Los datos estan dispersos?
10. problemas interpretacion con datos agrupados en intervalos
Problemas de interpretación de datos agrupados
¿Cómo sé si la desviación es alta, baja o moderada?
Una forma práctica de juzgar si la desviación estándar \(s\) es grande o pequeña es compararla directamente con la media \(\bar{x}\). Aunque no es una regla estricta, la siguiente guía es útil para comenzar a interpretar resultados:
- Baja variabilidad: si la desviación estándar es menor o igual a un décimo de la media. \[ s\leq \frac{1}{10}\bar{x} \] Esto indica que los datos son bastante consistentes y están agrupados cerca del promedio.
- Variabilidad moderada: si la desviación estándar está entre un décimo y tres décimos de la media. \[ \frac{1}{10}\bar{x} \]
- Alta variabilidad: si la desviación estándar es mayor o igual a tres décimos de la media. \[ s\geq \frac{3}{10}\bar{x} \] Esto sugiere que los datos están muy dispersos y que la media puede ser menos representativa del conjunto.
Esta comparación se relaciona con una medida llamada coeficiente de variación, que estandariza la relación entre desviación estándar y media:
\[ CV=\left(\frac{s}{|\bar{x}|}\right)\cdot 100\% \]
Nivel Datos Agrupados:
Cálculos que incluyen evaluación de los valores obtenidos en muestras
Ejemplo guía: análisis de hábitos de lectura
Contexto: se realiza un sondeo en un club de lectura para conocer el número de páginas que sus miembros leen por semana. Se obtiene una muestra de \(50\) miembros.
Tareas:
- Calcular la media, la varianza y la desviación estándar de las páginas leídas.
- Interpretar si el grupo tiene hábitos de lectura consistentes o dispersos.
| Nº de páginas leídas | Nº de miembros \(f_i\) |
|---|---|
| \([0,\ 50)\) | \(5\) |
| \([50,\ 100)\) | \(15\) |
| \([100,\ 150)\) | \(20\) |
| \([150,\ 200)\) | \(8\) |
| \([200,\ 250]\) | \(2\) |
a) Tabla de cálculo:
| Intervalo | \(x_i\) | \(f_i\) | \(f_i\cdot x_i\) | \(x_i-\bar{x}\) | \((x_i-\bar{x})^2\) | \(f_i(x_i-\bar{x})^2\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \([0,\ 50)\) | \(25\) | \(5\) | \(125\) | \(-87\) | \(7569\) | \(37\,845\) |
| \([50,\ 100)\) | \(75\) | \(15\) | \(1125\) | \(-37\) | \(1369\) | \(20\,535\) |
| \([100,\ 150)\) | \(125\) | \(20\) | \(2500\) | \(13\) | \(169\) | \(3380\) |
| \([150,\ 200)\) | \(175\) | \(8\) | \(1400\) | \(63\) | \(3969\) | \(31\,752\) |
| \([200,\ 250]\) | \(225\) | \(2\) | \(450\) | \(113\) | \(12\,769\) | \(25\,538\) |
| Total | \(50\) | \(5600\) | \(119\,050\) |
Media:
\[ \bar{x}=\frac{5600}{50}=112 \]
Varianza muestral:
\[ s^2=\frac{119\,050}{50-1}=\frac{119\,050}{49}\approx 2429{,}59 \]
Desviación estándar muestral:
\[ s=\sqrt{2429{,}59}\approx 49{,}29 \]
b) Interpretación:
El número promedio de páginas leídas es \(112\). La desviación estándar es aproximadamente \(49{,}29\) páginas.
Comparamos:
\[ \frac{49{,}29}{112}\approx 0{,}44=44\% \]
Como la desviación estándar equivale aproximadamente al \(44\%\) de la media, la variabilidad es alta. Esto indica que los hábitos de lectura del club son bastante dispersos: algunos miembros leen mucho menos que el promedio y otros mucho más.
Ejercicio 4: tiempos de traslado al trabajo
Una consultora de recursos humanos estudia el tiempo de traslado, en minutos, de los empleados de una gran oficina. Se encuesta a una muestra de \(100\) personas.
- Calcule la media, la varianza y la desviación estándar muestrales.
