Los datos estan dispersos?
5. Cálculo de Varianza y Desviación Estándar para Datos Agrupados
Repaso
Datos agrupados y dispersión
La varianza \(s^2\) o \(\sigma^2\) y la desviación estándar \(s\) o \(\sigma\) son medidas que indican qué tan dispersos o alejados están los datos con respecto a la media.
Cuando trabajamos con datos agrupados en intervalos, no conocemos el valor exacto de cada dato. Por eso usamos un valor representativo para cada intervalo: la marca de clase.
Procedimientos y fórmulas clave
Para operar con datos agrupados, usamos la marca de clase \(x_i\), que corresponde al punto medio del intervalo.
\[ x_i=\frac{L_i+L_s}{2} \]
- \(L_i\): límite inferior del intervalo.
- \(L_s\): límite superior del intervalo.
- \(x_i\): marca de clase.
A partir de las marcas de clase, las fórmulas para una muestra son:
Media:
\[ \bar{x}=\frac{\sum f_i\cdot x_i}{n} \]
Varianza muestral:
\[ s^2=\frac{\sum f_i(x_i-\bar{x})^2}{n-1} \]
Desviación estándar muestral:
\[ s=\sqrt{s^2} \]
- \(f_i\): frecuencia de cada intervalo.
- \(n\): total de datos.
Cuidado con la división
Un error común es confundir la fórmula de la varianza para una muestra, donde se divide por \(n-1\), con la fórmula para una población, donde se divide por \(N\).
En la mayoría de los ejercicios prácticos trabajamos con muestras de una población más grande, por lo que usamos \(n-1\). Siempre revisa el enunciado.
Cálculo Paso a Paso (Ejemplo Guiado)
Ejemplo guiado: alturas de estudiantes
Datos: se midió la altura, en centímetros, de una muestra de \(40\) estudiantes, obteniendo la siguiente tabla de frecuencias.
| Intervalo (cm) | Frecuencia \(f_i\) |
|---|---|
| \([150,\ 160)\) | \(5\) |
| \([160,\ 170)\) | \(12\) |
| \([170,\ 180)\) | \(15\) |
| \([180,\ 190)\) | \(8\) |
| Total | \(40\) |
Para calcular la varianza y la desviación estándar, construiremos una tabla que organiza todos los cálculos.
Tabla de trabajo inicial:
| Intervalo | \(x_i\) | \(f_i\) | \(f_i\cdot x_i\) | \(x_i-\bar{x}\) | \((x_i-\bar{x})^2\) | \(f_i(x_i-\bar{x})^2\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \([150,\ 160)\) | \(5\) | |||||
| \([160,\ 170)\) | \(12\) | |||||
| \([170,\ 180)\) | \(15\) | |||||
| \([180,\ 190)\) | \(8\) | |||||
| Total | \(40\) |
Tabla de cálculo completa:
| Intervalo | \(x_i\) | \(f_i\) | \(f_i\cdot x_i\) | \(x_i-\bar{x}\) | \((x_i-\bar{x})^2\) | \(f_i(x_i-\bar{x})^2\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \([150,\ 160)\) | \(155\) | \(5\) | \(775\) | \(-16{,}5\) | \(272{,}25\) | \(1361{,}25\) |
| \([160,\ 170)\) | \(165\) | \(12\) | \(1980\) | \(-6{,}5\) | \(42{,}25\) | \(507\) |
| \([170,\ 180)\) | \(175\) | \(15\) | \(2625\) | \(3{,}5\) | \(12{,}25\) | \(183{,}75\) |
| \([180,\ 190)\) | \(185\) | \(8\) | \(1480\) | \(13{,}5\) | \(182{,}25\) | \(1458\) |
| Total | \(n=40\) | \(\sum f_i x_i=6860\) | \(\sum f_i(x_i-\bar{x})^2=3510\) |
Cálculos finales:
Media:
\[ \bar{x}=\frac{6860}{40}=171{,}5 \]
Varianza muestral:
\[ s^2=\frac{3510}{40-1}=\frac{3510}{39}=90 \]
Desviación estándar muestral:
\[ s=\sqrt{90}\approx 9{,}49 \]
Resultado: la altura promedio estimada es \(171{,}5\) cm, con una desviación estándar aproximada de \(9{,}49\) cm. Esto indica la dispersión típica de las alturas respecto del promedio.
