combinatoria y probabilidades
9. Combinaciones sin repetición
Objetivo de aprendizaje
- Comprender las combinaciones sin repetición como selecciones de elementos donde el orden no importa.
- Relacionar las combinaciones con las variaciones sin repetición, eliminando los ordenamientos repetidos.
- Aplicar la fórmula \(C(n,k)=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}\) en problemas de conteo.
Idea central
Una combinación sin repetición ocurre cuando se eligen \(k\) elementos de un total de \(n\), cumpliendo dos condiciones:
- El orden no importa.
- No se permite repetir elementos.
Este tipo de conteo aparece, por ejemplo, al elegir comités, grupos de trabajo, equipos o subconjuntos.
Relación con las variaciones
Una combinación puede entenderse como una variación donde luego se eliminan los ordenamientos repetidos.
En una variación sin repetición, primero se eligen \(k\) elementos y además se ordenan:
\[ V(n,k)=\frac{n!}{(n-k)!} \]
Pero si el orden no importa, cada grupo de \(k\) elementos fue contado \(k!\) veces.
Por eso:
\[ C(n,k)=\frac{V(n,k)}{k!} \]
Fórmula
Si se eligen \(k\) elementos de un total de \(n\), sin repetir y sin importar el orden, entonces:
\[ C(n,k)=\frac{n!}{k!(n-k)!} \]
También se escribe:
\[ \binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!} \]
Se lee: “combinaciones de \(n\) elementos tomados de \(k\) en \(k\)”.
Ejemplo 1: elegir un comité
En un curso hay 8 estudiantes y se quiere elegir un comité de 3 personas. No hay cargos distintos. ¿De cuántas formas se puede formar el comité?
Como solo se elige un grupo, el orden no importa.
Por ejemplo, elegir a:
\[ \text{Ana},\ \text{Bruno},\ \text{Camila} \]
es lo mismo que elegir a:
\[ \text{Camila},\ \text{Ana},\ \text{Bruno} \]
Por lo tanto, corresponde una combinación sin repetición:
\[ C(8,3)=\frac{8!}{3!(8-3)!} \]
\[ C(8,3)=\frac{8!}{3!5!} \]
Simplificamos:
\[ C(8,3)=\frac{8\cdot 7\cdot 6}{3\cdot 2\cdot 1} \]
\[ C(8,3)=\frac{336}{6}=56 \]
El comité puede formarse de \(56\) formas distintas.
Ejemplo 2: desde variaciones hacia combinaciones
Volvamos al caso de elegir 3 estudiantes entre 8.
Si el orden importara, contaríamos:
\[ V(8,3)=8\cdot 7\cdot 6=336 \]
Pero cada grupo de 3 estudiantes fue contado varias veces, porque se pueden ordenar internamente de:
\[ 3!=6 \]
formas distintas.
Entonces, para eliminar esas repeticiones:
\[ C(8,3)=\frac{V(8,3)}{3!} \]
\[ C(8,3)=\frac{336}{6}=56 \]
Así se obtiene la misma respuesta: \(56\) grupos distintos.
Error común
No se debe usar variaciones cuando el orden no importa.
Por ejemplo, si se eligen 3 personas para formar un grupo, no corresponde contar:
\[ V(8,3)=8\cdot 7\cdot 6 \]
porque eso distingue órdenes que representan el mismo grupo.
Lo correcto es dividir por las formas de ordenar internamente a las 3 personas:
\[ C(8,3)=\frac{V(8,3)}{3!} \]
Ejemplo 3: elegir libros
Una biblioteca tiene 10 libros distintos. Un estudiante debe elegir 4 para leer durante el mes, sin importar el orden en que los leerá. ¿De cuántas formas puede elegirlos?
Se eligen 4 libros de un total de 10.
Como el orden de elección no importa, corresponde calcular:
\[ C(10,4)=\frac{10!}{4!(10-4)!} \]
\[ C(10,4)=\frac{10!}{4!6!} \]
Simplificamos:
\[ C(10,4)=\frac{10\cdot 9\cdot 8\cdot 7}{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1} \]
\[ C(10,4)=\frac{5040}{24}=210 \]
El estudiante puede elegir los libros de \(210\) formas distintas.