- Al comparar la media con la desviación estándar, ¿esto indica alta, baja o moderada variabilidad en los tiempos de traslado? Justifica.
| Tiempo (minutos) | Nº de empleados \(f_i\) |
|---|---|
| \([0,\ 15)\) | \(10\) |
| \([15,\ 30)\) | \(25\) |
| \([30,\ 45)\) | \(40\) |
| \([45,\ 60)\) | \(20\) |
| \([60,\ 75]\) | \(5\) |
a) Tabla de cálculo:
| Intervalo | \(x_i\) | \(f_i\) | \(f_i\cdot x_i\) | \(x_i-\bar{x}\) | \((x_i-\bar{x})^2\) | \(f_i(x_i-\bar{x})^2\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \([0,\ 15)\) | \(7{,}5\) | \(10\) | \(75\) | \(-27{,}75\) | \(770{,}0625\) | \(7700{,}625\) |
| \([15,\ 30)\) | \(22{,}5\) | \(25\) | \(562{,}5\) | \(-12{,}75\) | \(162{,}5625\) | \(4064{,}0625\) |
| \([30,\ 45)\) | \(37{,}5\) | \(40\) | \(1500\) | \(2{,}25\) | \(5{,}0625\) | \(202{,}5\) |
| \([45,\ 60)\) | \(52{,}5\) | \(20\) | \(1050\) | \(17{,}25\) | \(297{,}5625\) | \(5951{,}25\) |
| \([60,\ 75]\) | \(67{,}5\) | \(5\) | \(337{,}5\) | \(32{,}25\) | \(1040{,}0625\) | \(5200{,}3125\) |
| Total | \(100\) | \(3525\) | \(23\,118{,}75\) |
Media:
\[ \bar{x}=\frac{3525}{100}=35{,}25 \]
Varianza muestral:
\[ s^2=\frac{23\,118{,}75}{100-1}\approx 233{,}52 \]
Desviación estándar muestral:
\[ s=\sqrt{233{,}52}\approx 15{,}28 \]
b) Interpretación:
\[ \frac{15{,}28}{35{,}25}\approx 0{,}43=43\% \]
Como la desviación estándar equivale aproximadamente al \(43\%\) de la media, la variabilidad es alta. Esto indica que los tiempos de traslado no son muy consistentes: algunos empleados tienen traslados cortos y otros bastante más largos.
Ejercicio 5: gasto mensual en ocio
Se realiza una encuesta a una muestra de \(60\) jóvenes para conocer su gasto mensual en ocio, en pesos chilenos.
- Calcule la media, la varianza y la desviación estándar muestrales del gasto.
- Al comparar la media con la desviación estándar, ¿qué indica la dispersión sobre la consistencia de los hábitos de consumo del grupo?
| Gasto (CLP) | Nº de jóvenes \(f_i\) |
|---|---|
| \([0,\ 20\,000)\) | \(12\) |
| \([20\,000,\ 40\,000)\) | \(22\) |
| \([40\,000,\ 60\,000)\) | \(16\) |
| \([60\,000,\ 80\,000)\) | \(7\) |
| \([80\,000,\ 100\,000]\) | \(3\) |
a) Tabla de cálculo:
| Intervalo | \(x_i\) | \(f_i\) | \(f_i\cdot x_i\) | \(x_i-\bar{x}\) | \((x_i-\bar{x})^2\) | \(f_i(x_i-\bar{x})^2\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \([0,\ 20\,000)\) | \(10\,000\) | \(12\) | \(120\,000\) | \(-29\,000\) | \(841\,000\,000\) | \(10\,092\,000\,000\) |
| \([20\,000,\ 40\,000)\) | \(30\,000\) | \(22\) | \(660\,000\) | \(-9000\) | \(81\,000\,000\) | \(1\,782\,000\,000\) |
| \([40\,000,\ 60\,000)\) | \(50\,000\) | \(16\) | \(800\,000\) | \(11\,000\) | \(121\,000\,000\) | \(1\,936\,000\,000\) |
| \([60\,000,\ 80\,000)\) | \(70\,000\) | \(7\) | \(490\,000\) | \(31\,000\) | \(961\,000\,000\) | \(6\,727\,000\,000\) |
| \([80\,000,\ 100\,000]\) | \(90\,000\) | \(3\) | \(270\,000\) | \(51\,000\) | \(2\,601\,000\,000\) | \(7\,803\,000\,000\) |
| Total | \(60\) | \(2\,340\,000\) | \(28\,340\,000\,000\) |
Media:
\[ \bar{x}=\frac{2\,340\,000}{60}=39\,000 \]
Varianza muestral:
\[ s^2=\frac{28\,340\,000\,000}{60-1}\approx 480\,338\,983{,}05 \]
Desviación estándar muestral:
\[ s=\sqrt{480\,338\,983{,}05}\approx 21\,916{,}64 \]
b) Interpretación:
\[ \frac{21\,916{,}64}{39\,000}\approx 0{,}56=56\% \]
La desviación estándar equivale a más de la mitad de la media, por lo que la variabilidad es alta. Esto indica que los hábitos de consumo son heterogéneos: hay una diferencia importante entre quienes gastan poco y quienes gastan mucho.
