vectores
9. Producto punto y perpendicularidad entre vectores
Objetivo de aprendizaje
- Calcular el producto punto entre dos vectores del plano e interpretarlo como una herramienta para reconocer perpendicularidad.
Idea inicial
En las páginas anteriores se estudió que los vectores tienen componentes, módulo, dirección y sentido.
Ahora veremos una operación entre dos vectores llamada producto punto. Esta operación entrega un número y permite reconocer si dos vectores son perpendiculares.
Producto punto en el plano
Si
\[ \vec{u}=(a,b) \qquad \vec{v}=(c,d), \]
entonces el producto punto entre \(\vec{u}\) y \(\vec{v}\) se define como:
\[ \vec{u}\cdot\vec{v}=ac+bd \]
Es decir, se multiplican las componentes correspondientes y luego se suman los resultados.
Ejemplo 1: calcular un producto punto
Sean los vectores:
\[ \vec{u}=(2,5) \qquad \vec{v}=(3,-1) \]
Calculamos:
\[ \vec{u}\cdot\vec{v}=2\cdot3+5\cdot(-1) \]
\[ \vec{u}\cdot\vec{v}=6-5=1 \]
Por lo tanto:
\[ \vec{u}\cdot\vec{v}=1 \]
El resultado del producto punto es un número, no un vector.
Criterio de perpendicularidad
Dos vectores no nulos son perpendiculares si su producto punto es igual a cero.
\[ \vec{u}\perp\vec{v} \quad \Longleftrightarrow \quad \vec{u}\cdot\vec{v}=0 \]
Este criterio permite verificar perpendicularidad usando solo las componentes de los vectores.
Ejemplo 2: vectores perpendiculares
Sean los vectores:
\[ \vec{a}=(3,2) \qquad \vec{b}=(2,-3) \]
Calculamos el producto punto:
\[ \vec{a}\cdot\vec{b}=3\cdot2+2\cdot(-3) \]
\[ \vec{a}\cdot\vec{b}=6-6=0 \]
Como el producto punto es \(0\), los vectores son perpendiculares:
\[ \vec{a}\perp\vec{b} \]
Ejemplo 3: vectores que no son perpendiculares
Sean los vectores:
\[ \vec{p}=(4,1) \qquad \vec{q}=(2,3) \]
Calculamos:
\[ \vec{p}\cdot\vec{q}=4\cdot2+1\cdot3 \]
\[ \vec{p}\cdot\vec{q}=8+3=11 \]
Como el producto punto no es \(0\), los vectores no son perpendiculares.
Relación con el ángulo entre vectores
El producto punto también se relaciona con el ángulo \(\theta\) que forman dos vectores:
\[ \vec{u}\cdot\vec{v}=|\vec{u}||\vec{v}|\cos(\theta) \]
Si dos vectores son perpendiculares, entonces forman un ángulo de \(90^\circ\).
Como
\[ \cos(90^\circ)=0, \]
se obtiene:
\[ \vec{u}\cdot\vec{v}=0 \]
Por eso el producto punto igual a cero permite reconocer perpendicularidad.
Ejemplo 4: encontrar un valor para que dos vectores sean perpendiculares
Determina el valor de \(k\) para que los vectores
\[ \vec{u}=(k,4) \qquad \vec{v}=(2,-3) \]
sean perpendiculares.
Para que sean perpendiculares, debe cumplirse:
\[ \vec{u}\cdot\vec{v}=0 \]
Calculamos:
\[ (k,4)\cdot(2,-3)=2k+4(-3) \]
\[ 2k-12=0 \]
Resolviendo:
\[ 2k=12 \]
\[ k=6 \]
Por lo tanto, si \(k=6\), los vectores son perpendiculares.
Error frecuente
No confundas el producto punto con la multiplicación por escalar.
La multiplicación por escalar produce un vector:
\[ 3(2,5)=(6,15) \]
En cambio, el producto punto entre dos vectores produce un número:
\[ (2,5)\cdot(3,-1)=1 \]
Procedimiento
- Identifica las componentes de ambos vectores.
- Multiplica las primeras componentes entre sí.
- Multiplica las segundas componentes entre sí.
- Suma ambos productos.
- Si el resultado es \(0\), los vectores son perpendiculares.
Ejercicio 1
Calcula el producto punto entre los vectores \(\vec{u}=(5,-2)\) y \(\vec{v}=(3,4)\).
Usamos la fórmula:
\[ \vec{u}\cdot\vec{v}=ac+bd \]
Como \(\vec{u}=(5,-2)\) y \(\vec{v}=(3,4)\), se tiene:
\[ \vec{u}\cdot\vec{v}=5\cdot3+(-2)\cdot4 \]
\[ \vec{u}\cdot\vec{v}=15-8=7 \]
Por lo tanto:
\[ \vec{u}\cdot\vec{v}=7 \]
Ejercicio 2
Determina si los vectores \(\vec{a}=(4,3)\) y \(\vec{b}=(6,-8)\) son perpendiculares.
Calculamos el producto punto:
\[ \vec{a}\cdot\vec{b}=4\cdot6+3\cdot(-8) \]
\[ \vec{a}\cdot\vec{b}=24-24=0 \]
Como el producto punto es \(0\), los vectores son perpendiculares.
\[ \vec{a}\perp\vec{b} \]
Ejercicio 3
Determina si los vectores \(\vec{p}=(-1,7)\) y \(\vec{q}=(3,2)\) son perpendiculares.
Calculamos:
\[ \vec{p}\cdot\vec{q}=(-1)\cdot3+7\cdot2 \]
\[ \vec{p}\cdot\vec{q}=-3+14=11 \]
Como el producto punto no es \(0\), los vectores no son perpendiculares.
Ejercicio 4
Encuentra el valor de \(k\) para que los vectores \(\vec{u}=(3,k)\) y \(\vec{v}=(4,-6)\) sean perpendiculares.
Para que sean perpendiculares, debe cumplirse:
\[ \vec{u}\cdot\vec{v}=0 \]
Calculamos:
\[ (3,k)\cdot(4,-6)=3\cdot4+k\cdot(-6) \]
\[ 12-6k=0 \]
Resolviendo:
\[ -6k=-12 \]
\[ k=2 \]
Por lo tanto, el valor que permite que los vectores sean perpendiculares es:
\[ k=2 \]
Ejercicio 5
Un estudiante afirma que los vectores \((2,6)\) y \((3,-1)\) son perpendiculares porque una componente es positiva y la otra es negativa. ¿Es correcta su afirmación? Justifica.
La afirmación no es correcta. Para verificar perpendicularidad se debe calcular el producto punto.
Calculamos:
\[ (2,6)\cdot(3,-1)=2\cdot3+6\cdot(-1) \]
\[ (2,6)\cdot(3,-1)=6-6=0 \]
En este caso, los vectores sí son perpendiculares, pero no por la razón indicada por el estudiante.
La justificación correcta es que su producto punto es igual a cero.
Para continuar
El producto punto permite estudiar perpendicularidad en el plano y también será útil más adelante para analizar relaciones entre vectores en el espacio.