Ecuaciones exponenciales
9. Aplicaciones de Ecuaciones Exponenciales (cc2)
Aplicaciones y Modelado: Ecuaciones Exponenciales
Idea central
Has aprendido a resolver las ecuaciones, ahora veamos dónde se usan. En esta página, exploraremos cómo las ecuaciones exponenciales nos ayudan a modelar situaciones del mundo real, desde cómo crece tu dinero en el banco hasta cómo se expande una población.
Estrategia General para Modelar
Al enfrentar un problema de aplicación, sigue estos pasos:
- Identifica el Modelo: ¿Es un problema de interés compuesto, crecimiento poblacional, decaimiento radiactivo, etc.? Elige la fórmula correcta.
- Asigna las Variables: Lee el problema y anota los valores que conoces (capital inicial, tasa, cantidad inicial, etc.) y cuál es tu incógnita.
- Plantea la Ecuación: Sustituye los valores conocidos en la fórmula.
- Resuelve para la Incógnita: Usa las técnicas que aprendiste (igualar bases, logaritmos, etc.) para despejar la variable que buscas.
Aplicación 1: Interés Compuesto
El interés compuesto es el interés que se calcula sobre el capital inicial más todo el interés acumulado de periodos anteriores. ¡Es el motivo por el cual las inversiones crecen cada vez más rápido!
La Fórmula Clave
\(C(t) = C_0 \left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt}\)
Donde:
• \(C(t)\): Capital final.
• \(C_0\): Capital inicial.
• \(r\): Tasa de interés anual (en decimal).
• \(n\): Número de capitalizaciones por año.
• \(t\): Número de años.
Ejemplo: Si inviertes $500.000 a una tasa del 6% anual capitalizable mensualmente, ¿cuánto tiempo tomará para que tu inversión alcance los $700.000?
\(C(t)=700000\), \(C_0=500000\), \(r=0.06\), \(n=12\), \(t=?\)
2. Plantear la ecuación:
\(700000 = 500000\left(1 + \frac{0.06}{12}\right)^{12t}\)
\(1.4 = (1.005)^{12t}\)
3. Resolver para t (usando logaritmos):
\(\log(1.4) = 12t \cdot \log(1.005)\)
\(t = \frac{\log(1.4)}{12 \cdot \log(1.005)} \approx 5.62\) años.
Aplicación 2: Crecimiento y Decaimiento Exponencial
Muchos procesos naturales, como el crecimiento de una población o el decaimiento radiactivo, siguen este modelo.
La Fórmula Clave
\(N(t) = N_0 e^{kt}\)
Donde:
• \(N(t)\): Cantidad final.
• \(N_0\): Cantidad inicial.
• \(e\): Base del logaritmo natural.
• \(k\): Constante de crecimiento (\(k>0\)) o decaimiento (\(k<0\)).
• \(t\): Tiempo.
Ejemplo: La vida media del Carbono-14 es de 5730 años. Si un fósil tiene el 20% del Carbono-14 original, ¿cuál es su antigüedad?
\(0.5 N_0 = N_0 e^{k \cdot 5730} \;\Rightarrow\; 0.5 = e^{5730k}\)
\(\ln(0.5) = 5730k \;\Rightarrow\; k = \frac{\ln(0.5)}{5730} \approx -0.000121\)
2. Resolver el problema principal:
\(0.20 N_0 = N_0 e^{-0.000121 t}\)
\(\ln(0.20) = -0.000121 t\)
\(t = \frac{\ln(0.20)}{-0.000121} \approx 13301\) años.
Ejercicios propuestos
Pulsa el botón al lado del enunciado para mostrar u ocultar la solución.
Ejercicio 1
Depositas $2.000 en una cuenta que paga 4% de interés anual capitalizable trimestralmente (n=4). ¿Cuánto dinero tendrás después de 10 años?