Ejercicio 6: duración de baterías de celulares
Un sitio web de tecnología prueba la duración de la batería, en horas, de una muestra de \(40\) modelos de celulares nuevos bajo uso continuo.
- Calcule la media, la varianza y la desviación estándar de la duración de las baterías.
- Comparando la media y la desviación estándar, ¿consideras que el rendimiento de las baterías es consistente o disperso?
| Duración (horas) | Nº de modelos \(f_i\) |
|---|---|
| \([4,\ 6)\) | \(4\) |
| \([6,\ 8)\) | \(10\) |
| \([8,\ 10)\) | \(15\) |
| \([10,\ 12)\) | \(8\) |
| \([12,\ 14]\) | \(3\) |
a) Tabla de cálculo:
| Intervalo | \(x_i\) | \(f_i\) | \(f_i\cdot x_i\) | \(x_i-\bar{x}\) | \((x_i-\bar{x})^2\) | \(f_i(x_i-\bar{x})^2\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \([4,\ 6)\) | \(5\) | \(4\) | \(20\) | \(-3{,}8\) | \(14{,}44\) | \(57{,}76\) |
| \([6,\ 8)\) | \(7\) | \(10\) | \(70\) | \(-1{,}8\) | \(3{,}24\) | \(32{,}4\) |
| \([8,\ 10)\) | \(9\) | \(15\) | \(135\) | \(0{,}2\) | \(0{,}04\) | \(0{,}6\) |
| \([10,\ 12)\) | \(11\) | \(8\) | \(88\) | \(2{,}2\) | \(4{,}84\) | \(38{,}72\) |
| \([12,\ 14]\) | \(13\) | \(3\) | \(39\) | \(4{,}2\) | \(17{,}64\) | \(52{,}86\) |
| Total | \(40\) | \(352\) | \(182{,}34\) |
Media:
\[ \bar{x}=\frac{352}{40}=8{,}8 \]
Varianza muestral:
\[ s^2=\frac{182{,}34}{40-1}\approx 4{,}68 \]
Desviación estándar muestral:
\[ s=\sqrt{4{,}68}\approx 2{,}16 \]
b) Interpretación:
\[ \frac{2{,}16}{8{,}8}\approx 0{,}25=25\% \]
La desviación estándar representa aproximadamente el \(25\%\) de la media, por lo que la variabilidad es moderada. Esto indica que el rendimiento de las baterías es relativamente consistente, aunque sí existen diferencias entre modelos.
Nivel 2B:
Cálculos que incluyen evaluación de los valores obtenidos en poblaciones
Ejercicio 7: calificaciones finales de un 4° Medio
La siguiente tabla muestra las calificaciones finales de matemática de toda la generación de 4° Medio de un liceo, compuesta por \(45\) estudiantes. Al ser el universo completo de alumnos, los datos corresponden a una población.
- Calcule la media poblacional \(\mu\), la varianza poblacional \(\sigma^2\) y la desviación estándar poblacional \(\sigma\).
- Comparando la media con la desviación estándar, ¿el rendimiento de la generación fue homogéneo o heterogéneo?
