combinatoria y probabilidades
2. Principio multiplicativo
Objetivo de aprendizaje
- Aplicar el principio multiplicativo para contar posibilidades en situaciones que se desarrollan por etapas.
- Representar conteos mediante tablas, diagramas simples y productos de cantidades.
- Distinguir cuándo corresponde multiplicar opciones y cuándo solo se están listando casos.
Idea central
El principio multiplicativo se usa cuando una elección se realiza en varias etapas y cada etapa tiene cierta cantidad de opciones.
Si una primera etapa se puede hacer de \(a\) formas y, por cada una de ellas, una segunda etapa se puede hacer de \(b\) formas, entonces el proceso completo se puede hacer de:
\[ a\cdot b \]
formas distintas.
Principio multiplicativo
Si un proceso tiene varias etapas independientes en el sentido de conteo, entonces se multiplican las cantidades de opciones de cada etapa.
Para tres etapas:
\[ \text{Total de casos}=a\cdot b\cdot c \]
Para \(k\) etapas:
\[ \text{Total de casos}=n_1\cdot n_2\cdot n_3\cdots n_k \]
Ejemplo 1: menú de colación
Una persona debe elegir una colación formada por:
- 1 bebestible entre 3 opciones.
- 1 sándwich entre 4 opciones.
La elección se realiza en dos etapas:
| Etapa | Cantidad de opciones |
|---|---|
| Elegir bebestible | \(3\) |
| Elegir sándwich | \(4\) |
Entonces, la cantidad total de colaciones posibles es:
\[ 3\cdot 4=12 \]
Se pueden formar \(12\) colaciones distintas.
Ejemplo 2: tabla de posibilidades
Supongamos que hay 2 poleras, roja \(R\) y azul \(A\), y 3 pantalones, negro \(N\), gris \(G\) y café \(C\).
Las combinaciones posibles se pueden organizar en una tabla:
| \(N\) | \(G\) | \(C\) | |
|---|---|---|---|
| \(R\) | \(RN\) | \(RG\) | \(RC\) |
| \(A\) | \(AN\) | \(AG\) | \(AC\) |
Hay \(2\) opciones de polera y \(3\) opciones de pantalón. Por el principio multiplicativo:
\[ 2\cdot 3=6 \]
La tabla confirma que existen \(6\) formas distintas de vestirse.
Cómo reconocerlo
Una pista importante es que el problema puede separarse en etapas consecutivas.
Por ejemplo:
- elegir primero una polera y luego un pantalón;
- elegir primero una letra y luego un número;
- elegir primero una entrada, luego un plato de fondo y finalmente un postre.
Ejemplo 3: clave con letras y números
Una clave se forma con una letra seguida de un número. La letra puede ser \(A\), \(B\), \(C\) o \(D\), y el número puede ser \(1\), \(2\), \(3\), \(4\) o \(5\).
La clave tiene dos etapas:
- Elegir la letra: \(4\) opciones.
- Elegir el número: \(5\) opciones.
Por lo tanto:
\[ 4\cdot 5=20 \]
Se pueden formar \(20\) claves distintas.
Algunos ejemplos son \(A1\), \(A2\), \(B5\), \(D3\).
Ejemplo 4: más de dos etapas
Una persona debe elegir un almuerzo formado por:
- 1 entrada entre 2 opciones.
- 1 plato de fondo entre 5 opciones.
- 1 postre entre 3 opciones.
Como cada almuerzo se forma tomando una opción de cada etapa, se multiplican las cantidades:
\[ 2\cdot 5\cdot 3=30 \]
Se pueden formar \(30\) almuerzos distintos.
Error común
No siempre se debe multiplicar. Se multiplica cuando se deben realizar todas las etapas.
Por ejemplo, si una persona elige una polera y un pantalón, debe hacer ambas elecciones, por eso se multiplican las opciones.
En cambio, si una persona elige una bebida o un jugo, no está eligiendo ambos a la vez. Ese caso se estudiará con el principio aditivo.
Ejemplo 5: decidir si corresponde multiplicar
Un colegio entrega una credencial formada por:
- una letra entre \(A\), \(B\) o \(C\);
- un número entre \(1\), \(2\), \(3\) o \(4\);
- un color entre rojo o azul.
Para construir una credencial se debe elegir una opción de cada grupo.
Entonces:
\[ 3\cdot 4\cdot 2=24 \]
Se pueden formar \(24\) credenciales distintas.
Relación con las próximas páginas
El principio multiplicativo será la base para estudiar variaciones, permutaciones y combinaciones.
Antes de usar fórmulas, siempre conviene reconocer las etapas del conteo.
