combinatoria y probabilidades
11. Tabla de decisión: ¿qué fórmula uso?
Objetivo de aprendizaje
- Seleccionar la técnica de conteo adecuada según el orden, la repetición y la cantidad de elementos utilizados.
- Distinguir entre variaciones, permutaciones y combinaciones en problemas de conteo.
- Justificar la elección de una fórmula antes de realizar el cálculo.
Idea central
Antes de aplicar una fórmula de combinatoria, conviene interpretar la situación. La pregunta principal no es “¿qué números aparecen?”, sino “¿qué se está haciendo con esos elementos?”.
Para decidir correctamente, usaremos tres preguntas:
- ¿Importa el orden?
- ¿Se permite repetir elementos?
- ¿Se usan todos los elementos o solo algunos?
Tabla de decisión
| Situación | ¿Importa el orden? | ¿Hay repetición? | ¿Se usan todos? | Técnica | Fórmula |
|---|---|---|---|---|---|
| Clave o código con repetición permitida | Sí | Sí | No necesariamente | Variación con repetición | \(VR(n,k)=n^k\) |
| Podio, cargos o código sin repetir | Sí | No | No necesariamente | Variación sin repetición | \(V(n,k)=\dfrac{n!}{(n-k)!}\) |
| Ordenar todos los elementos distintos | Sí | No | Sí | Permutación sin repetición | \(P(n)=n!\) |
| Ordenar todos los elementos, pero algunos son iguales | Sí | Sí, como elementos indistinguibles | Sí | Permutación con repetición | \(P=\dfrac{n!}{a!b!c!\cdots}\) |
| Elegir un grupo sin repetir | No | No | No necesariamente | Combinación sin repetición | \(C(n,k)=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}\) |
| Elegir elementos permitiendo repetir, sin importar el orden | No | Sí | No necesariamente | Combinación con repetición | \(CR(n,k)=C(n+k-1,k)\) |
Preguntas para decidir
- Si cambiar el orden produce un resultado distinto, entonces el orden importa.
- Si un elemento puede volver a usarse, entonces hay repetición.
- Si se ordenan todos los elementos disponibles, puede tratarse de una permutación.
- Si solo se elige un grupo y el orden no cambia el resultado, se trata de una combinación.
Ejemplo 1: clave con repetición
Una clave tiene 4 dígitos. Cada dígito puede ser \(0,1,2,\ldots,9\), y se permite repetir. ¿Cuántas claves distintas se pueden formar?
Analizamos:
- El orden importa, porque \(1234\neq 4321\).
- Se permite repetir dígitos.
- Hay \(10\) opciones para cada una de las \(4\) posiciones.
Corresponde una variación con repetición:
\[ VR(10,4)=10^4 \]
\[ 10^4=10000 \]
Se pueden formar \(10000\) claves distintas.
Ejemplo 2: cargos distintos
Un curso debe elegir presidente, secretario y tesorero entre 9 estudiantes. Una persona no puede tener más de un cargo. ¿De cuántas formas se pueden asignar los cargos?
Analizamos:
- El orden importa, porque los cargos son distintos.
- No se permite repetir, porque una persona no puede ocupar dos cargos.
- Se eligen \(3\) estudiantes de un total de \(9\).
Corresponde una variación sin repetición:
\[ V(9,3)=\frac{9!}{(9-3)!}=\frac{9!}{6!} \]
\[ V(9,3)=9\cdot 8\cdot 7=504 \]
Los cargos se pueden asignar de \(504\) formas distintas.
Ejemplo 3: ordenar todos los elementos
Se quieren ordenar 6 libros distintos en una repisa. ¿De cuántas formas se puede hacer?
Analizamos:
- El orden importa, porque cambiar el orden de los libros produce una repisa diferente.
- No se repiten libros.
- Se usan todos los libros disponibles.
Corresponde una permutación sin repetición:
\[ P(6)=6! \]
\[ 6!=720 \]
Los libros se pueden ordenar de \(720\) formas distintas.
