vectores
12. Resumen unidad
Resumen: operaciones con vectores en \(\mathbb{R}^2\) y \(\mathbb{R}^3\)
Objetivo
- Reconocer y aplicar propiedades básicas de vectores escritos como pares ordenados o ternas ordenadas.
Igualdad de vectores
Dos vectores son iguales cuando sus componentes correspondientes son iguales.
En \(\mathbb{R}^2\):
\[ (a,b)=(c,d) \Longleftrightarrow a=c \text{ y } b=d \]
En \(\mathbb{R}^3\):
\[ (a,b,c)=(d,e,f) \Longleftrightarrow a=d,\ b=e \text{ y } c=f \]
Esta propiedad permite resolver ejercicios con componentes desconocidas.
Operaciones principales en \(\mathbb{R}^2\)
| Propiedad | Regla | Ejemplo |
|---|---|---|
| Suma | \((a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)\) | \((2,3)+(4,5)=(6,8)\) |
| Resta | \((a,b)-(c,d)=(a-c,b-d)\) | \((2,3)-(4,5)=(-2,-2)\) |
| Multiplicación por escalar | \(k(a,b)=(ka,kb)\) | \(6(3,4)=(18,24)\) |
| División por escalar | \(\dfrac{(a,b)}{k}=\left(\dfrac{a}{k},\dfrac{b}{k}\right)\), con \(k\neq 0\) | \(\dfrac{(6,8)}{2}=(3,4)\) |
| Vector opuesto | \(-(a,b)=(-a,-b)\) | \(-(-2,5)=(2,-5)\) |
¿Y en \(\mathbb{R}^3\)?
Las operaciones funcionan igual que en \(\mathbb{R}^2\), pero agregando la tercera componente.
\[ (a,b,c)+(d,e,f)=(a+d,\ b+e,\ c+f) \]
\[ (a,b,c)-(d,e,f)=(a-d,\ b-e,\ c-f) \]
\[ k(a,b,c)=(ka,\ kb,\ kc) \]
Por ejemplo:
\[ 2(3,-1,4)=(6,-2,8) \]
Norma o tamaño de un vector
| Dimensión | Vector | Norma |
|---|---|---|
| \(\mathbb{R}^2\) | \(\vec{v}=(a,b)\) | \(\|\vec{v}\|=\sqrt{a^2+b^2}\) |
| \(\mathbb{R}^3\) | \(\vec{v}=(a,b,c)\) | \(\|\vec{v}\|=\sqrt{a^2+b^2+c^2}\) |
Ejemplo: norma en \(\mathbb{R}^3\)
Para \(\vec{v}=(2,-3,6)\):
\[ \|\vec{v}\|=\sqrt{2^2+(-3)^2+6^2} \]
\[ \|\vec{v}\|=\sqrt{4+9+36}=\sqrt{49}=7 \]
Por lo tanto, el tamaño del vector \((2,-3,6)\) es \(7\).
Vector unitario
El vector unitario en la dirección de \(\vec{v}\) se obtiene dividiendo el vector por su norma:
\[ \hat{v}=\frac{\vec{v}}{\|\vec{v}\|} \]
Esto solo se puede hacer si \(\vec{v}\neq \vec{0}\), porque el vector cero tiene norma \(0\).
Ejemplo: convertir \((6,8)\) en vector unitario
Primero calculamos su norma:
\[ \|(6,8)\|=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10 \]
Luego dividimos cada componente por \(10\):
\[ \frac{(6,8)}{10} = \left(\frac{6}{10},\frac{8}{10}\right) = \left(\frac{3}{5},\frac{4}{5}\right) \]
Producto punto
| Dimensión | Regla |
|---|---|
| \(\mathbb{R}^2\) | \((a,b)\cdot(c,d)=ac+bd\) |
| \(\mathbb{R}^3\) | \((a,b,c)\cdot(d,e,f)=ad+be+cf\) |
Además, para vectores no nulos:
\[ \vec{u}\cdot\vec{v}=0 \Longleftrightarrow \vec{u}\perp\vec{v} \]
Es decir, el producto punto es cero si y solo si los vectores son ortogonales.
Ejemplo: producto punto
\[ (3,2)\cdot(4,5)=3\cdot4+2\cdot5=12+10=22 \]
Como el producto punto no es cero, estos vectores no son ortogonales.