| Calificación | Nº de estudiantes \(f_i\) |
|---|---|
| \([1{,}0,\ 2{,}0)\) | \(1\) |
| \([2{,}0,\ 3{,}0)\) | \(3\) |
| \([3{,}0,\ 4{,}0)\) | \(7\) |
| \([4{,}0,\ 5{,}0)\) | \(15\) |
| \([5{,}0,\ 6{,}0)\) | \(12\) |
| \([6{,}0,\ 7{,}0]\) | \(7\) |
a) Tabla de cálculo:
| Intervalo | \(x_i\) | \(f_i\) | \(f_i\cdot x_i\) | \(x_i-\mu\) | \((x_i-\mu)^2\) | \(f_i(x_i-\mu)^2\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \([1{,}0,\ 2{,}0)\) | \(1{,}5\) | \(1\) | \(1{,}5\) | \(-3{,}22\) | \(10{,}3827\) | \(10{,}3827\) |
| \([2{,}0,\ 3{,}0)\) | \(2{,}5\) | \(3\) | \(7{,}5\) | \(-2{,}22\) | \(4{,}9383\) | \(14{,}8149\) |
| \([3{,}0,\ 4{,}0)\) | \(3{,}5\) | \(7\) | \(24{,}5\) | \(-1{,}22\) | \(1{,}4938\) | \(10{,}4566\) |
| \([4{,}0,\ 5{,}0)\) | \(4{,}5\) | \(15\) | \(67{,}5\) | \(-0{,}22\) | \(0{,}0494\) | \(0{,}7410\) |
| \([5{,}0,\ 6{,}0)\) | \(5{,}5\) | \(12\) | \(66{,}0\) | \(0{,}78\) | \(0{,}6049\) | \(7{,}2588\) |
| \([6{,}0,\ 7{,}0]\) | \(6{,}5\) | \(7\) | \(45{,}5\) | \(1{,}78\) | \(3{,}1605\) | \(22{,}1235\) |
| Total | \(N=45\) | \(212{,}5\) | \(65{,}78\) |
Media poblacional:
\[ \mu=\frac{212{,}5}{45}\approx 4{,}72 \]
Varianza poblacional:
\[ \sigma^2=\frac{65{,}78}{45}\approx 1{,}46 \]
Desviación estándar poblacional:
\[ \sigma=\sqrt{1{,}46}\approx 1{,}21 \]
b) Interpretación:
\[ \frac{1{,}21}{4{,}72}\approx 0{,}256=25{,}6\% \]
Como la desviación estándar equivale aproximadamente al \(25{,}6\%\) de la media, la variabilidad es moderada. El rendimiento no fue completamente uniforme, pero tampoco extremadamente disperso.
Ejercicio 8: producción diaria de tornillos
Una máquina produce tornillos y se analiza la longitud de toda la producción de un día, que consta de \(200\) unidades. Se considera esta producción diaria como una población.
- Calcule la media \(\mu\), la varianza poblacional \(\sigma^2\) y la desviación estándar poblacional \(\sigma\).
- Para un proceso industrial, ¿consideraría que una desviación estándar como la calculada indica un nivel de precisión alto o bajo?
| Longitud (mm) | Nº de tornillos \(f_i\) |
|---|---|
| \([19{,}7,\ 19{,}8)\) | \(10\) |
| \([19{,}8,\ 19{,}9)\) | \(40\) |
| \([19{,}9,\ 20{,}0)\) | \(90\) |
| \([20{,}0,\ 20{,}1)\) | \(50\) |
| \([20{,}1,\ 20{,}2]\) | \(10\) |
a) Tabla de cálculo:
| Intervalo | \(x_i\) | \(f_i\) | \(f_i\cdot x_i\) | \(x_i-\mu\) | \((x_i-\mu)^2\) | \(f_i(x_i-\mu)^2\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \([19{,}7,\ 19{,}8)\) | \(19{,}75\) | \(10\) | \(197{,}5\) | \(-0{,}205\) | \(0{,}042025\) | \(0{,}42025\) |
| \([19{,}8,\ 19{,}9)\) | \(19{,}85\) | \(40\) | \(794{,}0\) | \(-0{,}105\) | \(0{,}011025\) | \(0{,}441\) |
| \([19{,}9,\ 20{,}0)\) | \(19{,}95\) | \(90\) | \(1795{,}5\) | \(-0{,}005\) | \(0{,}000025\) | \(0{,}00225\) |
| \([20{,}0,\ 20{,}1)\) | \(20{,}05\) | \(50\) | \(1002{,}5\) | \(0{,}095\) | \(0{,}009025\) | \(0{,}45125\) |
| \([20{,}1,\ 20{,}2]\) | \(20{,}15\) | \(10\) | \(201{,}5\) | \(0{,}195\) | \(0{,}038025\) | \(0{,}38025\) |
| Total | \(N=200\) | \(3991{,}0\) | \(1{,}695\) |
Media poblacional:
\[ \mu=\frac{3991}{200}=19{,}955 \]
Varianza poblacional:
\[ \sigma^2=\frac{1{,}695}{200}=0{,}008475 \]
Desviación estándar poblacional:
\[ \sigma=\sqrt{0{,}008475}\approx 0{,}092 \]
b) Interpretación:
\[ \frac{0{,}092}{19{,}955}\approx 0{,}0046=0{,}46\% \]
La desviación estándar es extremadamente pequeña en comparación con la media. Esto indica una variabilidad muy baja. Para un proceso industrial, este resultado muestra un alto nivel de precisión y consistencia en la producción.