combinatoria y probabilidades
10. Combinaciones con repetición
Objetivo de aprendizaje
- Comprender las combinaciones con repetición como selecciones donde el orden no importa y se permite repetir elementos.
- Aplicar la fórmula \(CR(n,k)=C(n+k-1,k)\) en problemas de conteo.
- Distinguir combinaciones con repetición de variaciones con repetición y combinaciones sin repetición.
Idea central
Una combinación con repetición ocurre cuando se eligen \(k\) elementos de un total de \(n\) tipos disponibles, cumpliendo dos condiciones:
- El orden no importa.
- Se permite repetir elementos.
Este tipo de conteo aparece, por ejemplo, al elegir sabores de helado, tipos de dulces, colores repetidos o soluciones enteras no negativas de una suma.
Fórmula
Si se eligen \(k\) elementos entre \(n\) tipos disponibles, permitiendo repetir y sin importar el orden, entonces:
\[ CR(n,k)=C(n+k-1,k) \]
También puede escribirse como:
\[ CR(n,k)=C(n+k-1,n-1) \]
Ambas expresiones entregan el mismo resultado, porque:
\[ C(n+k-1,k)=C(n+k-1,n-1) \]
Interpretación
En una combinación con repetición no interesa el orden en que se escriben los elementos, sino cuántas veces aparece cada tipo.
Por ejemplo, si se eligen 3 helados entre los sabores chocolate, vainilla y frutilla, la selección:
\[ \text{chocolate, vainilla, chocolate} \]
representa lo mismo que:
\[ \text{chocolate, chocolate, vainilla} \]
En ambos casos se eligieron 2 de chocolate y 1 de vainilla.
Ejemplo 1: elegir helados
Una heladería ofrece 4 sabores de helado. Una persona comprará 3 porciones y puede repetir sabores. ¿De cuántas formas puede elegirlas si el orden no importa?
Hay \(n=4\) sabores disponibles y se eligen \(k=3\) porciones.
Como se permite repetir sabores y el orden no importa, corresponde una combinación con repetición:
\[ CR(4,3)=C(4+3-1,3) \]
\[ CR(4,3)=C(6,3) \]
Calculamos:
\[ C(6,3)=\frac{6!}{3!(6-3)!}=\frac{6!}{3!3!} \]
\[ C(6,3)=\frac{6\cdot 5\cdot 4}{3\cdot 2\cdot 1}=\frac{120}{6}=20 \]
Puede elegir las 3 porciones de \(20\) formas distintas.
Ejemplo 2: elegir dulces
En una tienda hay 3 tipos de dulces: gomitas, caramelos y chocolates. Una persona comprará 5 dulces, pudiendo repetir tipos. ¿De cuántas formas puede elegirlos?
Hay \(n=3\) tipos de dulces y se eligen \(k=5\) dulces.
El orden no importa, porque solo interesa cuántos dulces de cada tipo compra.
Entonces:
\[ CR(3,5)=C(3+5-1,5) \]
\[ CR(3,5)=C(7,5) \]
Calculamos:
\[ C(7,5)=C(7,2)=\frac{7\cdot 6}{2\cdot 1}=21 \]
Puede elegir los dulces de \(21\) formas distintas.
Error común
No se debe usar \(n^k\) cuando el orden no importa.
Por ejemplo, si se eligen 3 sabores de helado entre 4 sabores, permitiendo repetir, no corresponde calcular:
\[ 4^3 \]
Ese cálculo considera que el orden importa. En cambio, si solo interesa cuántas porciones de cada sabor se eligen, corresponde:
\[ CR(4,3)=C(6,3)=20 \]
Ejemplo 3: soluciones enteras no negativas
¿Cuántas soluciones enteras no negativas tiene la ecuación?
\[ x_1+x_2+x_3=5 \]
Esta situación se puede interpretar como repartir 5 unidades entre 3 variables, permitiendo que alguna variable reciba 0.
Corresponde a una combinación con repetición, donde:
- \(n=3\), porque hay 3 variables.
- \(k=5\), porque se reparten 5 unidades.