Ejemplo 4: formar un grupo
De un curso de 12 estudiantes se quiere elegir un grupo de 4 para una actividad. No hay cargos ni funciones distintas. ¿Cuántos grupos se pueden formar?
Analizamos:
- El orden no importa, porque solo interesa quiénes forman el grupo.
- No se repiten estudiantes.
- Se eligen \(4\) de un total de \(12\).
Corresponde una combinación sin repetición:
\[ C(12,4)=\frac{12!}{4!(12-4)!} \]
\[ C(12,4)=\frac{12\cdot 11\cdot 10\cdot 9}{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1} \]
\[ C(12,4)=\frac{11880}{24}=495 \]
Se pueden formar \(495\) grupos distintos.
Ejemplo 5: elegir con repetición, sin orden
Una heladería ofrece 5 sabores. Una persona comprará 3 porciones y puede repetir sabores. El orden no importa. ¿De cuántas formas puede elegirlas?
Analizamos:
- El orden no importa, porque solo interesa cuántas porciones de cada sabor se eligen.
- Se permite repetir sabores.
- Se eligen \(3\) porciones entre \(5\) sabores disponibles.
Corresponde una combinación con repetición:
\[ CR(5,3)=C(5+3-1,3) \]
\[ CR(5,3)=C(7,3) \]
\[ C(7,3)=\frac{7\cdot 6\cdot 5}{3\cdot 2\cdot 1}=35 \]
Puede elegir las porciones de \(35\) formas distintas.
Error común
Un error frecuente es decidir solo mirando si aparece la palabra “elegir”.
No toda elección es una combinación. Si se eligen personas para cargos distintos, el orden importa y corresponde una variación. Si se elige un grupo sin cargos, el orden no importa y corresponde una combinación.
Ejemplo 6: comparar dos problemas parecidos
Compara estas dos situaciones:
| Problema | Decisión | Cálculo |
|---|---|---|
| Elegir presidente, secretario y tesorero entre 8 estudiantes. | Importa el orden, porque los cargos son distintos. | \(V(8,3)=8\cdot 7\cdot 6=336\) |
| Elegir un grupo de 3 estudiantes entre 8, sin cargos. | No importa el orden, porque solo se forma un grupo. | \(C(8,3)=\dfrac{8\cdot 7\cdot 6}{3!}=56\) |
Los números son los mismos, pero la interpretación cambia la técnica de conteo.
Resumen rápido
| Pregunta principal | Respuesta | Camino probable |
|---|---|---|
| ¿Es una clave, código, podio o cargo? | El orden suele importar. | Variación o permutación. |
| ¿Es un grupo, comité o selección sin cargos? | El orden no importa. | Combinación. |
| ¿Se usan todos los elementos? | Puede ser permutación. | \(P(n)=n!\) o \(\dfrac{n!}{a!b!\cdots}\). |
| ¿Se permite repetir? | La fórmula cambia. | Usar versión con repetición. |
Ejercicio 1
Una clave se forma con 5 letras elegidas entre \(A\), \(B\), \(C\), \(D\), \(E\) y \(F\). Se permite repetir letras. Decide qué técnica corresponde y calcula la cantidad de claves posibles.
El orden importa porque se trata de una clave. Por ejemplo, \(ABCDE\) y \(EDCBA\) son claves distintas.
Se permite repetir letras, por lo tanto corresponde una variación con repetición.
Hay \(n=6\) letras disponibles y \(k=5\) posiciones:
\[ VR(6,5)=6^5 \]
\[ 6^5=7776 \]
Se pueden formar \(7776\) claves distintas.
Ejercicio 2
En una competencia participan 10 estudiantes. Se entregarán medallas de oro, plata y bronce. Decide qué técnica corresponde y calcula la cantidad de formas de repartir las medallas.
El orden importa porque las medallas son distintas.
No se permite repetir, porque un estudiante no puede recibir dos medallas en el mismo podio.