¿Qué significa la desviación estándar en la práctica?
Una desviación estándar pequeña significa que la mayoría de los datos están agrupados cerca de la media. Una desviación estándar grande indica que los datos están más esparcidos y son más variables.
Esta medida es especialmente útil para comparar la consistencia entre diferentes conjuntos de datos.
Ejercicios y Problemas
Nivel 1:
Cálculos de varianza y desviación estándar
Ejercicio 1: Edades en una empresa
La siguiente tabla muestra la distribución de edades, en años, de los empleados de una empresa. Calcula la media, la varianza y la desviación estándar muestrales.
| Edad (años) | Frecuencia |
|---|---|
| \([20,\ 30)\) | \(10\) |
| \([30,\ 40)\) | \(15\) |
| \([40,\ 50)\) | \(12\) |
| \([50,\ 60)\) | \(8\) |
| \([60,\ 70)\) | \(5\) |
Tabla de cálculo:
| Intervalo | \(x_i\) | \(f_i\) | \(f_i\cdot x_i\) | \(x_i-\bar{x}\) | \((x_i-\bar{x})^2\) | \(f_i(x_i-\bar{x})^2\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \([20,\ 30)\) | \(25\) | \(10\) | \(250\) | \(-16{,}6\) | \(275{,}56\) | \(2755{,}6\) |
| \([30,\ 40)\) | \(35\) | \(15\) | \(525\) | \(-6{,}6\) | \(43{,}56\) | \(653{,}4\) |
| \([40,\ 50)\) | \(45\) | \(12\) | \(540\) | \(3{,}4\) | \(11{,}56\) | \(138{,}72\) |
| \([50,\ 60)\) | \(55\) | \(8\) | \(440\) | \(13{,}4\) | \(179{,}56\) | \(1436{,}48\) |
| \([60,\ 70)\) | \(65\) | \(5\) | \(325\) | \(23{,}4\) | \(547{,}56\) | \(2737{,}8\) |
| Total | \(50\) | \(2080\) | \(7722\) |
Media:
\[ \bar{x}=\frac{2080}{50}=41{,}6 \]
Varianza muestral:
\[ s^2=\frac{7722}{50-1}=\frac{7722}{49}\approx 157{,}59 \]
Desviación estándar muestral:
\[ s=\sqrt{157{,}59}\approx 12{,}55 \]
Respuesta: la media estimada es \(41{,}6\) años, la varianza muestral es aproximadamente \(157{,}59\) años cuadrados y la desviación estándar muestral es aproximadamente \(12{,}55\) años.
Ejercicio 2: Calificaciones de un curso
Un profesor registra las calificaciones finales de su curso de estadística en la siguiente tabla. Considerando los datos como una muestra de todos sus estudiantes históricos, calcula la nota promedio, la varianza y la desviación estándar para evaluar el rendimiento y la consistencia del grupo.
