Libro de geometria analitica rectas y circunsferencia
11. Recta y circunferencia: secante, tangente y exterior
Objetivos
- Clasificar la posición de una recta respecto de una circunferencia.
- Interpretar intersecciones entre rectas y circunferencias en contexto.
- Reconocer la tangencia como un caso de un único punto común.
Una trayectoria y una zona circular
Una recta puede representar una trayectoria, un borde, una ruta o una barrera. Una circunferencia puede representar el límite de una zona de alcance, una zona segura o una zona de riesgo.
Comparar una recta con una circunferencia permite decidir si la trayectoria cruza la zona, toca su borde o queda fuera.
Tres posiciones posibles
- Secante: la recta corta a la circunferencia en dos puntos.
- Tangente: la recta toca a la circunferencia en un solo punto.
- Exterior: la recta no tiene puntos comunes con la circunferencia.
Ejemplo 1: intersección algebraica
Clasifica la recta \(y=0\) respecto de la circunferencia \(x^2+y^2=9\).
Sustituimos \(y=0\) en la circunferencia:
\[ x^2+0^2=9 \]
\[ x^2=9 \]
\[ x=-3 \quad \text{o} \quad x=3 \]
Hay dos puntos de intersección: \((-3,0)\) y \((3,0)\). Por lo tanto, la recta es secante.
Ejemplo 2: recta tangente
Clasifica la recta \(y=3\) respecto de la circunferencia \(x^2+y^2=9\).
Sustituimos \(y=3\):
\[ x^2+3^2=9 \]
\[ x^2+9=9 \]
\[ x^2=0 \]
\[ x=0 \]
Hay un solo punto de intersección: \((0,3)\). Por lo tanto, la recta es tangente.
Interpretación con soluciones
Al sustituir la ecuación de la recta en la circunferencia, se obtiene una ecuación. La cantidad de soluciones reales permite clasificar la posición:
- dos soluciones reales: recta secante;
- una solución real: recta tangente;
- ninguna solución real: recta exterior.
Ejercicio 1
Clasifica la recta \(y=5\) respecto de la circunferencia \(x^2+y^2=9\).
Sustituimos \(y=5\) en la circunferencia:
\[ x^2+5^2=9 \]
\[ x^2+25=9 \]
\[ x^2=-16 \]
Como ningún número real al cuadrado puede ser negativo, no hay soluciones reales.
La recta es exterior a la circunferencia.
Ejercicio 2
Encuentra los puntos de intersección entre \(y=2\) y \(x^2+y^2=13\).
Sustituimos \(y=2\) en la circunferencia:
\[ x^2+2^2=13 \]
\[ x^2+4=13 \]
\[ x^2=9 \]
\[ x=-3 \quad \text{o} \quad x=3 \]
Como la recta es \(y=2\), ambos puntos tienen coordenada \(y=2\).
Los puntos de intersección son \((-3,2)\) y \((3,2)\).
Ejercicio 3
Clasifica la recta \(x=4\) respecto de la circunferencia \(x^2+y^2=16\).
Sustituimos \(x=4\) en la circunferencia:
\[ 4^2+y^2=16 \]
\[ 16+y^2=16 \]
\[ y^2=0 \]
\[ y=0 \]
Hay un único punto común: \((4,0)\).
La recta es tangente a la circunferencia.
Ejercicio 4
Una zona de riesgo se modela por \(x^2+y^2=25\). Una ruta se modela por \(y=4\). ¿La ruta cruza la zona, toca el borde o queda fuera?
Sustituimos \(y=4\) en la circunferencia:
\[ x^2+4^2=25 \]
\[ x^2+16=25 \]
\[ x^2=9 \]
\[ x=-3 \quad \text{o} \quad x=3 \]
Hay dos puntos de intersección con el borde de la zona: \((-3,4)\) y \((3,4)\).
La recta es secante a la circunferencia; en contexto, la ruta cruza la zona.
Ejercicio 5
Explica qué significa, en contexto, que una recta sea tangente a una circunferencia que representa una zona de seguridad.
Si la recta es tangente, entonces tiene un solo punto común con la circunferencia.
En contexto, eso significa que la trayectoria o borde toca la zona de seguridad exactamente en un punto.
Está justo en el límite: no cruza el interior, pero alcanza el borde.
Ejercicio 6
Una recta y una circunferencia no tienen puntos comunes. ¿Qué puede decirse de la recta respecto de la circunferencia?
Si una recta y una circunferencia no tienen puntos comunes, entonces la recta no corta ni toca la circunferencia.
La recta es exterior a la circunferencia.
En contexto, la trayectoria o borde queda fuera de la zona representada por la circunferencia.
Error frecuente
No basta mirar si la recta “parece cerca”. La clasificación depende de cuántos puntos comunes existen entre la recta y la circunferencia.
También es importante distinguir entre circunferencia y círculo: la circunferencia es solo el borde; el círculo incluye el interior.