vectores
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¿Qué es un vector?
Objetivo de la página
- Comprender qué es un vector y reconocerlo como una herramienta para representar desplazamientos, direcciones, sentidos y magnitudes.
Idea inicial
Un vector es un objeto matemático que permite representar un desplazamiento. Para describirlo correctamente no basta con indicar cuánto mide: también importa hacia dónde va y en qué sentido se recorre.
En geometría, un vector suele representarse mediante una flecha. El punto donde comienza la flecha se llama origen y el punto donde termina se llama extremo.
Elementos de un vector
Un vector se caracteriza por tres elementos principales:
- Módulo: corresponde a la longitud del vector.
- Dirección: corresponde a la recta o inclinación sobre la que se ubica.
- Sentido: corresponde hacia dónde apunta la flecha.
Ejemplo 1: un desplazamiento representado por un vector
Observa los puntos \(A\) y \(B\). El vector \(\overrightarrow{AB}\) representa el desplazamiento desde \(A\) hasta \(B\).
La flecha no solo muestra que hay una distancia entre \(A\) y \(B\), sino también que el movimiento parte en \(A\) y termina en \(B\).
Por eso escribimos:
\[ \overrightarrow{AB} \]
y se lee: “vector desde \(A\) hasta \(B\)”.
Atención
No es lo mismo \(\overrightarrow{AB}\) que \(\overrightarrow{BA}\).
Ambos tienen el mismo módulo y la misma dirección, pero tienen sentidos opuestos.
Ejemplo 2: sentido del vector
Si una persona se desplaza desde \(P\) hasta \(Q\), el vector que representa ese movimiento es:
\[ \overrightarrow{PQ} \]
En cambio, si se desplaza desde \(Q\) hasta \(P\), el vector es:
\[ \overrightarrow{QP} \]
Aunque ambos desplazamientos ocurren entre los mismos puntos, no representan el mismo vector:
\[ \overrightarrow{PQ}\neq \overrightarrow{QP} \]
El orden de las letras importa, porque indica el sentido del desplazamiento.
Idea clave
Un vector no describe solamente una posición. Describe un cambio de posición.
Por eso será útil más adelante para estudiar movimientos, traslaciones, distancias y objetos en el espacio tridimensional.
Ejercicio 1: reconocer el desplazamiento
Observa los puntos \(A\) y \(B\). Explica con tus palabras qué representa el vector \(\overrightarrow{AB}\).
El vector \(\overrightarrow{AB}\) representa el desplazamiento que comienza en el punto \(A\) y termina en el punto \(B\).
Esto significa que la flecha indica tres aspectos:
- la distancia entre \(A\) y \(B\), que corresponde al módulo;
- la inclinación del desplazamiento, que corresponde a la dirección;
- el recorrido desde \(A\) hacia \(B\), que corresponde al sentido.
Por lo tanto, \(\overrightarrow{AB}\) representa un desplazamiento desde \(A\) hasta \(B\), no solo una línea entre dos puntos.
Ejercicio 2: comparar sentidos
Completa la comparación entre los vectores \(\overrightarrow{AB}\) y \(\overrightarrow{BA}\).
| Aspecto | Comparación |
|---|---|
| Módulo | ¿Tienen la misma longitud? |
| Dirección | ¿Están sobre la misma recta o inclinación? |
| Sentido | ¿Apuntan hacia el mismo lado? |
Los vectores \(\overrightarrow{AB}\) y \(\overrightarrow{BA}\) usan los mismos puntos, pero en orden contrario.
| Aspecto | Comparación |
|---|---|
| Módulo | Tienen el mismo módulo, porque recorren la misma distancia. |
| Dirección | Tienen la misma dirección, porque están sobre la misma recta. |
| Sentido | Tienen sentidos opuestos, porque uno va de \(A\) a \(B\) y el otro de \(B\) a \(A\). |
Por lo tanto, \(\overrightarrow{AB}\neq\overrightarrow{BA}\), aunque tengan el mismo módulo y la misma dirección.
Ejercicio 3: construir un ejemplo
Dibuja en tu cuaderno dos vectores que tengan el mismo módulo y la misma dirección, pero sentidos opuestos.
Luego nómbralos usando dos pares de puntos, por ejemplo \(\overrightarrow{PQ}\) y \(\overrightarrow{QP}\).
Una forma de hacerlo es dibujar dos puntos \(P\) y \(Q\).
El vector \(\overrightarrow{PQ}\) va desde \(P\) hasta \(Q\).
El vector \(\overrightarrow{QP}\) va desde \(Q\) hasta \(P\).
Ambos tienen la misma longitud y están sobre la misma recta, pero apuntan en sentidos opuestos.
Entonces, \(\overrightarrow{PQ}\) y \(\overrightarrow{QP}\) son un ejemplo de vectores con igual módulo, igual dirección y distinto sentido.
Ejercicio 4: corregir un error frecuente
Un estudiante afirma:
“\(\overrightarrow{AB}\) y \(\overrightarrow{BA}\) son el mismo vector, porque usan los mismos puntos”.
¿Es correcta su afirmación? Justifica tu respuesta.
La afirmación no es correcta.
Es verdad que ambos vectores usan los mismos puntos, pero los usan en distinto orden.
El vector \(\overrightarrow{AB}\) comienza en \(A\) y termina en \(B\). En cambio, el vector \(\overrightarrow{BA}\) comienza en \(B\) y termina en \(A\).
Por eso el sentido del desplazamiento cambia.
Entonces, \(\overrightarrow{AB}\neq\overrightarrow{BA}\), porque representan desplazamientos en sentidos opuestos.
Ejercicio 5: interpretar una situación
Un dron se mueve desde un punto inicial \(I\) hasta un punto final \(F\). Luego vuelve desde \(F\) hasta \(I\).
- Escribe el vector que representa el viaje de ida.
- Escribe el vector que representa el viaje de vuelta.
- Indica qué tienen en común y en qué se diferencian ambos vectores.
El viaje de ida va desde el punto inicial \(I\) hasta el punto final \(F\). Por lo tanto, se representa mediante:
\[ \overrightarrow{IF} \]
El viaje de vuelta va desde \(F\) hasta \(I\). Por lo tanto, se representa mediante:
\[ \overrightarrow{FI} \]
Ambos desplazamientos recorren la misma distancia y están sobre la misma dirección, pero tienen sentidos opuestos.
Los vectores son \(\overrightarrow{IF}\) y \(\overrightarrow{FI}\). Tienen el mismo módulo y la misma dirección, pero distinto sentido.