combinatoria y probabilidades
7. Permutaciones sin repetición
Objetivo de aprendizaje
- Comprender las permutaciones sin repetición como ordenamientos de todos los elementos disponibles.
- Reconocer que una permutación sin repetición es un caso particular de variación sin repetición.
- Aplicar la fórmula \(P(n)=n!\) para resolver problemas de ordenamiento.
Idea central
Una permutación sin repetición ocurre cuando se ordenan todos los elementos de un conjunto, usando cada elemento exactamente una vez.
En este caso:
- El orden importa.
- No se permite repetir elementos.
- Se usan todos los elementos disponibles.
Fórmula
Si se ordenan \(n\) elementos distintos, entonces la cantidad de permutaciones sin repetición es:
\[ P(n)=n! \]
Es decir:
\[ P(n)=n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdots 3\cdot 2\cdot 1 \]
Relación con las variaciones
Una permutación sin repetición es una variación sin repetición donde se eligen todos los elementos.
Como en una variación sin repetición:
\[ V(n,k)=\frac{n!}{(n-k)!} \]
si se usan todos los elementos, entonces \(k=n\):
\[ V(n,n)=\frac{n!}{(n-n)!}=\frac{n!}{0!}=n! \]
Por lo tanto:
\[ P(n)=V(n,n)=n! \]
Ejemplo 1: ordenar libros
Se tienen 5 libros distintos y se quieren ordenar en una repisa. ¿De cuántas formas distintas se pueden ordenar?
Como se ordenan todos los libros y no se repite ninguno, corresponde usar permutaciones sin repetición.
Hay \(5\) opciones para el primer lugar, \(4\) para el segundo, \(3\) para el tercero, \(2\) para el cuarto y \(1\) para el último.
\[ 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=5! \]
\[ 5!=120 \]
Los libros se pueden ordenar de \(120\) formas distintas.
Ejemplo 2: formar una fila
Cuatro estudiantes, Ana, Bruno, Camila y Diego, se deben ordenar en una fila. ¿Cuántas filas distintas se pueden formar?
Como los 4 estudiantes son distintos y todos deben ubicarse en la fila, se calcula:
\[ P(4)=4! \]
\[ 4!=4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=24 \]
Se pueden formar \(24\) filas distintas.
Por ejemplo, una fila puede ser:
\[ \text{Ana},\ \text{Bruno},\ \text{Camila},\ \text{Diego} \]
y otra distinta puede ser:
\[ \text{Bruno},\ \text{Ana},\ \text{Camila},\ \text{Diego} \]
Son diferentes porque el orden importa.
Error común
No se debe usar permutaciones si solo se elige una parte de los elementos.
Por ejemplo, si hay 8 estudiantes y se eligen 3 para cargos distintos, no corresponde calcular \(8!\), porque no se están usando los 8 estudiantes.
En ese caso corresponde una variación:
\[ V(8,3) \]
En cambio, si se ordenan los 8 estudiantes en una fila, entonces sí corresponde:
\[ P(8)=8! \]
Ejemplo 3: ordenar letras distintas
¿Cuántas palabras, con o sin sentido, se pueden formar ordenando todas las letras de la palabra \(SOL\)?
Las letras \(S\), \(O\) y \(L\) son distintas.
Como se usan todas y el orden importa:
\[ P(3)=3! \]
\[ 3!=3\cdot 2\cdot 1=6 \]
Las ordenaciones posibles son:
\[ SOL,\ SLO,\ OSL,\ OLS,\ LSO,\ LOS \]
Se pueden formar \(6\) ordenaciones distintas.
Ejemplo 4: ordenar personas en una mesa lineal
Seis personas se sentarán en una misma fila de asientos. ¿De cuántas formas distintas pueden ubicarse?
Como se ubican las 6 personas en posiciones distintas y se usan todas, corresponde calcular:
\[ P(6)=6! \]
\[ 6!=6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=720 \]
Las personas pueden ubicarse de \(720\) formas distintas.
Comparación entre variación y permutación
La diferencia principal está en cuántos elementos se usan.
| Situación | Tipo de conteo | Cálculo |
|---|---|---|
| Elegir y ordenar 3 libros de un total de 7. | Variación sin repetición | \(V(7,3)=7\cdot 6\cdot 5\) |
| Ordenar los 7 libros en una repisa. | Permutación sin repetición | \(P(7)=7!\) |
Ejemplo 5: ordenar canciones
Una lista de reproducción contiene 7 canciones distintas. ¿De cuántas formas se pueden ordenar todas las canciones?
