Libro de geometria analitica rectas y circunsferencia
10. Puntos de encuentro con circunferencias
Objetivos
- Interpretar circunferencias como zonas de alcance en el plano cartesiano.
- Determinar si dos circunferencias tienen cero, uno o dos puntos de intersección.
- Resolver problemas de puntos de encuentro usando centros, radios y distancia.
Circunferencias como zonas de alcance
Si una persona, robot o señal puede desplazarse o alcanzar todos los puntos que están a cierta distancia fija de un centro, esa frontera se puede representar con una circunferencia.
Cuando dos circunferencias se intersectan, sus puntos comunes representan lugares que cumplen simultáneamente ambas condiciones de distancia.
Criterio usando distancia entre centros
Sean dos circunferencias de radios \(r_1\) y \(r_2\), con centros separados por una distancia \(d\).
- Si \(d>r_1+r_2\), no se intersectan.
- Si \(d=r_1+r_2\), son tangentes exteriormente y tienen un punto común.
- Si \(|r_1-r_2|<d<r_1+r_2\), tienen dos puntos de intersección.
- Si \(d=|r_1-r_2|\) y los radios son distintos, son tangentes interiormente y tienen un punto común.
- Si \(d<|r_1-r_2|\), una queda dentro de la otra sin intersección.
Si \(d=0\) y \(r_1=r_2\), entonces las circunferencias coinciden completamente: no hay solo uno o dos puntos comunes, sino infinitos.
Ejemplo 1: dos puntos de encuentro
Dos personas están en \(A(0,0)\) y \(B(6,0)\). Ambas pueden caminar \(5\) km. ¿Existen lugares que estén a \(5\) km de ambas?
Los centros están separados por:
\[ d=6 \]
Los radios son:
\[ r_1=5 \qquad\text{y}\qquad r_2=5 \]
Comparamos:
\[ |5-5|<6<5+5 \]
\[ 0<6<10 \]
Las circunferencias tienen dos puntos de intersección. Existen dos posibles lugares que están a \(5\) km de ambas personas.
Ejemplo 2: sin encuentro
Dos antenas están a \(20\) km de distancia. Una tiene alcance \(8\) km y la otra \(7\) km. ¿Se superponen sus fronteras de alcance?
La suma de los radios es:
\[ 8+7=15 \]
Como la distancia entre centros es \(20\) km:
\[ 20>15 \]
Las circunferencias no se intersectan. No hay puntos que estén exactamente a ambas distancias dadas.
Interpretación
La intersección de circunferencias no es solo un cálculo: representa lugares posibles. Por eso conviene preguntar siempre qué significa cada centro, cada radio y cada punto común.
Ejercicio 1
Dos circunferencias tienen radios \(4\) y \(6\), y sus centros están a \(9\) unidades. ¿Cuántos puntos de intersección tienen?
Identificamos los datos:
\[ r_1=4,\qquad r_2=6,\qquad d=9 \]
Comparamos:
\[ |6-4|=2 \]
\[ 4+6=10 \]
Como:
\[ 2<9<10 \]
Las circunferencias tienen dos puntos de intersección.
Ejercicio 2
Dos circunferencias tienen radios \(3\) y \(5\), y sus centros están a \(8\) unidades. Clasifica su posición relativa.
Calculamos la suma de los radios:
\[ 3+5=8 \]
La distancia entre centros también es:
\[ d=8 \]
Entonces:
\[ d=r_1+r_2 \]
Son tangentes exteriormente y tienen un punto común.
Ejercicio 3
Una estación está en \(A(1,2)\) y otra en \(B(7,10)\). Calcula la distancia entre ellas.
Usamos la fórmula de distancia entre dos puntos:
\[ d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2} \]
Reemplazamos:
\[ d=\sqrt{(7-1)^2+(10-2)^2} \]
\[ d=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10 \]
La distancia entre estaciones es \(10\) unidades.
Ejercicio 4
Usando la distancia del ejercicio anterior, si ambas estaciones tienen alcance \(5\), ¿cuántos puntos comunes tienen sus circunferencias de alcance?
Del ejercicio anterior:
\[ d=10 \]
Los radios son:
\[ r_1=5 \qquad\text{y}\qquad r_2=5 \]
La suma de los radios es:
\[ r_1+r_2=5+5=10 \]
Entonces:
\[ d=r_1+r_2 \]
Las circunferencias son tangentes exteriormente y tienen un punto común.
Ejercicio 5
Dos circunferencias tienen el mismo centro y radios \(4\) y \(9\). ¿Tienen puntos de intersección? Explica.
Como tienen el mismo centro, la distancia entre centros es:
\[ d=0 \]
Los radios son distintos:
\[ r_1=4,\qquad r_2=9 \]
Calculamos la diferencia de radios:
\[ |9-4|=5 \]
Como:
\[ 0<5 \]
una circunferencia queda dentro de la otra sin tocarla.
No tienen puntos de intersección.
Ejercicio 6
En un problema de encuentro, ¿qué representa un punto de intersección de dos circunferencias?
Un punto de intersección pertenece a ambas circunferencias al mismo tiempo.
Eso significa que cumple las dos condiciones de distancia: está a una distancia determinada del primer centro y también a una distancia determinada del segundo centro.
En contexto, puede representar un lugar alcanzable desde dos centros con radios dados.
Atención
La región interior de un círculo no es lo mismo que la circunferencia. La circunferencia representa puntos a distancia exacta del centro; el círculo incluye todos los puntos a distancia menor o igual al radio.