Libro de las Raices
9. Síntesis: cómo simplificar raíces
Objetivos
- Organizar una estrategia para simplificar raíces usando las propiedades ya estudiadas.
- Decidir cuándo conviene extraer factores, introducir factores, multiplicar o dividir raíces.
- Reconocer cuidados importantes relacionados con raíces de índice par, radicandos negativos, signos y valor absoluto.
Qué significa simplificar una raíz
Simplificar una raíz no significa cambiar su valor. Significa escribirla de una forma equivalente, pero más clara o más fácil de usar.
Por ejemplo:
\[ \sqrt{72}=\sqrt{36\cdot 2}=6\sqrt{2}. \]
Ambas expresiones tienen el mismo valor, pero \(6\sqrt{2}\) muestra que ya se extrajo el factor cuadrado perfecto.
Ruta de decisión
- Identifica el índice de la raíz: cuadrada, cúbica, cuarta, etc.
- Si aparece una cantidad negativa, decide primero si el índice es par o impar.
- Si el índice es par, revisa signos y restricciones antes de simplificar.
- Factoriza el radicando buscando potencias perfectas según el índice.
- Extrae los factores que formen potencias completas.
- Si hay raíces con igual índice multiplicando o dividiendo, combínalas o sepáralas según convenga.
- Si hay factores fuera de la raíz, decide si conviene introducirlos.
- Revisa si el resultado todavía puede simplificarse.
Cuándo conviene extraer factores
Conviene extraer factores cuando dentro de la raíz aparece una potencia perfecta.
| Tipo de raíz | Buscamos dentro del radicando | Ejemplo |
|---|---|---|
| Raíz cuadrada | Cuadrados perfectos | \(\sqrt{50}=\sqrt{25\cdot 2}=5\sqrt{2}\) |
| Raíz cúbica | Cubos perfectos | \(\sqrt[3]{54}=\sqrt[3]{27\cdot 2}=3\sqrt[3]{2}\) |
| Raíz cuarta | Potencias cuartas | \(\sqrt[4]{48}=\sqrt[4]{16\cdot 3}=2\sqrt[4]{3}\) |
Cuándo conviene introducir factores
Conviene introducir factores cuando se quiere dejar todo dentro de una sola raíz, por ejemplo para comparar, multiplicar o preparar una operación.
En raíz cuadrada:
\[ 3\sqrt{2}=\sqrt{3^2\cdot 2}=\sqrt{18}. \]
En raíz cúbica:
\[ 2\sqrt[3]{5}=\sqrt[3]{2^3\cdot 5}=\sqrt[3]{40}. \]
Si el factor exterior es negativo y la raíz es par, el signo negativo se mantiene fuera:
\[ -3\sqrt{2}=-\sqrt{3^2\cdot 2}=-\sqrt{18}. \]
Cuidado con negativos y valor absoluto
Antes de aplicar propiedades, revisa si hay cantidades negativas. No se comportan igual en raíces de índice par que en raíces de índice impar.
| Caso | Qué ocurre en los reales | Ejemplo |
|---|---|---|
| Índice par y radicando negativo | No tiene valor real | \(\sqrt{-16}\) no es real |
| Índice impar y radicando negativo | Sí tiene valor real | \(\sqrt[3]{-64}=-4\) |
Además, cuando el índice es par, la raíz principal es no negativa. Por eso:
\[ \sqrt{x^2}=|x|. \]
Si se sabe que \(x\geq 0\), entonces \(\sqrt{x^2}=x\). Pero si no se conoce el signo de \(x\), lo correcto es escribir \(|x|\).
En raíces de índice impar, este problema no aparece de la misma manera. Por ejemplo:
\[ \sqrt[3]{x^3}=x. \]
Ejemplo 1: simplificar una raíz cuadrada
Simplifiquemos:
\[ \sqrt{72} \]
Factorizamos buscando un cuadrado perfecto:
\[ 72=36\cdot 2. \]
Entonces:
\[ \sqrt{72}=\sqrt{36\cdot 2}=\sqrt{36}\sqrt{2}=6\sqrt{2}. \]
El resultado \(6\sqrt{2}\) ya no tiene cuadrados perfectos dentro de la raíz.