Ejercicio 1
Una heladería ofrece 4 sabores de helado y 3 tipos de salsa. Si una persona elige un sabor y una salsa, ¿cuántas combinaciones distintas puede formar?
La elección tiene dos etapas:
- Elegir el sabor: \(4\) opciones.
- Elegir la salsa: \(3\) opciones.
Como se debe elegir un sabor y una salsa, se aplica el principio multiplicativo:
\[ 4\cdot 3=12 \]
Se pueden formar \(12\) combinaciones distintas.
Ejercicio 2
Una clave se forma con una vocal seguida de un dígito. Las vocales disponibles son \(A\), \(E\), \(I\), \(O\), \(U\), y los dígitos disponibles son \(0,1,2,\ldots,9\). ¿Cuántas claves distintas se pueden formar?
La clave tiene dos posiciones:
- Primera posición: una vocal. Hay \(5\) opciones.
- Segunda posición: un dígito. Hay \(10\) opciones.
Entonces:
\[ 5\cdot 10=50 \]
Se pueden formar \(50\) claves distintas.
Ejercicio 3
Un uniforme deportivo se arma eligiendo una camiseta, un short y un par de calcetas. Hay 6 camisetas, 4 shorts y 3 pares de calcetas disponibles. ¿Cuántos uniformes distintos se pueden formar?
El uniforme se forma en tres etapas:
- Elegir camiseta: \(6\) opciones.
- Elegir short: \(4\) opciones.
- Elegir calcetas: \(3\) opciones.
Por el principio multiplicativo:
\[ 6\cdot 4\cdot 3=72 \]
Se pueden formar \(72\) uniformes distintos.
Ejercicio 4
Una prueba tiene 5 preguntas de verdadero o falso. ¿De cuántas formas distintas se puede responder la prueba completa?
Cada pregunta tiene \(2\) opciones: verdadero o falso.
Como hay \(5\) preguntas y se debe responder cada una, se multiplica:
\[ 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2 \]
Esto también se puede escribir como potencia:
\[ 2^5=32 \]
La prueba completa se puede responder de \(32\) formas distintas.
Ejercicio 5
Un código tiene 3 caracteres. El primero debe ser una letra entre \(A\), \(B\), \(C\) o \(D\). El segundo debe ser un número del \(1\) al \(6\). El tercero debe ser una letra entre \(X\), \(Y\) o \(Z\). ¿Cuántos códigos distintos se pueden formar?
El código se construye en tres etapas:
- Primer carácter: \(4\) opciones.
- Segundo carácter: \(6\) opciones.
- Tercer carácter: \(3\) opciones.
Entonces:
\[ 4\cdot 6\cdot 3=72 \]
Se pueden formar \(72\) códigos distintos.
Ejercicio 6
Una persona debe elegir una actividad para el sábado y una actividad para el domingo. Para el sábado tiene 4 opciones y para el domingo tiene 5 opciones. ¿Cuántos planes de fin de semana distintos puede formar?
El plan de fin de semana tiene dos etapas:
- Actividad del sábado: \(4\) opciones.
- Actividad del domingo: \(5\) opciones.
Por cada actividad elegida para el sábado, existen \(5\) actividades posibles para el domingo.
Entonces:
\[ 4\cdot 5=20 \]
Puede formar \(20\) planes de fin de semana distintos.
Ejercicio 7
Un estudiante debe responder 4 preguntas de selección múltiple. Cada pregunta tiene 5 alternativas. Si responde todas las preguntas, ¿de cuántas formas distintas puede marcar sus respuestas?
Cada pregunta tiene \(5\) alternativas.
Como son \(4\) preguntas, el número total de formas de responder es:
\[ 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5 \]
Esto se expresa como:
\[ 5^4=625 \]
El estudiante puede marcar sus respuestas de \(625\) formas distintas.
Ejercicio 8
Decide si corresponde aplicar el principio multiplicativo en la siguiente situación. Justifica tu respuesta.
Una persona elige una entrada entre 3 opciones, un plato de fondo entre 4 opciones y un postre entre 2 opciones.
Sí corresponde aplicar el principio multiplicativo, porque la persona debe realizar todas las elecciones:
- elige una entrada;
- elige un plato de fondo;
- elige un postre.
Como son etapas consecutivas del mismo proceso, se multiplican las opciones:
\[ 3\cdot 4\cdot 2=24 \]
Se pueden formar \(24\) menús distintos.
Para continuar
En la próxima página se estudiará el principio aditivo, que se usa cuando se cuentan alternativas separadas, es decir, cuando ocurre un caso u otro.