Variable aleatoria y distribución de probabilidad
1. Cuando el azar se transforma en número
Objetivo de aprendizaje
- Comprender que algunos resultados de experimentos aleatorios pueden transformarse en valores numéricos.
- Reconocer que una variable aleatoria permite estudiar cómo se comporta una cantidad que depende del azar.
Del resultado aleatorio al valor numérico
En probabilidad, muchas veces comenzamos estudiando eventos: que salga cara, que salga un número par, que una persona responda “sí” o que un estudiante apruebe.
Pero en muchos problemas no basta con saber qué evento ocurrió. También interesa asociar un número al resultado del experimento.
Por ejemplo, si se lanzan dos monedas, podemos contar cuántas caras aparecen. Esa cantidad depende del azar, pero siempre toma un valor numérico.
Idea central
Ya no solo calculamos la probabilidad de un evento. Ahora estudiaremos cómo se comporta una variable que depende del azar.
Por ejemplo, si \(X\) representa la cantidad de caras al lanzar dos monedas, entonces \(X\) puede tomar los valores:
\[ 0,\ 1,\ 2 \]
Ejemplo 1: lanzar dos monedas
Consideremos el experimento aleatorio de lanzar dos monedas.
Los resultados posibles son:
| Resultado | Cantidad de caras | Valor de \(X\) |
|---|---|---|
| Sello, sello | 0 caras | \(X=0\) |
| Cara, sello | 1 cara | \(X=1\) |
| Sello, cara | 1 cara | \(X=1\) |
| Cara, cara | 2 caras | \(X=2\) |
En este caso, el azar produce resultados como “cara, sello” o “sello, cara”, pero la variable \(X\) transforma esos resultados en números.
El siguiente gráfico muestra cuántas veces aparece cada valor de \(X\) dentro de los resultados posibles:
El valor \(X=1\) aparece en dos resultados posibles, mientras que \(X=0\) y \(X=2\) aparecen en un resultado cada uno.
Ejemplo 2: lanzar un dado
Al lanzar un dado, podemos definir una cantidad que dependa del resultado.
Por ejemplo, sea \(Y\) la cantidad de puntos obtenidos en el dado.
Entonces los posibles valores de \(Y\) son:
\[ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6 \]
En este caso, el resultado del experimento ya es numérico, por lo que la variable \(Y\) coincide con el número obtenido en el dado.
Ejemplo 3: transformar respuestas en números
Una encuesta pregunta a una persona si recicla en su hogar. Las respuestas posibles son “sí” o “no”.
Aunque las respuestas no son números, podemos definir una variable \(Z\) así:
| Respuesta | Valor de \(Z\) |
|---|---|
| Sí recicla | \(Z=1\) |
| No recicla | \(Z=0\) |
Así, una respuesta cualitativa se transforma en un valor numérico que puede estudiarse con herramientas de probabilidad.
Error frecuente
No toda etiqueta numérica representa una cantidad con sentido matemático.
Por ejemplo, si se codifica “rojo” como \(1\), “azul” como \(2\) y “verde” como \(3\), esos números sirven como códigos, pero no significa que “verde” sea mayor que “azul” en sentido matemático.
Idea clave
Una variable aleatoria conecta dos ideas: el azar y los números.
Primero ocurre un resultado aleatorio; luego una regla asigna un número a ese resultado.
Ejercicios progresivos a desafiantes
Ejercicio 1: identificar el número asociado
Se lanza una moneda tres veces y se define \(X\) como la cantidad de caras obtenidas.
Si el resultado es:
\[ \text{Cara, sello, cara} \]
¿Cuál es el valor de \(X\)?
La variable \(X\) representa la cantidad de caras obtenidas.
En el resultado “cara, sello, cara” aparecen dos caras.
Por lo tanto:
\[ X=2 \]
El valor de la variable es \(X=2\).
Ejercicio 2: definir una variable numérica
Se lanza un dado y se observa si el resultado es par o impar.
Define una variable \(X\) que tome el valor \(1\) si el resultado es par y \(0\) si el resultado es impar.
Completa los valores de \(X\) para los resultados posibles del dado.
Los resultados posibles del dado son:
\[ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6 \]
Los números pares son \(2,\ 4,\ 6\), por lo tanto en esos casos \(X=1\).
Los números impares son \(1,\ 3,\ 5\), por lo tanto en esos casos \(X=0\).
| Resultado del dado | Valor de \(X\) |
|---|---|
| \(1\) | \(0\) |
| \(2\) | \(1\) |
| \(3\) | \(0\) |
| \(4\) | \(1\) |
| \(5\) | \(0\) |
| \(6\) | \(1\) |
La variable vale \(1\) para resultados pares y \(0\) para resultados impares.
Ejercicio 3: resultados distintos con el mismo valor
Se lanzan dos monedas y se define \(X\) como la cantidad de caras obtenidas.
Escribe dos resultados distintos del experimento que produzcan el mismo valor \(X=1\).
Para que \(X=1\), debe aparecer exactamente una cara en los dos lanzamientos.
Esto puede ocurrir de dos formas:
- Cara, sello
- Sello, cara
Son resultados distintos, pero ambos tienen una sola cara.
Dos resultados posibles son “cara, sello” y “sello, cara”.
Ejercicio 4: construir una regla
Una caja contiene tarjetas con las letras A, B, C y D. Se extrae una tarjeta al azar.
Define una variable \(X\) que transforme el resultado en un número, asignando:
- \(X=1\) si sale una vocal,
- \(X=0\) si sale una consonante.
Indica el valor de \(X\) para cada letra.
Entre las letras A, B, C y D, la única vocal es A.
Por lo tanto, si sale A, la variable toma el valor \(1\).
Las letras B, C y D son consonantes, por lo que en esos casos la variable toma el valor \(0\).
| Letra extraída | Valor de \(X\) |
|---|---|
| A | \(1\) |
| B | \(0\) |
| C | \(0\) |
| D | \(0\) |
La variable vale \(1\) para A y \(0\) para B, C y D.
Ejercicio 5: caso desafiante
Se lanzan dos dados y se define \(S\) como la suma de los puntos obtenidos.
- Indica el menor valor posible de \(S\).
- Indica el mayor valor posible de \(S\).
- Explica por qué \(S\) depende del azar, aunque siempre sea un número.
El menor resultado posible en cada dado es \(1\). Por lo tanto, la menor suma ocurre cuando ambos dados muestran \(1\):
\[ S=1+1=2 \]
El mayor resultado posible en cada dado es \(6\). Por lo tanto, la mayor suma ocurre cuando ambos dados muestran \(6\):
\[ S=6+6=12 \]
La variable \(S\) depende del azar porque no sabemos de antemano qué número saldrá en cada dado.
Sin embargo, una vez lanzados los dados, la suma siempre se puede expresar como un número.
El menor valor es \(2\), el mayor valor es \(12\), y \(S\) es numérica pero depende del resultado aleatorio.