Ejemplo 2: simplificar una raíz cúbica
Simplifiquemos:
\[ \sqrt[3]{-54x^5} \]
Como el índice es impar, el radicando puede ser negativo. Buscamos cubos perfectos:
\[ -54x^5=(-27)\cdot 2\cdot x^3\cdot x^2. \]
Entonces:
\[ \sqrt[3]{-54x^5}=\sqrt[3]{(-27)x^3\cdot 2x^2}=-3x\sqrt[3]{2x^2}. \]
Como el índice es impar, \(\sqrt[3]{x^3}=x\) y \(\sqrt[3]{-27}=-3\).
Ejemplo 3: decidir si extraer o introducir
Si tenemos:
\[ \sqrt{75}, \]
conviene extraer, porque \(75=25\cdot 3\):
\[ \sqrt{75}=5\sqrt{3}. \]
En cambio, si tenemos:
\[ 5\sqrt{3}, \]
podemos introducir el factor para volver a una sola raíz:
\[ 5\sqrt{3}=\sqrt{25\cdot 3}=\sqrt{75}. \]
Si el factor fuera negativo, por ejemplo \(-5\sqrt{3}\), no se escribe como \(\sqrt{-75}\), porque una raíz cuadrada real no entrega resultados negativos. En ese caso se mantiene:
\[ -5\sqrt{3}=-\sqrt{75}. \]
Ambas formas son equivalentes. La forma conveniente depende del ejercicio.
Ejercicio 1
Simplifica:
\[ \sqrt{50} \]
Buscamos un cuadrado perfecto dentro de \(50\):
\[ 50=25\cdot 2. \]
Entonces:
\[ \sqrt{50}=\sqrt{25\cdot 2}=5\sqrt{2}. \]
Ejercicio 2
Simplifica:
\[ \sqrt[3]{-128} \]
Buscamos un cubo perfecto:
\[ -128=(-64)\cdot 2. \]
Como \(\sqrt[3]{-64}=-4\), se obtiene:
\[ \sqrt[3]{-128}=-4\sqrt[3]{2}. \]
Ejercicio 3
Decide si se puede simplificar en los reales:
\[ \sqrt[4]{48} \qquad\text{y}\qquad \sqrt[4]{-48} \]
Para \(\sqrt[4]{48}\), buscamos una potencia cuarta perfecta:
\[ 48=16\cdot 3. \]
Como \(\sqrt[4]{16}=2\), entonces:
\[ \sqrt[4]{48}=2\sqrt[4]{3}. \]
En cambio, \(\sqrt[4]{-48}\) no tiene valor real, porque el índice es par y el radicando es negativo.
Ejercicio 4
Introduce el factor positivo dentro de la raíz y conserva el signo:
\[ -3\sqrt{5} \]
Como la raíz es cuadrada, el factor \(3\) entra como \(3^2\), pero el signo negativo queda fuera:
\[ -3\sqrt{5}=-\sqrt{3^2\cdot 5}=-\sqrt{45}. \]
No se debe escribir \(\sqrt{-45}\), porque esa expresión no representa un número real.
Ejercicio 5
Simplifica usando propiedades de raíces de igual índice:
\[ \sqrt{6}\cdot \sqrt{24} \]
Como ambas raíces tienen índice \(2\), podemos multiplicar dentro de una sola raíz:
\[ \sqrt{6}\cdot \sqrt{24}=\sqrt{6\cdot 24}=\sqrt{144}=12. \]
Ejercicio 6
Explica por qué:
\[ \sqrt{x^2}=|x| \]
y señala cuándo se puede escribir simplemente \(x\).
La raíz cuadrada principal siempre entrega un resultado no negativo. Por eso, aunque \(x\) pueda ser negativo, \(\sqrt{x^2}\) debe ser no negativo.
Por ejemplo, si \(x=-3\), entonces:
\[ \sqrt{x^2}=\sqrt{(-3)^2}=\sqrt{9}=3=|-3|. \]
Se puede escribir \(\sqrt{x^2}=x\) solo cuando se sabe que \(x\geq 0\).
Cierre
Las propiedades de raíces no se aplican de memoria: primero se mira la estructura del ejercicio. Esta ruta permite decidir si conviene extraer, introducir, multiplicar, dividir o revisar restricciones antes de continuar.
Más adelante se estudiará otra forma de representar raíces usando exponentes fraccionarios.