Entonces:
\[ CR(3,5)=C(3+5-1,5)=C(7,5) \]
\[ C(7,5)=C(7,2)=21 \]
La ecuación tiene \(21\) soluciones enteras no negativas.
Ejemplo 4: comprar donas
Una pastelería ofrece 4 tipos de donas. Una persona comprará 6 donas y puede repetir tipos. ¿De cuántas formas puede hacer la compra?
Hay \(n=4\) tipos disponibles y se eligen \(k=6\) donas.
Como el orden no importa y se permite repetir, calculamos:
\[ CR(4,6)=C(4+6-1,6) \]
\[ CR(4,6)=C(9,6) \]
Usamos la igualdad \(C(9,6)=C(9,3)\):
\[ C(9,3)=\frac{9\cdot 8\cdot 7}{3\cdot 2\cdot 1} \]
\[ C(9,3)=\frac{504}{6}=84 \]
Puede comprar las donas de \(84\) formas distintas.
Comparación con otros casos
La combinación con repetición se distingue por dos decisiones: el orden no importa y sí se permite repetir.
| Situación | ¿Importa el orden? | ¿Se repite? | Tipo de conteo |
|---|---|---|---|
| Clave de 3 letras usando 4 letras, con repetición. | Sí | Sí | Variación con repetición |
| Grupo de 3 personas entre 8, sin repetir. | No | No | Combinación sin repetición |
| Elegir 3 dulces entre 4 tipos, pudiendo repetir. | No | Sí | Combinación con repetición |
Ejemplo 5: elegir lápices de colores
Una persona elegirá 4 lápices entre 6 colores disponibles. Puede repetir colores y el orden no importa. ¿De cuántas formas puede elegirlos?
Hay \(n=6\) colores disponibles y se eligen \(k=4\) lápices.
Como se permite repetir y el orden no importa:
\[ CR(6,4)=C(6+4-1,4) \]
\[ CR(6,4)=C(9,4) \]
Calculamos:
\[ C(9,4)=\frac{9\cdot 8\cdot 7\cdot 6}{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1} \]
\[ C(9,4)=\frac{3024}{24}=126 \]
Puede elegir los lápices de \(126\) formas distintas.
Resumen del caso
| Pregunta | Respuesta en combinaciones con repetición |
|---|---|
| ¿Importa el orden? | No. |
| ¿Se permite repetir elementos? | Sí. |
| ¿Se eligen todos los tipos disponibles? | No necesariamente. |
| Fórmula | \(CR(n,k)=C(n+k-1,k)\) |
Ejercicio 1
Una tienda ofrece 5 modelos de stickers. Una estudiante comprará 3 stickers y puede repetir modelos. ¿De cuántas formas puede elegirlos si el orden no importa?
Hay \(n=5\) modelos disponibles y se eligen \(k=3\) stickers.
Como se permite repetir y el orden no importa, corresponde una combinación con repetición:
\[ CR(5,3)=C(5+3-1,3) \]
\[ CR(5,3)=C(7,3) \]
Calculamos:
\[ C(7,3)=\frac{7\cdot 6\cdot 5}{3\cdot 2\cdot 1}=\frac{210}{6}=35 \]
Puede elegir los stickers de \(35\) formas distintas.
Ejercicio 2
Una persona debe elegir 4 lápices entre 3 colores disponibles: rojo, azul y verde. Puede repetir colores y no importa el orden. ¿Cuántas selecciones distintas puede hacer?
Hay \(n=3\) colores disponibles y se eligen \(k=4\) lápices.
Entonces:
\[ CR(3,4)=C(3+4-1,4) \]
\[ CR(3,4)=C(6,4) \]
Como \(C(6,4)=C(6,2)\), calculamos:
\[ C(6,2)=\frac{6\cdot 5}{2\cdot 1}=15 \]
Puede hacer \(15\) selecciones distintas.
Ejercicio 3
Una heladería tiene 4 sabores. Una persona comprará 5 porciones y puede repetir sabores. Si el orden no importa, ¿de cuántas formas puede elegirlas?
Hay \(n=4\) sabores y se eligen \(k=5\) porciones.
