Libro de geometria analitica rectas y circunsferencia
12. Seguridad en el trabajo: tangente y zona segura
Objetivos
- Modelar una zona de seguridad mediante una circunferencia.
- Interpretar rectas tangentes como límites seguros.
- Fundamentar decisiones usando distancia, radio y posición relativa.
Zona segura y límite
En algunos contextos de seguridad, una máquina, una grúa o una herramienta puede tener una zona de riesgo alrededor de un punto. Esa zona puede modelarse con una circunferencia o un círculo.
Una barrera o ruta será segura si no cruza el interior de la zona de riesgo. Si toca el borde en un solo punto, se interpreta como un límite tangente.
Tangente y radio
Una recta tangente a una circunferencia toca la circunferencia en un solo punto. En ese punto, el radio es perpendicular a la tangente.
Si la distancia desde el centro de la circunferencia a la recta es igual al radio, la recta es tangente.
Criterio de clasificación
Si una circunferencia tiene centro \(C\), radio \(r\), y la distancia desde el centro a la recta es \(d\), entonces:
- si \(d<r\), la recta es secante;
- si \(d=r\), la recta es tangente;
- si \(d>r\), la recta es exterior.
Ejemplo 1: barrera horizontal
Una zona de riesgo se modela por la circunferencia \(x^2+y^2=16\). Una barrera se ubica sobre la recta \(y=4\). Clasifica la barrera respecto de la zona.
La circunferencia tiene centro \((0,0)\) y radio \(4\).
La recta \(y=4\) está a distancia \(4\) del centro.
Como la distancia del centro a la recta coincide con el radio, la recta es tangente.
La barrera toca el borde de la zona de riesgo en un solo punto. Por lo tanto, es tangente.
Ejemplo 2: ruta que cruza la zona
La misma zona de riesgo es \(x^2+y^2=16\). Una ruta se modela por \(y=2\). ¿Cruza la zona?
Sustituimos \(y=2\):
\[ x^2+2^2=16 \]
\[ x^2+4=16 \]
\[ x^2=12 \]
Como \(x^2=12\) tiene dos soluciones reales, la recta corta la circunferencia en dos puntos.
La recta cruza la circunferencia y pasa por el interior de la zona de riesgo.
Decisión de seguridad
En un modelo de seguridad, una distancia exacta al borde puede no ser suficiente. En la práctica se suelen agregar márgenes extra, porque las mediciones, movimientos y condiciones reales pueden variar.
Ejercicio 1
Una zona de riesgo tiene centro \((0,0)\) y radio \(6\). Clasifica la recta \(y=6\).
La distancia del centro \((0,0)\) a la recta horizontal \(y=6\) es \(6\).
El radio de la zona de riesgo también es:
\[ r=6 \]
Como la distancia del centro a la recta coincide con el radio:
\[ d=r \]
La recta es tangente.
Ejercicio 2
Para la misma zona de radio \(6\), clasifica la recta \(y=8\).
La distancia del centro \((0,0)\) a la recta \(y=8\) es:
\[ d=8 \]
El radio es:
\[ r=6 \]
Como:
\[ d>r \]
La recta es exterior y no toca la zona.
Ejercicio 3
Para la misma zona de radio \(6\), clasifica la recta \(y=3\).
La distancia del centro \((0,0)\) a la recta \(y=3\) es:
\[ d=3 \]
El radio es:
\[ r=6 \]
Como:
\[ d<r \]
La recta corta la circunferencia en dos puntos y pasa por el interior de la zona.
Ejercicio 4
Una máquina está ubicada en \((2,1)\) y su radio de riesgo es \(5\). Escribe la ecuación de la circunferencia que representa el borde de la zona de riesgo.
La circunferencia con centro \((h,k)\) y radio \(r\) es:
\[ (x-h)^2+(y-k)^2=r^2 \]
En este caso:
\[ h=2,\qquad k=1,\qquad r=5 \]
Entonces:
\[ (x-2)^2+(y-1)^2=5^2 \]
La ecuación es \((x-2)^2+(y-1)^2=25\).
Ejercicio 5
Explica por qué, en un contexto de seguridad, puede ser insuficiente que una barrera sea tangente a la zona de riesgo.
Una recta tangente está justo en el límite de la zona de riesgo, porque toca el borde en un solo punto.
En situaciones reales puede haber errores de medición, movimientos inesperados o variaciones del radio de riesgo.
Por eso suele ser necesario dejar un margen adicional de seguridad.
Ejercicio 6
Una zona de riesgo se modela por \(x^2+y^2=25\). ¿La recta \(y=-5\) es tangente? Justifica.
La circunferencia \(x^2+y^2=25\) tiene centro \((0,0)\).
Además:
\[ r^2=25 \Rightarrow r=5 \]
La recta \(y=-5\) está a distancia \(5\) del centro.
Como:
\[ d=r=5 \]
Sí, la recta es tangente.
Para recordar
La geometría analítica ayuda a justificar decisiones: una recta tangente, secante o exterior no solo es una clasificación, sino una interpretación sobre seguridad, alcance o trayectoria.