Los datos estan dispersos?
11. La Desviación Media (optativo complementario)
Idea inicial
Además del rango y la desviación estándar, existe otra forma de medir la dispersión llamada desviación media \(DM\), también conocida como desviación absoluta promedio.
Esta medida responde de forma directa a la pregunta: en promedio, ¿a qué distancia está cada dato de la media?
Fórmula de la desviación media
La desviación media es el promedio de los valores absolutos de las desviaciones de los datos con respecto a la media.
\[ DM=\frac{\sum_{i=1}^{n}|x_i-\bar{x}|}{n} \]
- \(x_i\): cada dato del conjunto.
- \(\bar{x}\): media aritmética del conjunto de datos.
- \(|x_i-\bar{x}|\): distancia de cada dato a la media, siempre positiva o cero.
- \(\sum\): símbolo de sumatoria.
- \(n\): número total de datos.
Cálculo Paso a Paso
Ejemplo: goles por partido
Un futbolista ha anotado los siguientes goles en los últimos 5 partidos:
\[ \{0,1,1,2,6\} \]
Calculemos la desviación media para entender la consistencia de su rendimiento.
1. Calcular la media \(\bar{x}\):
\[ \bar{x}=\frac{0+1+1+2+6}{5}=\frac{10}{5}=2 \]
La media es de \(2\) goles por partido.
2. Calcular las desviaciones absolutas:
| Goles \(x_i\) | Desviación absoluta \(|x_i-\bar{x}|\) |
|---|---|
| \(0\) | \(|0-2|=2\) |
| \(1\) | \(|1-2|=1\) |
| \(1\) | \(|1-2|=1\) |
| \(2\) | \(|2-2|=0\) |
| \(6\) | \(|6-2|=4\) |
| Suma | \(2+1+1+0+4=8\) |
3. Calcular la desviación media:
\[ DM=\frac{\text{suma de desviaciones absolutas}}{n}=\frac{8}{5}=1{,}6 \]
Conclusión: la desviación media es de \(1{,}6\) goles. Esto significa que, en promedio, los goles que anota el futbolista en un partido se alejan \(1{,}6\) goles de su media de \(2\).
Desviación Media vs. Desviación Estándar
¿Por qué la desviación estándar es más común?
Si la desviación media es fácil de interpretar, puede surgir la pregunta: ¿por qué se utiliza más la desviación estándar en estadística avanzada?
La razón principal es que la desviación estándar, al elevar las diferencias al cuadrado, tiene propiedades matemáticas más útiles para técnicas estadísticas más complejas, como la inferencia o las regresiones.
Sin embargo, la desviación media es una excelente herramienta para describir la dispersión de forma clara, porque se interpreta directamente como una distancia promedio respecto de la media.
Ejercicios Propuestos
Ejercicio 1: tiempos de carrera
Los tiempos, en minutos, de un corredor en 6 días de entrenamiento fueron:
\[ \{25,28,30,32,32,35\} \]
Calcula la desviación media de sus tiempos.
1. Calculamos la media:
\[ \bar{x}=\frac{25+28+30+32+32+35}{6}=\frac{182}{6}=\frac{91}{3}\approx 30{,}33 \]
2. Calculamos las desviaciones absolutas:
| Tiempo \(x_i\) | Desviación absoluta \(|x_i-\bar{x}|\) |
|---|---|
| \(25\) | \(\left|25-\frac{91}{3}\right|=\frac{16}{3}\approx 5{,}33\) |
| \(28\) | \(\left|28-\frac{91}{3}\right|=\frac{7}{3}\approx 2{,}33\) |
| \(30\) | \(\left|30-\frac{91}{3}\right|=\frac{1}{3}\approx 0{,}33\) |
| \(32\) | \(\left|32-\frac{91}{3}\right|=\frac{5}{3}\approx 1{,}67\) |
| \(32\) | \(\left|32-\frac{91}{3}\right|=\frac{5}{3}\approx 1{,}67\) |
| \(35\) | \(\left|35-\frac{91}{3}\right|=\frac{14}{3}\approx 4{,}67\) |
| Suma | \(\frac{16+7+1+5+5+14}{3}=\frac{48}{3}=16\) |
3. Calculamos la desviación media:
\[ DM=\frac{16}{6}=\frac{8}{3}\approx 2{,}67 \]
Respuesta: la desviación media de los tiempos es aproximadamente \(2{,}67\) minutos.
Problema 2: consistencia de puntajes
Dos estudiantes, Ana y Beto, tienen el mismo promedio \(8{,}0\) en sus últimas 5 evaluaciones. Sus puntajes fueron:
- Ana: \(\{8,8,8,8,8\}\)
- Beto: \(\{6,7,8,9,10\}\)
Calcula la desviación media para cada estudiante y explica qué indican los resultados sobre su rendimiento.
Ana:
La media de Ana es:
\[ \bar{x}=\frac{8+8+8+8+8}{5}=8 \]
Sus desviaciones absolutas son:
\[ |8-8|=0,\quad |8-8|=0,\quad |8-8|=0,\quad |8-8|=0,\quad |8-8|=0 \]
Entonces:
\[ DM_A=\frac{0+0+0+0+0}{5}=0 \]
Beto:
La media de Beto es:
\[ \bar{x}=\frac{6+7+8+9+10}{5}=\frac{40}{5}=8 \]
Sus desviaciones absolutas son:
\[ |6-8|=2,\quad |7-8|=1,\quad |8-8|=0,\quad |9-8|=1,\quad |10-8|=2 \]
Entonces:
\[ DM_B=\frac{2+1+0+1+2}{5}=\frac{6}{5}=1{,}2 \]
Conclusión: Ana tiene desviación media \(0\), por lo tanto sus puntajes no se alejan de su promedio. Beto tiene desviación media \(1{,}2\), lo que indica que sus puntajes se alejan, en promedio, \(1{,}2\) puntos de su media. Aunque ambos tienen el mismo promedio, Ana fue más consistente.