Ejemplo: vectores ortogonales
\[ (2,3)\cdot(3,-2)=2\cdot3+3\cdot(-2)=6-6=0 \]
Como el producto punto es cero, los vectores \((2,3)\) y \((3,-2)\) son ortogonales.
Vector entre dos puntos
| Dimensión | Puntos | Vector |
|---|---|---|
| \(\mathbb{R}^2\) | \(A=(x_1,y_1)\), \(B=(x_2,y_2)\) | \(\overrightarrow{AB}=B-A=(x_2-x_1,\ y_2-y_1)\) |
| \(\mathbb{R}^3\) | \(A=(x_1,y_1,z_1)\), \(B=(x_2,y_2,z_2)\) | \(\overrightarrow{AB}=B-A=(x_2-x_1,\ y_2-y_1,\ z_2-z_1)\) |
Distancia entre dos puntos
| Dimensión | Fórmula |
|---|---|
| \(\mathbb{R}^2\) | \[ d(A,B)=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2} \] |
| \(\mathbb{R}^3\) | \[ d(A,B)=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2} \] |
Ejemplo: distancia en \(\mathbb{R}^3\)
Sean \(A=(1,2,-1)\) y \(B=(4,6,1)\). Entonces:
\[ d(A,B)=\sqrt{(4-1)^2+(6-2)^2+(1-(-1))^2} \]
\[ d(A,B)=\sqrt{3^2+4^2+2^2} = \sqrt{9+16+4} = \sqrt{29} \]
La distancia entre los puntos es \(\sqrt{29}\).
Chequeo rápido
Calcula:
- \((5,-1)+(2,4)\)
- \(3(-2,6)\)
- \((1,3)\cdot(4,-2)\)
- Determina si \((4,1)\) y \((1,-4)\) son ortogonales.
- Calcula la norma de \((1,2,2)\).
- Calcula la distancia entre \(A=(0,-1,3)\) y \(B=(2,2,9)\).
- Si \((x,3)+(2,y)=(6,-3)\), calcula \(x+y\).
- Si \((a,2,1)+(3,b,-4)=(5,-1,c)\), calcula \(a+b+c\).
-
\[ (5,-1)+(2,4)=(5+2,-1+4)=(7,3) \]
-
\[ 3(-2,6)=(3\cdot -2,3\cdot 6)=(-6,18) \]
-
\[ (1,3)\cdot(4,-2)=1\cdot4+3\cdot(-2)=4-6=-2 \]
-
Calculamos el producto punto:
\[ (4,1)\cdot(1,-4)=4\cdot1+1\cdot(-4)=4-4=0 \]
Como el producto punto es cero, los vectores son ortogonales.
-
Calculamos la norma:
\[ \|(1,2,2)\|=\sqrt{1^2+2^2+2^2} \]
\[ \|(1,2,2)\|=\sqrt{1+4+4}=\sqrt{9}=3 \]
-
Aplicamos la fórmula de distancia en \(\mathbb{R}^3\):
\[ d(A,B)=\sqrt{(2-0)^2+(2-(-1))^2+(9-3)^2} \]
\[ d(A,B)=\sqrt{2^2+3^2+6^2} = \sqrt{4+9+36} = \sqrt{49}=7 \]
-
Primero sumamos componente a componente:
\[ (x,3)+(2,y)=(x+2,3+y) \]
Entonces:
\[ (x+2,3+y)=(6,-3) \]
Igualando componentes:
\[ x+2=6 \Rightarrow x=4 \]
\[ 3+y=-3 \Rightarrow y=-6 \]
Por lo tanto:
\[ x+y=4+(-6)=-2 \]
-
Primero sumamos:
\[ (a,2,1)+(3,b,-4)=(a+3,2+b,-3) \]
Entonces:
\[ (a+3,2+b,-3)=(5,-1,c) \]
Igualando componentes:
\[ a+3=5 \Rightarrow a=2 \]
\[ 2+b=-1 \Rightarrow b=-3 \]
\[ c=-3 \]
Finalmente:
\[ a+b+c=2+(-3)+(-3)=-4 \]
Errores comunes
- En la suma y resta, se trabaja componente a componente.
- Dos vectores son iguales solo si sus componentes correspondientes son iguales.
- En el producto punto, el resultado es un número, no un vector.
- Producto punto igual a cero indica ortogonalidad solo cuando ambos vectores son no nulos.
- Para formar un vector unitario, primero se debe calcular la norma.
- El vector cero no tiene vector unitario asociado.
- En \(\mathbb{R}^3\), no olvides incluir la tercera componente.