Ejemplo 4: elegir preguntas
Una prueba tiene 12 preguntas, pero el estudiante debe responder solo 5. ¿De cuántas formas puede elegir las preguntas que responderá?
El orden no importa, porque solo interesa cuáles preguntas serán respondidas.
Entonces:
\[ C(12,5)=\frac{12!}{5!(12-5)!} \]
\[ C(12,5)=\frac{12!}{5!7!} \]
Simplificamos:
\[ C(12,5)=\frac{12\cdot 11\cdot 10\cdot 9\cdot 8}{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1} \]
\[ C(12,5)=\frac{95040}{120}=792 \]
El estudiante puede elegir las preguntas de \(792\) formas distintas.
Comparación entre variación y combinación
La diferencia principal está en si el orden importa o no.
| Situación | ¿Importa el orden? | Tipo de conteo | Cálculo |
|---|---|---|---|
| Elegir presidente, secretario y tesorero entre 8 estudiantes. | Sí | Variación sin repetición | \(V(8,3)=8\cdot 7\cdot 6\) |
| Elegir un grupo de 3 estudiantes entre 8, sin cargos. | No | Combinación sin repetición | \(C(8,3)=\dfrac{8\cdot 7\cdot 6}{3!}\) |
Ejemplo 5: seleccionar un equipo
De un grupo de 9 estudiantes se quiere seleccionar un equipo de 4 para una actividad. No hay cargos ni posiciones distintas. ¿Cuántos equipos se pueden formar?
Como solo importa quiénes integran el equipo, el orden no importa.
Entonces:
\[ C(9,4)=\frac{9!}{4!(9-4)!} \]
\[ C(9,4)=\frac{9!}{4!5!} \]
\[ C(9,4)=\frac{9\cdot 8\cdot 7\cdot 6}{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1} \]
\[ C(9,4)=\frac{3024}{24}=126 \]
Se pueden formar \(126\) equipos distintos.
Resumen del caso
| Pregunta | Respuesta en combinaciones sin repetición |
|---|---|
| ¿Importa el orden? | No. |
| ¿Se permite repetir elementos? | No. |
| ¿Se eligen todos los elementos necesariamente? | No necesariamente. |
| Fórmula | \(C(n,k)=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}\) |
Ejercicio 1
En un curso hay 7 estudiantes disponibles para formar un grupo de 2 representantes, sin cargos distintos. ¿De cuántas formas se puede formar el grupo?
Se eligen 2 estudiantes de un total de 7.
Como no hay cargos distintos, el orden no importa.
Entonces:
\[ C(7,2)=\frac{7!}{2!(7-2)!} \]
\[ C(7,2)=\frac{7!}{2!5!} \]
\[ C(7,2)=\frac{7\cdot 6}{2\cdot 1}=\frac{42}{2}=21 \]
El grupo puede formarse de \(21\) formas distintas.
Ejercicio 2
Una profesora debe elegir 3 estudiantes entre 10 para participar en una actividad. No hay cargos ni orden de participación. ¿Cuántos grupos distintos puede formar?
Se eligen 3 estudiantes de un total de 10.
El orden no importa, porque solo interesa quiénes forman el grupo.
Entonces:
\[ C(10,3)=\frac{10!}{3!(10-3)!} \]
\[ C(10,3)=\frac{10!}{3!7!} \]
\[ C(10,3)=\frac{10\cdot 9\cdot 8}{3\cdot 2\cdot 1} \]
\[ C(10,3)=\frac{720}{6}=120 \]
Puede formar \(120\) grupos distintos.
Ejercicio 3
De 12 libros distintos, una estudiante debe escoger 4 para llevar a su casa. ¿De cuántas formas puede escogerlos?
Se eligen 4 libros de un total de 12.
El orden no importa, porque solo interesa qué libros se lleva.