Como se permite repetir y el orden no importa:
\[ CR(4,5)=C(4+5-1,5) \]
\[ CR(4,5)=C(8,5) \]
Usamos \(C(8,5)=C(8,3)\):
\[ C(8,3)=\frac{8\cdot 7\cdot 6}{3\cdot 2\cdot 1} \]
\[ C(8,3)=\frac{336}{6}=56 \]
Puede elegir las porciones de \(56\) formas distintas.
Ejercicio 4
¿Cuántas soluciones enteras no negativas tiene la ecuación?
\[ x_1+x_2+x_3+x_4=6 \]
La ecuación representa repartir \(6\) unidades entre \(4\) variables.
Por lo tanto:
- \(n=4\), porque hay 4 variables.
- \(k=6\), porque se reparten 6 unidades.
Aplicamos combinaciones con repetición:
\[ CR(4,6)=C(4+6-1,6) \]
\[ CR(4,6)=C(9,6) \]
Como \(C(9,6)=C(9,3)\):
\[ C(9,3)=\frac{9\cdot 8\cdot 7}{3\cdot 2\cdot 1} \]
\[ C(9,3)=84 \]
La ecuación tiene \(84\) soluciones enteras no negativas.
Ejercicio 5
Un estudiante dice que, para elegir 3 dulces entre 4 tipos permitiendo repetir, se debe calcular \(4^3\). Explica el error y calcula correctamente si el orden no importa.
El cálculo \(4^3\) corresponde a una variación con repetición, donde el orden sí importa.
Pero en este problema solo interesa cuántos dulces de cada tipo se eligen, no el orden.
Por eso corresponde una combinación con repetición:
\[ CR(4,3)=C(4+3-1,3) \]
\[ CR(4,3)=C(6,3) \]
\[ C(6,3)=\frac{6\cdot 5\cdot 4}{3\cdot 2\cdot 1}=20 \]
La cantidad correcta es \(20\) selecciones distintas.
Ejercicio 6
Una panadería ofrece 6 tipos de panes. Una persona comprará 4 panes, pudiendo repetir tipos. ¿De cuántas formas puede comprar si el orden no importa?
Hay \(n=6\) tipos de panes y se eligen \(k=4\).
Como se permite repetir y el orden no importa:
\[ CR(6,4)=C(6+4-1,4) \]
\[ CR(6,4)=C(9,4) \]
Calculamos:
\[ C(9,4)=\frac{9\cdot 8\cdot 7\cdot 6}{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1} \]
\[ C(9,4)=\frac{3024}{24}=126 \]
Puede comprar de \(126\) formas distintas.
Ejercicio 7
Una persona quiere elegir 6 frutas entre 5 tipos disponibles. Puede repetir tipos de fruta y no importa el orden. ¿Cuántas selecciones distintas puede hacer?
Hay \(n=5\) tipos de fruta y se eligen \(k=6\) frutas.
Entonces:
\[ CR(5,6)=C(5+6-1,6) \]
\[ CR(5,6)=C(10,6) \]
Usamos \(C(10,6)=C(10,4)\):
\[ C(10,4)=\frac{10\cdot 9\cdot 8\cdot 7}{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1} \]
\[ C(10,4)=\frac{5040}{24}=210 \]
Puede hacer \(210\) selecciones distintas.
Ejercicio 8
Decide si corresponde combinación sin repetición o combinación con repetición. Luego resuelve.
Una persona elegirá 3 bebidas entre 7 tipos disponibles. Puede elegir más de una bebida del mismo tipo y el orden no importa.
Corresponde una combinación con repetición porque:
- el orden no importa;
- se permite repetir el tipo de bebida.
Hay \(n=7\) tipos de bebida y se eligen \(k=3\):
\[ CR(7,3)=C(7+3-1,3) \]
\[ CR(7,3)=C(9,3) \]
\[ C(9,3)=\frac{9\cdot 8\cdot 7}{3\cdot 2\cdot 1}=\frac{504}{6}=84 \]
Puede elegir las bebidas de \(84\) formas distintas.
Para continuar
En la próxima página se construirá una tabla de decisión para reconocer qué técnica de conteo corresponde usar en cada situación.