k\cdot(-6) \]
\[ 12-6k=0 \]
Resolviendo:
\[ -6k=-12 \]
\[ k=2 \]
Por lo tanto, el valor que permite que los vectores sean perpendiculares es \(k=2\).
Ejercicio 5: producto punto con resultado dado
Determina el valor de \(a\) para que se cumpla:
\[ (a,3)\cdot(2,-5)=-11 \]
Calculamos el producto punto:
\[ (a,3)\cdot(2,-5)=2a+3(-5) \]
\[ 2a-15=-11 \]
Resolviendo:
\[ 2a=4 \]
\[ a=2 \]
Por lo tanto, \(a=2\).
Ejercicio 6: construir un vector perpendicular
Construye un vector no nulo que sea perpendicular a:
\[ \vec{u}=(3,4) \]
Luego verifica tu respuesta usando producto punto.
Una forma de construir un vector perpendicular a \((3,4)\) es intercambiar las componentes y cambiar el signo de una de ellas.
Por ejemplo:
\[ \vec{v}=(4,-3) \]
Verificamos:
\[ \vec{u}\cdot\vec{v}=(3,4)\cdot(4,-3) \]
\[ \vec{u}\cdot\vec{v}=3\cdot4+4(-3) \]
\[ \vec{u}\cdot\vec{v}=12-12=0 \]
Por lo tanto, \((4,-3)\) es perpendicular a \((3,4)\).
También serviría cualquier múltiplo no nulo de \((4,-3)\), como \((8,-6)\) o \((-4,3)\).
Ejercicio 7: producto punto entre vectores definidos por puntos
Sean los puntos:
\[ A=(1,2),\quad B=(5,4),\quad C=(3,1),\quad D=(1,5) \]
Determina si los vectores \(\overrightarrow{AB}\) y \(\overrightarrow{CD}\) son perpendiculares.
Primero calculamos cada vector:
\[ \overrightarrow{AB}=(5-1,\;4-2)=(4,2) \]
\[ \overrightarrow{CD}=(1-3,\;5-1)=(-2,4) \]
Ahora calculamos el producto punto:
\[ \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD}=(4,2)\cdot(-2,4) \]
\[ \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD}=4(-2)+2(4) \]
\[ \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD}=-8+8=0 \]
Como el producto punto es \(0\), los vectores son perpendiculares.
Ejercicio 8: corregir una interpretación
Un estudiante afirma que los vectores \((2,6)\) y \((3,-1)\) son perpendiculares porque una componente es positiva y la otra es negativa.
¿Es correcta su justificación? Justifica y corrige si es necesario.
La justificación no es correcta.
Para verificar perpendicularidad se debe calcular el producto punto.
Calculamos:
\[ (2,6)\cdot(3,-1)=2\cdot3+6\cdot(-1) \]
\[ (2,6)\cdot(3,-1)=6-6=0 \]
En este caso, los vectores sí son perpendiculares, pero no por la razón indicada por el estudiante.
La justificación correcta es que su producto punto es igual a cero.
Ejercicio 9: distinguir resultado escalar y vectorial
Un estudiante escribe:
\[ (2,5)\cdot(3,-1)=(6,-5) \]
¿Es correcto? Justifica y corrige.
No es correcto.
El producto punto no entrega un vector. Entrega un número.
Se deben multiplicar las componentes correspondientes y luego sumar:
\[ (2,5)\cdot(3,-1)=2\cdot3+5(-1) \]
\[ (2,5)\cdot(3,-1)=6-5=1 \]
El resultado \((6,-5)\) corresponde solo a multiplicar componentes, pero falta sumar los productos.
La respuesta correcta es \((2,5)\cdot(3,-1)=1\).
Para continuar
El producto punto permite estudiar perpendicularidad en el plano y también será útil más adelante para analizar relaciones entre vectores en el espacio.
La idea clave es:
\[ \vec{u}\cdot\vec{v}=0 \quad \Longleftrightarrow \quad \vec{u}\perp\vec{v} \]
siempre que los vectores sean no nulos.