Respuesta correcta: a) \(14{,}5\).

Desarrollo: Para datos agrupados, usamos la media ponderada:

\[ \bar{x}=\frac{\sum x_i f_i}{\sum f_i} \]

Reemplazamos las marcas de clase y sus frecuencias:

\[ \bar{x}=\frac{(4{,}5\cdot 5)+(14{,}5\cdot 10)+(24{,}5\cdot 5)}{5+10+5} \]

\[ \bar{x}=\frac{22{,}5+145+122{,}5}{20} =\frac{290}{20}=14{,}5 \]

Por lo tanto, la media aproximada es \(14{,}5\).

Respuesta correcta: e) \(52{,}63\).

Desarrollo: Del ejercicio anterior, la media aproximada es:

\[ \bar{x}=14{,}5 \]

Usamos la fórmula de varianza muestral para datos agrupados:

\[ s^2=\frac{\sum f_i(x_i-\bar{x})^2}{n-1} \]

Calculamos las desviaciones respecto de la media:

• \(4{,}5-14{,}5=-10\), entonces \((-10)^2=100\).
• \(14{,}5-14{,}5=0\), entonces \(0^2=0\).
• \(24{,}5-14{,}5=10\), entonces \(10^2=100\).

Ahora ponderamos por las frecuencias:

\[ \sum f_i(x_i-\bar{x})^2=(5\cdot 100)+(10\cdot 0)+(5\cdot 100)=1000 \]

Como \(n=20\), se divide por \(n-1=19\):

\[ s^2=\frac{1000}{19}\approx 52{,}63 \]

Por lo tanto, la varianza muestral aproximada es \(52{,}63\).

Respuesta correcta: a) \(7{,}25\).

Desarrollo: La desviación estándar muestral es la raíz cuadrada de la varianza muestral.

Del ejercicio anterior:

\[ s^2\approx 52{,}63 \]

Entonces:

\[ s=\sqrt{52{,}63}\approx 7{,}25 \]

Por lo tanto, la desviación estándar muestral aproximada es \(7{,}25\).

Respuesta correcta: b) Los datos del grupo A están más dispersos.

Justificación: La desviación estándar mide qué tan alejados están los datos respecto de la media. Si ambos grupos tienen la misma media, pero el grupo A tiene mayor desviación estándar, entonces sus datos están más separados del promedio que los del grupo B.

Respuesta correcta: b) Grupo Y.

Desarrollo: Como ambos grupos tienen la misma media, podemos comparar directamente sus desviaciones estándar.

También podemos calcular el coeficiente de variación:

\[ CV_X=\frac{5}{80}\cdot 100\%=6{,}25\% \]

\[ CV_Y=\frac{12}{80}\cdot 100\%=15\% \]

Como \(15\%>6{,}25\%\), el grupo Y tiene mayor variabilidad relativa.

Respuesta correcta: b) \(20\%\).

Desarrollo: El coeficiente de variación se calcula como:

\[ CV=\frac{\text{desviación estándar}}{\text{media}}\cdot 100\% \]

Reemplazamos los valores:

\[ CV=\frac{5}{25}\cdot 100\%=0{,}2\cdot 100\%=20\% \]

Por lo tanto, el coeficiente de variación es \(20\%\).