| Calificación | Nº de estudiantes \(f_i\) |
|---|---|
| \([1{,}0,\ 2{,}0)\) | \(2\) |
| \([2{,}0,\ 3{,}0)\) | \(5\) |
| \([3{,}0,\ 4{,}0)\) | \(8\) |
| \([4{,}0,\ 5{,}0)\) | \(15\) |
| \([5{,}0,\ 6{,}0)\) | \(12\) |
| \([6{,}0,\ 7{,}0]\) | \(8\) |
Tabla de cálculo:
| Intervalo | \(x_i\) | \(f_i\) | \(f_i\cdot x_i\) | \(x_i-\bar{x}\) | \((x_i-\bar{x})^2\) | \(f_i(x_i-\bar{x})^2\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \([1{,}0,\ 2{,}0)\) | \(1{,}5\) | \(2\) | \(3{,}0\) | \(-3{,}08\) | \(9{,}4864\) | \(18{,}9728\) |
| \([2{,}0,\ 3{,}0)\) | \(2{,}5\) | \(5\) | \(12{,}5\) | \(-2{,}08\) | \(4{,}3264\) | \(21{,}632\) |
| \([3{,}0,\ 4{,}0)\) | \(3{,}5\) | \(8\) | \(28{,}0\) | \(-1{,}08\) | \(1{,}1664\) | \(9{,}3312\) |
| \([4{,}0,\ 5{,}0)\) | \(4{,}5\) | \(15\) | \(67{,}5\) | \(-0{,}08\) | \(0{,}0064\) | \(0{,}096\) |
| \([5{,}0,\ 6{,}0)\) | \(5{,}5\) | \(12\) | \(66{,}0\) | \(0{,}92\) | \(0{,}8464\) | \(10{,}1568\) |
| \([6{,}0,\ 7{,}0]\) | \(6{,}5\) | \(8\) | \(52{,}0\) | \(1{,}92\) | \(3{,}6864\) | \(29{,}4912\) |
| Total | \(50\) | \(229\) | \(89{,}68\) |
Media:
\[ \bar{x}=\frac{229}{50}=4{,}58 \]
Varianza muestral:
\[ s^2=\frac{89{,}68}{50-1}=\frac{89{,}68}{49}\approx 1{,}83 \]
Desviación estándar muestral:
\[ s=\sqrt{1{,}83}\approx 1{,}35 \]
Respuesta: la nota promedio estimada es \(4{,}58\), la varianza muestral es aproximadamente \(1{,}83\) puntos cuadrados y la desviación estándar muestral es aproximadamente \(1{,}35\) puntos.
Ejercicio 3: Control de calidad en pesaje de café
Una empresa que envasa café toma una muestra de \(80\) paquetes de “\(250\) gramos” para verificar la consistencia de sus máquinas. Los pesos reales, en gramos, se registran en la siguiente tabla. Calcula la desviación estándar para determinar qué tan preciso es el proceso de envasado.
| Peso (gramos) | Nº de paquetes \(f_i\) |
|---|---|
| \([240,\ 244)\) | \(7\) |
| \([244,\ 248)\) | \(15\) |
| \([248,\ 252)\) | \(35\) |
| \([252,\ 256)\) | \(18\) |
| \([256,\ 260]\) | \(5\) |
Tabla de cálculo:
| Intervalo | \(x_i\) | \(f_i\) | \(f_i\cdot x_i\) | \(x_i-\bar{x}\) | \((x_i-\bar{x})^2\) | \(f_i(x_i-\bar{x})^2\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \([240,\ 244)\) | \(242\) | \(7\) | \(1694\) | \(-7{,}95\) | \(63{,}2025\) | \(442{,}4175\) |
| \([244,\ 248)\) | \(246\) | \(15\) | \(3690\) | \(-3{,}95\) | \(15{,}6025\) | \(234{,}0375\) |
| \([248,\ 252)\) | \(250\) | \(35\) | \(8750\) | \(0{,}05\) | \(0{,}0025\) | \(0{,}0875\) |
| \([252,\ 256)\) | \(254\) | \(18\) | \(4572\) | \(4{,}05\) | \(16{,}4025\) | \(295{,}245\) |
| \([256,\ 260]\) | \(258\) | \(5\) | \(1290\) | \(8{,}05\) | \(64{,}8025\) | \(324{,}0125\) |
| Total | \(80\) | \(19996\) | \(1295{,}8\) |
Media:
\[ \bar{x}=\frac{19996}{80}=249{,}95 \]
Varianza muestral:
\[ s^2=\frac{1295{,}8}{80-1}=\frac{1295{,}8}{79}\approx 16{,}40 \]
Desviación estándar muestral:
\[ s=\sqrt{16{,}40}\approx 4{,}05 \]
Respuesta: la desviación estándar muestral es aproximadamente \(4{,}05\) gramos. Esto significa que los pesos de los paquetes se alejan típicamente alrededor de \(4{,}05\) gramos respecto de la media estimada de \(249{,}95\) gramos.