Como se ordenan las 7 canciones y no se repite ninguna, se calcula:
\[ P(7)=7! \]
\[ 7!=7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=5040 \]
Las canciones se pueden ordenar de \(5040\) formas distintas.
Resumen del caso
| Pregunta | Respuesta en permutaciones sin repetición |
|---|---|
| ¿Importa el orden? | Sí. |
| ¿Se permite repetir elementos? | No. |
| ¿Se usan todos los elementos? | Sí. |
| Fórmula | \(P(n)=n!\) |
Ejercicio 1
¿De cuántas formas distintas se pueden ordenar 6 libros diferentes en una repisa?
Se ordenan los 6 libros distintos y se usan todos.
Por lo tanto, corresponde una permutación sin repetición:
\[ P(6)=6! \]
\[ 6!=6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=720 \]
Los libros se pueden ordenar de \(720\) formas distintas.
Ejercicio 2
Cinco estudiantes se ubicarán en una fila para una fotografía. ¿De cuántas formas distintas pueden ordenarse?
Los 5 estudiantes son distintos y todos serán ubicados en la fila.
Entonces:
\[ P(5)=5! \]
\[ 5!=5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=120 \]
Los estudiantes pueden ordenarse de \(120\) formas distintas.
Ejercicio 3
¿Cuántas ordenaciones distintas se pueden formar usando todas las letras de la palabra \(MAR\)?
La palabra \(MAR\) tiene 3 letras distintas.
Como se usan todas y el orden importa:
\[ P(3)=3! \]
\[ 3!=3\cdot 2\cdot 1=6 \]
Se pueden formar \(6\) ordenaciones distintas.
Ejercicio 4
Un grupo de 8 personas se sentará en una fila de 8 asientos. ¿De cuántas formas distintas pueden ubicarse?
Se ubican las 8 personas en 8 asientos, usando todas las personas.
Como el orden importa, corresponde calcular:
\[ P(8)=8! \]
\[ 8!=8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=40320 \]
Las personas pueden ubicarse de \(40320\) formas distintas.
Ejercicio 5
Una banda tocará 6 canciones distintas en un concierto. ¿De cuántas formas puede ordenar el repertorio si tocará todas las canciones?
La banda tocará las 6 canciones y debe decidir el orden.
Como se usan todas las canciones y el orden importa:
\[ P(6)=6! \]
\[ 6!=720 \]
El repertorio puede ordenarse de \(720\) formas distintas.
Ejercicio 6
Explica por qué ordenar 7 personas en una fila corresponde a una permutación y no a una variación con \(k<7\).
Corresponde a una permutación porque se usan las 7 personas disponibles.
En una variación con \(k<7\), se elegiría solo una parte de las personas.
Pero aquí todas deben ocupar un lugar en la fila. Como el orden importa y no se repite ninguna persona, se calcula:
\[ P(7)=7! \]
Por lo tanto, es una permutación sin repetición.
Ejercicio 7
Un estudiante dice que para ordenar 4 objetos distintos se debe calcular \(4^4\). Explica el error y calcula correctamente.
El error está en usar una expresión con repetición.
La expresión \(4^4\) indicaría que en cada una de las 4 posiciones se puede elegir cualquiera de los 4 objetos, permitiendo repetir.
Pero si se ordenan 4 objetos distintos, cada objeto se usa una sola vez.
Entonces corresponde calcular:
\[ P(4)=4! \]
\[ 4!=4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=24 \]
La cantidad correcta es \(24\) ordenamientos distintos.
Ejercicio 8
Una profesora tiene 9 pruebas distintas y quiere apilarlas en un orden determinado. ¿De cuántas formas distintas puede ordenar la pila?
Las 9 pruebas son distintas y todas serán ordenadas en una pila.
Como se usan todas y el orden importa:
\[ P(9)=9! \]
\[ 9!=9\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=362880 \]
La pila puede ordenarse de \(362880\) formas distintas.
Para continuar
En la próxima página se estudiarán las permutaciones con repetición, que se usan cuando se ordenan elementos donde algunos son iguales entre sí.