Se sustituyen los datos del problema en el modelo correspondiente:
\(C(10) = 2000(1 + 0.04/4)^{4 \cdot 10} = 2000(1.01)^{40} \approx \$2977.73\)
Ejercicio 2
¿Cuánto dinero necesitas invertir hoy al 7% anual capitalizable anualmente (n=1) para tener $15.000 en 18 años?
Se sustituyen los datos del problema en el modelo correspondiente:
\(15000 = C_0(1+0.07)^{18} \;\Rightarrow\; C_0 = \frac{15000}{1.07^{18}} \approx \$4438.13\)
Ejercicio 3
Una tarjeta de crédito cobra un interés del 24% anual (0.24) capitalizable mensualmente. Si tienes una deuda de $500 y no haces pagos, ¿cuánto deberás después de 2 años?
Se sustituyen los datos del problema en el modelo correspondiente:
\(C(2) = 500(1 + 0.24/12)^{12 \cdot 2} = 500(1.02)^{24} \approx \$804.22\)
Ejercicio 4
¿Cuánto tiempo tomará para que una inversión de $1.000 se duplique si se invierte al 8% anual capitalizable semestralmente (n=2)?
Se sustituyen los datos del problema en el modelo correspondiente:
\(2000 = 1000(1.04)^{2t} \;\Rightarrow\; 2 = (1.04)^{2t} \;\Rightarrow\; \log(2) = 2t \cdot \log(1.04) \;\Rightarrow\; t \approx 8.84\) años.
Ejercicio 5
Si inviertes $3.000 y después de 5 años tienes $4.000 con capitalización anual (n=1), ¿cuál fue la tasa de interés anual (r)?
Se sustituyen los datos del problema en el modelo correspondiente:
\(4000 = 3000(1+r)^5 \;\Rightarrow\; 1.333 = (1+r)^5 \;\Rightarrow\; \sqrt[5]{1.333} = 1+r \;\Rightarrow\; r \approx 0.0592\), o 5.92%.
Ejercicio 6
Una población de conejos se duplica cada 6 meses. Si comienzas con 20 conejos, ¿cuántos tendrás después de 4 años?
Se sustituyen los datos del problema en el modelo correspondiente:
En 4 años hay 8 periodos de 6 meses. \(N(4) = 20 \cdot 2^8 = 20 \cdot 256 = 5120\) conejos.
Ejercicio 7
Un isótopo radiactivo tiene una vida media de 120 días. ¿Qué porcentaje de la sustancia original quedará después de un año (360 días)?
Se sustituyen los datos del problema en el modelo correspondiente:
En 360 días hay 3 vidas medias. \(N(360) = N_0 \cdot (0.5)^3 = 0.125 N_0\). Quedará el 12.5%.
Ejercicio 8
La población de una ciudad crece a una tasa del 2% anual (k=0.02). Si la población actual es de 50.000 habitantes, ¿cuál será la población en 10 años?
Se sustituyen los datos del problema en el modelo correspondiente:
\(N(10) = 50000 \cdot e^{0.02 \cdot 10} \approx 61070\) habitantes.
Ejercicio 9
Un medicamento se elimina del cuerpo a una tasa tal que su cantidad se reduce a la mitad cada 4 horas. Si tomas una dosis de 200 mg, ¿cuánto tiempo pasará hasta que solo queden 25 mg en tu cuerpo?
Se sustituyen los datos del problema en el modelo correspondiente:
De 200 a 100 mg (1 vida media = 4h). De 100 a 50 mg (2 vidas medias = 8h). De 50 a 25 mg (3 vidas medias = 12h). Total: 12 horas.
Ejercicio 10
Se estima que el número de usuarios de una nueva app crece según el modelo \(U(t) = 1000e^{0.5t}\), donde t es el tiempo en meses. ¿En cuántos meses la app alcanzará los 50.000 usuarios?
Se sustituyen los datos del problema en el modelo correspondiente:
\(50000 = 1000e^{0.5t} \;\Rightarrow\; 50 = e^{0.5t} \;\Rightarrow\; \ln(50)=0.5t \;\Rightarrow\; t = 2\ln(50) \approx 7.82\) meses.