Libro de geometria analitica rectas y circunsferencia
4. Costos, ingresos y punto de equilibrio con rectas
Objetivos
- Modelar costos e ingresos mediante funciones afines.
- Interpretar la intersección de dos rectas como punto de equilibrio.
- Fundamentar decisiones usando información algebraica y gráfica.
Rectas para tomar decisiones
Una recta puede modelar situaciones donde una cantidad cambia a razón constante. En economía básica, los costos y los ingresos pueden representarse mediante funciones afines.
El punto donde la recta de ingresos se intersecta con la recta de costos se llama punto de equilibrio: allí no hay ganancia ni pérdida.
Modelos lineales frecuentes
Si \(x\) representa la cantidad de productos, el costo puede modelarse como:
donde \(b\) es el costo fijo y \(m\) es el costo variable por unidad.
El ingreso puede modelarse como:
donde \(p\) es el precio de venta por unidad. La ganancia se puede estimar como:
En el punto de equilibrio se cumple:
Ajuste de escala para graficar
Para que el gráfico sea más legible, representaremos el dinero en miles de pesos. Así, \(\$30\,000\) se grafica como \(30\), \(\$55\,000\) como \(55\), y así sucesivamente.
Ejemplo 1: punto de equilibrio
Un emprendimiento tiene un costo fijo de \(\$30\,000\) y un costo variable de \(\$500\) por producto. Cada producto se vende a \(\$1\,100\). Determina el punto de equilibrio.
El costo es:
\[ C(x)=500x+30\,000 \]
El ingreso es:
\[ I(x)=1\,100x \]
En el punto de equilibrio:
\[ I(x)=C(x) \]
\[ 1\,100x=500x+30\,000 \]
\[ 600x=30\,000 \]
\[ x=50 \]
Para calcular el valor monetario en ese punto, reemplazamos \(x=50\):
\[ I(50)=1\,100\cdot 50=55\,000 \]
\[ C(50)=500\cdot 50+30\,000=55\,000 \]
Para graficar en miles de pesos, usamos:
\[ C(x)=0{,}5x+30 \qquad\text{e}\qquad I(x)=1{,}1x \]
El punto de equilibrio es \((50,55)\) en el gráfico, es decir, \((50,55\,000)\) en pesos. Debe vender \(50\) productos para no tener pérdida ni ganancia.
Ejemplo 2: interpretar ganancia
Usando los modelos anteriores, ¿hay ganancia o pérdida si se venden \(80\) productos?
Ingreso:
\[ I(80)=1\,100\cdot 80=88\,000 \]
Costo:
\[ C(80)=500\cdot 80+30\,000=40\,000+30\,000=70\,000 \]
Ganancia:
\[ G(80)=I(80)-C(80) \]
\[ G(80)=88\,000-70\,000=18\,000 \]
En el gráfico, \(88\,000\) pesos se representa como \(88\) y \(70\,000\) pesos se representa como \(70\).
Hay una ganancia de \(\$18\,000\), porque el ingreso es mayor que el costo.
Lectura gráfica
Antes del punto de equilibrio, la recta de costos está sobre la recta de ingresos: hay pérdida.
Después del punto de equilibrio, la recta de ingresos queda sobre la recta de costos: hay ganancia.
Ejercicio 1
Un taller tiene \(C(x)=700x+42\,000\) e \(I(x)=1\,400x\). Calcula el punto de equilibrio.
En el punto de equilibrio se cumple:
\[ I(x)=C(x) \]
Igualamos costo e ingreso:
\[ 1\,400x=700x+42\,000 \]
\[ 700x=42\,000 \]
\[ x=60 \]
Calculamos el valor monetario:
\[ I(60)=1\,400\cdot 60=84\,000 \]
\[ C(60)=700\cdot 60+42\,000=84\,000 \]
El punto de equilibrio es \((60,84\,000)\). Se alcanza al vender \(60\) unidades.
Ejercicio 2
Con los modelos del ejercicio anterior, determina si hay ganancia o pérdida al vender \(50\) unidades.
Calculamos el ingreso:
\[ I(50)=1\,400\cdot 50=70\,000 \]
Calculamos el costo:
\[ C(50)=700\cdot 50+42\,000=35\,000+42\,000=77\,000 \]
Entonces:
\[ G(50)=I(50)-C(50) \]
\[ G(50)=70\,000-77\,000=-7\,000 \]
Hay una pérdida de \(\$7\,000\), porque el costo es mayor que el ingreso.
Ejercicio 3
Una productora estima \(C(x)=1\,200x+80\,000\) e \(I(x)=2\,000x\). ¿Cuántas unidades debe vender para obtener una ganancia de \(\$40\,000\)?
La ganancia se calcula como:
\[ G(x)=I(x)-C(x) \]
Pedimos \(G(x)=40\,000\):
\[ 2\,000x-(1\,200x+80\,000)=40\,000 \]
\[ 2\,000x-1\,200x-80\,000=40\,000 \]
\[ 800x-80\,000=40\,000 \]
\[ 800x=120\,000 \]
\[ x=150 \]
Debe vender \(150\) unidades para obtener una ganancia de \(\$40\,000\).
Ejercicio 4
Explica por qué el punto de equilibrio corresponde a la intersección de dos rectas.
En el punto de equilibrio se cumple que ingreso y costo tienen el mismo valor:
\[ I(x)=C(x) \]
Gráficamente, esto significa que ambas rectas tienen el mismo valor de \(y\) para el mismo valor de \(x\).
Por eso el punto de equilibrio corresponde al punto de intersección de las rectas \(I(x)\) y \(C(x)\).
Ejercicio 5
Una persona afirma: “Si el ingreso por unidad es mayor que el costo variable, entonces siempre hay ganancia”. ¿Es correcta la afirmación?
La afirmación no siempre es correcta.
Aunque el ingreso por unidad sea mayor que el costo variable por unidad, puede existir un costo fijo inicial.
Mientras no se vendan suficientes unidades para cubrir ese costo fijo, el costo total puede seguir siendo mayor que el ingreso total.
Por lo tanto, antes del punto de equilibrio puede haber pérdida.
Ejercicio 6
Da una interpretación en contexto de una pendiente mayor en la recta de ingresos.
La recta de ingresos suele tener la forma:
\[ I(x)=px \]
Su pendiente es \(p\), que representa el precio de venta por unidad.
Una pendiente mayor en la recta de ingresos significa que por cada unidad vendida el ingreso aumenta más; en este contexto, corresponde a un mayor precio de venta por unidad.
Ejercicio 7
Una empresa tiene \(C(x)=900x+36\,000\) e \(I(x)=1\,500x\). Determina si al vender \(40\), \(60\) y \(80\) unidades hay pérdida, equilibrio o ganancia.
Primero encontramos el punto de equilibrio:
\[ 1\,500x=900x+36\,000 \]
\[ 600x=36\,000 \]
\[ x=60 \]
Entonces:
- Si \(x=40\), está antes del equilibrio: hay pérdida.
- Si \(x=60\), está en el equilibrio: no hay ganancia ni pérdida.
- Si \(x=80\), está después del equilibrio: hay ganancia.
Para \(40\) unidades hay pérdida; para \(60\), equilibrio; para \(80\), ganancia.
Limitación del modelo
Estos modelos suponen que el costo variable y el precio de venta se mantienen constantes. En una situación real, pueden cambiar por descuentos, volumen de producción, impuestos, inflación o variación de demanda.