Libro de geometria analitica rectas y circunsferencia
7. Distancia entre puntos y punto medio
Objetivos
- Calcular la distancia entre dos puntos del plano cartesiano.
- Determinar el punto medio de un segmento.
- Usar distancia y punto medio para preparar el estudio de circunferencias y zonas de alcance.
Medir en el plano cartesiano
Para resolver problemas con rectas y circunferencias, muchas veces necesitamos medir la distancia entre dos puntos o ubicar el punto que queda justo al centro de un segmento.
Estas herramientas permiten interpretar radios, centros, trayectos, zonas de alcance y puntos de encuentro.
Distancia entre dos puntos
Si \(A(x_1,y_1)\) y \(B(x_2,y_2)\), entonces la distancia entre ellos es:
Esta fórmula proviene del teorema de Pitágoras: el cambio horizontal y el cambio vertical forman los catetos de un triángulo rectángulo.
Punto medio
El punto medio del segmento que une \(A(x_1,y_1)\) y \(B(x_2,y_2)\) es:
Es decir, se promedian las coordenadas \(x\) y también se promedian las coordenadas \(y\).
Ejemplo 1: distancia
Calcula la distancia entre \(A(1,2)\) y \(B(7,10)\).
Aplicamos la fórmula:
\[ d(A,B)=\sqrt{(7-1)^2+(10-2)^2} \]
\[ d(A,B)=\sqrt{6^2+8^2} \]
\[ d(A,B)=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10 \]
La distancia entre los puntos es \(10\) unidades.
Ejemplo 2: punto medio
Determina el punto medio del segmento que une \(A(-2,4)\) y \(B(6,8)\).
Usamos la fórmula del punto medio:
\[ M=\left(\frac{-2+6}{2},\frac{4+8}{2}\right) \]
\[ M=\left(\frac{4}{2},\frac{12}{2}\right)=(2,6) \]
El punto medio es \(M(2,6)\).
Relación con circunferencias
Una circunferencia está formada por todos los puntos que están a una misma distancia de un centro. Por eso, la fórmula de distancia es la base para comprender la ecuación de una circunferencia.
Si \(C\) es el centro y \(A\) está en la circunferencia, entonces la distancia \(d(C,A)\) corresponde al radio.
Error frecuente
No calcules la distancia restando solo las coordenadas \(x\) o solo las coordenadas \(y\). En el plano, la distancia combina ambos cambios mediante el teorema de Pitágoras.
Ejercicios
Ejercicio 1
Calcula la distancia entre \(P(0,0)\) y \(Q(3,4)\).
Aplicamos la fórmula de distancia:
\[ d(P,Q)=\sqrt{(3-0)^2+(4-0)^2} \]
\[ d(P,Q)=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5 \]
La distancia es \(5\) unidades.
Ejercicio 2
Determina la distancia entre \(A(-1,5)\) y \(B(5,-3)\).
Aplicamos la fórmula:
\[ d(A,B)=\sqrt{(5-(-1))^2+(-3-5)^2} \]
\[ d(A,B)=\sqrt{6^2+(-8)^2} \]
\[ d(A,B)=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10 \]
La distancia es \(10\) unidades.
Ejercicio 3
Calcula el punto medio entre \(A(4,-2)\) y \(B(10,6)\).
Usamos la fórmula del punto medio:
\[ M=\left(\frac{4+10}{2},\frac{-2+6}{2}\right) \]
\[ M=\left(\frac{14}{2},\frac{4}{2}\right)=(7,2) \]
El punto medio es \(M(7,2)\).
Ejercicio 4
Un centro de distribución está en \(C(2,3)\) y una tienda está en \(T(8,11)\). Si cada unidad representa \(1\) km, ¿a qué distancia están?
Calculamos la distancia entre \(C(2,3)\) y \(T(8,11)\):
\[ d(C,T)=\sqrt{(8-2)^2+(11-3)^2} \]
\[ d(C,T)=\sqrt{6^2+8^2} \]
\[ d(C,T)=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10 \]
Están a \(10\) km.
Ejercicio 5
El diámetro de una circunferencia tiene extremos \(A(-4,1)\) y \(B(6,7)\). Determina el centro de la circunferencia.
El centro de una circunferencia queda en el punto medio de cualquier diámetro.
\[ C=\left(\frac{-4+6}{2},\frac{1+7}{2}\right) \]
\[ C=\left(\frac{2}{2},\frac{8}{2}\right)=(1,4) \]
El centro es \(C(1,4)\).
Ejercicio 6
Explica por qué la distancia entre dos puntos nunca puede ser negativa.
La distancia representa una longitud, por lo tanto no puede ser negativa.
Además, en la fórmula:
\[ d(A,B)=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2} \]
se suman cuadrados, y los cuadrados siempre son mayores o iguales que \(0\). Luego se calcula la raíz cuadrada principal, que también es mayor o igual que \(0\).
Por eso la distancia siempre es mayor o igual que \(0\).
Ejercicio 7
El diámetro de una circunferencia tiene extremos \(A(2,-1)\) y \(B(8,7)\). Determina el centro y el radio de la circunferencia.
Primero calculamos el centro como punto medio del diámetro:
\[ C=\left(\frac{2+8}{2},\frac{-1+7}{2}\right) \]
\[ C=\left(\frac{10}{2},\frac{6}{2}\right)=(5,3) \]
El radio es la distancia desde el centro hasta uno de los extremos:
\[ r=d(C,A)=\sqrt{(2-5)^2+(-1-3)^2} \]
\[ r=\sqrt{(-3)^2+(-4)^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5 \]
El centro es \(C(5,3)\) y el radio es \(5\) unidades.