Se eligen \(3\) estudiantes de un total de \(10\), con orden. Corresponde una variación sin repetición:
\[ V(10,3)=\frac{10!}{(10-3)!}=\frac{10!}{7!} \]
\[ V(10,3)=10\cdot 9\cdot 8=720 \]
Las medallas se pueden repartir de \(720\) formas distintas.
Ejercicio 3
¿Cuántas ordenaciones distintas se pueden formar con todas las letras de la palabra \(LUNA\)? Decide qué técnica corresponde.
Se usan todas las letras y todas son distintas.
El orden importa porque se forman ordenaciones diferentes.
Corresponde una permutación sin repetición:
\[ P(4)=4! \]
\[ 4!=4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=24 \]
Se pueden formar \(24\) ordenaciones distintas.
Ejercicio 4
¿Cuántas ordenaciones distintas se pueden formar con todas las letras de la palabra \(ROTOR\)? Decide qué técnica corresponde.
Se usan todas las letras, pero hay letras repetidas.
La palabra \(ROTOR\) tiene \(5\) letras:
- \(R\) aparece \(2\) veces.
- \(O\) aparece \(2\) veces.
- \(T\) aparece \(1\) vez.
Corresponde una permutación con repetición:
\[ P=\frac{5!}{2!2!} \]
\[ P=\frac{120}{2\cdot 2}=30 \]
Se pueden formar \(30\) ordenaciones distintas.
Ejercicio 5
De 14 estudiantes se debe elegir un grupo de 4 para representar al curso. No hay cargos distintos. Decide qué técnica corresponde y calcula la cantidad de grupos posibles.
El orden no importa, porque solo se forma un grupo.
No se repiten estudiantes.
Corresponde una combinación sin repetición:
\[ C(14,4)=\frac{14!}{4!(14-4)!} \]
\[ C(14,4)=\frac{14\cdot 13\cdot 12\cdot 11}{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1} \]
\[ C(14,4)=\frac{24024}{24}=1001 \]
Se pueden formar \(1001\) grupos distintos.
Ejercicio 6
Una persona elegirá 4 chocolates entre 6 tipos disponibles. Puede repetir tipos y el orden no importa. Decide qué técnica corresponde y calcula la cantidad de selecciones posibles.
El orden no importa, porque solo interesa cuántos chocolates de cada tipo se eligen.
Se permite repetir tipos.
Corresponde una combinación con repetición:
\[ CR(6,4)=C(6+4-1,4) \]
\[ CR(6,4)=C(9,4) \]
\[ C(9,4)=\frac{9\cdot 8\cdot 7\cdot 6}{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1} \]
\[ C(9,4)=126 \]
Puede hacer \(126\) selecciones distintas.
Ejercicio 7
Una biblioteca tiene 9 libros distintos. Se quieren escoger 3 y ordenarlos en una vitrina. Decide qué técnica corresponde y calcula la cantidad de formas posibles.
Se escogen 3 libros de un total de 9 y se ordenan en una vitrina.
El orden importa, porque cambiar el orden en la vitrina produce una disposición distinta.
No se repiten libros.
Corresponde una variación sin repetición:
\[ V(9,3)=\frac{9!}{(9-3)!}=\frac{9!}{6!} \]
\[ V(9,3)=9\cdot 8\cdot 7=504 \]
Se puede hacer de \(504\) formas distintas.
Ejercicio 8
Un estudiante debe responder 6 preguntas de selección múltiple. Cada pregunta tiene 4 alternativas. Decide qué técnica corresponde y calcula de cuántas formas puede responder la prueba completa.
Cada pregunta corresponde a una posición de la respuesta.
El orden importa, porque responder \(A,B,C,D,A,B\) no es lo mismo que responder \(B,A,C,D,A,B\).
Se permite repetir alternativas, porque una misma alternativa puede marcarse en más de una pregunta.
Corresponde una variación con repetición:
\[ VR(4,6)=4^6 \]
\[ 4^6=4096 \]
Puede responder la prueba de \(4096\) formas distintas.
Para continuar
En la próxima página se resolverán problemas mixtos guiados, combinando distintas técnicas de conteo según el contexto.