Ecuaciones exponenciales
7. Nivel 5: Resolución con Logaritmos (cc2)
Nivel 5: Resolución con Logaritmos
Idea central
En este nivel, las bases no se pueden igualar fácilmente (como \(2^x = 7\)). Por lo tanto, necesitamos una nueva herramienta: los logaritmos.
Idea clave: ¿Cuándo y por qué usar logaritmos?
Usamos logaritmos cuando es imposible o muy difícil expresar ambos lados de la ecuación con la misma base. La "magia" de los logaritmos está en su propiedad principal: \(\log(a^P) = P \cdot \log(a)\). Esta regla nos permite tomar un exponente (donde está nuestra incógnita \(x\)) y "bajarlo" para convertirlo en un factor que podemos despejar fácilmente.
Procedimiento
- Aplica logaritmo (usualmente logaritmo decimal, log, o natural, ln) a ambos lados de la ecuación.
- Usa la propiedad \(\log(a^{P}) = P \cdot \log(a)\) para "bajar" el exponente.
- Despeja \(x\) como en cualquier ecuación lineal.
Consejo Estratégico: Elige el Logaritmo Correcto
Aunque cualquier logaritmo funciona, eres más eficiente si eliges:
- Logaritmo decimal (log) cuando la base es 10, porque \(\log(10)=1\).
- Logaritmo natural (ln) cuando la base es e, porque \(\ln(e)=1\).
Ejemplos resueltos paso a paso
Ejemplo A: \(2^{x}=7\)
\(\log(2^{x})=\log(7)\)
Paso 2: Bajar el exponente.
\(x \cdot \log(2) = \log(7)\)
Paso 3: Despejar x.
\(x = \dfrac{\log(7)}{\log(2)} \approx 2.807\)
Ejemplo B (Corregido): \(10^{2x-1}=5\)
\(\log(10^{2x-1})=\log(5)\)
Paso 2: Bajar el exponente (usando \(\log(10)=1\)).
\((2x-1) \cdot \log(10) = \log(5)\)
\(2x-1 = \log(5)\)
Paso 3: Despejar x.
\(2x = 1 + \log(5)\)
\(x = \dfrac{1+\log(5)}{2} \approx \dfrac{1+0.699}{2} \approx 0.850\)
Ejemplo C: \(e^{2x}=17\)
\(\ln(e^{2x})=\ln(17)\)
Paso 2: Bajar el exponente (usando \(\ln(e)=1\)).
\(2x \cdot \ln(e) = \ln(17)\)
\(2x = \ln(17)\)
Paso 3: Despejar x.
\(x = \dfrac{\ln(17)}{2} \approx 1.418\)
Ejercicios propuestos (41 – 50)
Pulsa el botón a la derecha de cada enunciado para mostrar u ocultar la solución.
Ejercicio 41
\(3^{x}=14\)
Aplicamos logaritmos y usamos la propiedad de la potencia para despejar el exponente:
\(x \cdot \log(3) = \log(14) \Rightarrow x = \dfrac{\log(14)}{\log(3)} \approx 2.402\)
Ejercicio 42
\(10^{x+2}=45\)
Aplicamos logaritmos y usamos la propiedad de la potencia para despejar el exponente:
Aplicamos \(\log\) base 10: \(x+2 = \log(45) \Rightarrow x = \log(45) - 2 \approx -0.347\)
Ejercicio 43
\(5^{x+1}=20\)
Aplicamos logaritmos y usamos la propiedad de la potencia para despejar el exponente:
\((x+1)\log(5) = \log(20) \Rightarrow x+1 = \dfrac{\log(20)}{\log(5)} \Rightarrow x = \dfrac{\log(20)}{\log(5)} - 1 \approx 0.861\)
Ejercicio 44
\(4^{x}=11\)
Aplicamos logaritmos y usamos la propiedad de la potencia para despejar el exponente:
\(x \cdot \log(4) = \log(11) \Rightarrow x = \dfrac{\log(11)}{\log(4)} \approx 1.730\)
Ejercicio 45
\(e^{x-1}=10\)
Aplicamos logaritmos y usamos la propiedad de la potencia para despejar el exponente:
Aplicamos \(\ln\): \(x-1 = \ln(10) \Rightarrow x = \ln(10) + 1 \approx 3.303\)
Ejercicio 46
\(8^{x}=30\)
Aplicamos logaritmos y usamos la propiedad de la potencia para despejar el exponente:
\(x \cdot \log(8) = \log(30) \Rightarrow x = \dfrac{\log(30)}{\log(8)} \approx 1.636\)
Ejercicio 47
\(9^{x-2}=50\)
Aplicamos logaritmos y usamos la propiedad de la potencia para despejar el exponente:
\((x-2)\log(9) = \log(50) \Rightarrow x-2 = \dfrac{\log(50)}{\log(9)} \Rightarrow x = \dfrac{\log(50)}{\log(9)} + 2 \approx 3.778\)
Ejercicio 48
\(7^{2x}=100\)
Aplicamos logaritmos y usamos la propiedad de la potencia para despejar el exponente:
\(2x \cdot \log(7) = \log(100) \Rightarrow 2x \log(7) = 2 \Rightarrow x = \dfrac{1}{\log(7)} \approx 1.183\)
Ejercicio 49
\(6^{x+1}=40\)
Aplicamos logaritmos y usamos la propiedad de la potencia para despejar el exponente:
\((x+1)\log(6) = \log(40) \Rightarrow x+1 = \dfrac{\log(40)}{\log(6)} \Rightarrow x = \dfrac{\log(40)}{\log(6)} - 1 \approx 1.059\)
Ejercicio 50
\(2^{x}=15\)
Aplicamos logaritmos y usamos la propiedad de la potencia para despejar el exponente:
\(x \cdot \log(2) = \log(15) \Rightarrow x = \dfrac{\log(15)}{\log(2)} \approx 3.907\)