Entonces:
\[ C(12,4)=\frac{12!}{4!(12-4)!} \]
\[ C(12,4)=\frac{12!}{4!8!} \]
\[ C(12,4)=\frac{12\cdot 11\cdot 10\cdot 9}{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1} \]
\[ C(12,4)=\frac{11880}{24}=495 \]
Puede escoger los libros de \(495\) formas distintas.
Ejercicio 4
En una selección hay 15 jugadores disponibles. El entrenador debe elegir 5 para una actividad de entrenamiento, sin asignar posiciones. ¿Cuántos grupos puede formar?
Se eligen 5 jugadores de un total de 15.
Como no se asignan posiciones, el orden no importa.
Entonces:
\[ C(15,5)=\frac{15!}{5!(15-5)!} \]
\[ C(15,5)=\frac{15!}{5!10!} \]
\[ C(15,5)=\frac{15\cdot 14\cdot 13\cdot 12\cdot 11}{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1} \]
\[ C(15,5)=\frac{360360}{120}=3003 \]
El entrenador puede formar \(3003\) grupos distintos.
Ejercicio 5
Una prueba tiene 9 preguntas y el estudiante debe elegir 3 para responder. ¿De cuántas formas puede elegir las preguntas?
Se eligen 3 preguntas de un total de 9.
El orden no importa, porque solo interesa cuáles preguntas serán respondidas.
Entonces:
\[ C(9,3)=\frac{9!}{3!(9-3)!} \]
\[ C(9,3)=\frac{9!}{3!6!} \]
\[ C(9,3)=\frac{9\cdot 8\cdot 7}{3\cdot 2\cdot 1} \]
\[ C(9,3)=\frac{504}{6}=84 \]
Puede elegir las preguntas de \(84\) formas distintas.
Ejercicio 6
Un estudiante dice que para elegir un grupo de 3 personas entre 8 se debe calcular \(8\cdot 7\cdot 6\). Explica el error y calcula correctamente.
El cálculo \(8\cdot 7\cdot 6\) corresponde a una variación sin repetición, donde el orden importa.
Pero al formar un grupo, el orden no importa.
Por ejemplo, el grupo formado por Ana, Bruno y Camila es el mismo aunque se escriba en otro orden.
Entonces se debe dividir por las formas de ordenar internamente a las 3 personas:
\[ \frac{8\cdot 7\cdot 6}{3!} \]
\[ \frac{336}{6}=56 \]
La cantidad correcta es \(56\) grupos distintos.
Ejercicio 7
De un conjunto de 11 canciones, una persona quiere seleccionar 4 para una lista corta. No importa el orden de reproducción. ¿Cuántas selecciones distintas puede hacer?
Se eligen 4 canciones de un total de 11.
Como no importa el orden de reproducción, corresponde una combinación:
\[ C(11,4)=\frac{11!}{4!(11-4)!} \]
\[ C(11,4)=\frac{11!}{4!7!} \]
\[ C(11,4)=\frac{11\cdot 10\cdot 9\cdot 8}{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1} \]
\[ C(11,4)=\frac{7920}{24}=330 \]
Puede hacer \(330\) selecciones distintas.
Ejercicio 8
En una caja hay 6 tarjetas distintas numeradas del 1 al 6. Se extraen 2 tarjetas sin reposición y solo interesa qué tarjetas salieron, no el orden. ¿Cuántos resultados distintos son posibles?
Se eligen 2 tarjetas de un total de 6.
No hay reposición, por lo tanto no se repiten tarjetas.
Como solo interesa qué tarjetas salieron y no el orden, corresponde una combinación:
\[ C(6,2)=\frac{6!}{2!(6-2)!} \]
\[ C(6,2)=\frac{6!}{2!4!} \]
\[ C(6,2)=\frac{6\cdot 5}{2\cdot 1}=\frac{30}{2}=15 \]
Son posibles \(15\) resultados distintos.
Para continuar
En la próxima página se estudiarán las combinaciones con repetición, donde el orden no importa, pero sí se permite repetir elementos.