Variable aleatoria y distribución de probabilidad
2. Variable aleatoria
Objetivo de aprendizaje
- Comprender que una variable aleatoria asigna un valor numérico a cada resultado de un experimento aleatorio.
- Representar variables aleatorias usando una regla clara y una notación adecuada.
Definición
Una variable aleatoria es una regla que asigna un número a cada resultado posible de un experimento aleatorio.
Generalmente se representa con una letra mayúscula, como \(X\), \(Y\) o \(Z\).
Por ejemplo, si \(X\) representa la cantidad de caras al lanzar dos monedas, entonces \(X\) es una variable aleatoria.
Cómo funciona una variable aleatoria
Primero ocurre un experimento aleatorio. Luego se observa el resultado. Finalmente, una regla transforma ese resultado en un número.
Idea clave
La variable aleatoria no es el experimento completo, sino la cantidad numérica que se obtiene a partir de sus resultados.
Por eso, antes de calcular probabilidades, es fundamental definir con precisión qué representa la variable.
Ejemplo 1: cantidad de caras
Se lanzan tres monedas y se define \(X\) como la cantidad de caras obtenidas.
Algunos resultados posibles son:
| Resultado | Valor de \(X\) |
|---|---|
| Cara, cara, cara | \(X=3\) |
| Cara, sello, cara | \(X=2\) |
| Sello, sello, cara | \(X=1\) |
| Sello, sello, sello | \(X=0\) |
Los valores posibles de la variable son:
\[ X=0,\ 1,\ 2,\ 3 \]
Ejemplo 2: ganar o no ganar
En una rifa, una persona compra un número. Puede ganar un premio o no ganar nada.
Se define la variable aleatoria \(Y\) como el dinero ganado.
| Resultado | Valor de \(Y\) |
|---|---|
| Gana el premio | \(Y=10\,000\) |
| No gana el premio | \(Y=0\) |
En este caso, \(Y\) no describe el resultado con palabras, sino el monto de dinero asociado al resultado.
Ejemplo 3: número de respuestas correctas
Un mini cuestionario tiene \(4\) preguntas de verdadero o falso.
Se define \(Z\) como la cantidad de respuestas correctas.
Entonces los valores posibles de \(Z\) son:
\[ 0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4 \]
La variable \(Z\) depende del azar si las respuestas se eligen al azar, pero siempre se expresa como un número.
Error frecuente
No basta con escribir una letra como \(X\). Siempre hay que definir qué representa.
Por ejemplo, decir “sea \(X\)” está incompleto. En cambio, decir “sea \(X\) la cantidad de caras obtenidas al lanzar tres monedas” define claramente la variable aleatoria.
Ejercicios progresivos a desafiantes
Ejercicio 1: reconocer la variable
Se lanza un dado y se define \(X\) como el número obtenido.
Si el dado muestra \(5\), ¿cuál es el valor de \(X\)?
La variable \(X\) representa el número obtenido al lanzar el dado.
Si el dado muestra \(5\), entonces el valor de la variable es:
\[ X=5 \]
El valor de la variable es \(X=5\).
Ejercicio 2: definir valores posibles
Se lanzan dos monedas y se define \(X\) como la cantidad de sellos obtenidos.
Indica todos los valores posibles de \(X\).
Al lanzar dos monedas, la cantidad de sellos puede ser:
- \(0\), si no aparece ningún sello.
- \(1\), si aparece exactamente un sello.
- \(2\), si aparecen dos sellos.
Por lo tanto, los valores posibles de \(X\) son:
\[ 0,\ 1,\ 2 \]
Los valores posibles son \(X=0,\ 1,\ 2\).
Ejercicio 3: completar una regla
Se lanza un dado y se define \(Y\) de la siguiente forma:
- \(Y=1\) si el resultado es mayor que \(4\),
- \(Y=0\) si el resultado no es mayor que \(4\).
Indica el valor de \(Y\) para cada resultado posible del dado.
Los resultados mayores que \(4\) son \(5\) y \(6\), por lo tanto para esos resultados \(Y=1\).
Los resultados \(1,\ 2,\ 3,\ 4\) no son mayores que \(4\), por lo tanto en esos casos \(Y=0\).
| Resultado del dado | Valor de \(Y\) |
|---|---|
| \(1\) | \(0\) |
| \(2\) | \(0\) |
| \(3\) | \(0\) |
| \(4\) | \(0\) |
| \(5\) | \(1\) |
| \(6\) | \(1\) |
\(Y=1\) para \(5\) y \(6\); \(Y=0\) para \(1,\ 2,\ 3,\ 4\).
Ejercicio 4: escribir una variable aleatoria
Una bolsa contiene fichas rojas, azules y verdes. Se extrae una ficha al azar.
Define una variable aleatoria que permita estudiar si la ficha extraída es roja.
Una forma adecuada es definir una variable \(X\) que tome dos valores:
- \(X=1\) si la ficha extraída es roja.
- \(X=0\) si la ficha extraída no es roja.
Así, la variable transforma el resultado de color en un número.
Esta definición permite estudiar la probabilidad de extraer una ficha roja usando una variable numérica.
Una variable posible es \(X=1\) si sale roja y \(X=0\) si no sale roja.
Ejercicio 5: distinguir resultado y variable
Se lanzan dos dados y se define \(S\) como la suma de los puntos obtenidos.
Un estudiante dice: “El resultado del experimento y el valor de \(S\) son exactamente lo mismo”.
¿Tiene razón? Justifica.
No tiene razón.
El resultado del experimento indica qué número salió en cada dado. Por ejemplo, un resultado puede ser:
\[ (2,5) \]
En cambio, \(S\) es la suma de esos números:
\[ S=2+5=7 \]
Además, distintos resultados pueden producir el mismo valor de \(S\). Por ejemplo, \((3,4)\), \((4,3)\), \((2,5)\) y \((5,2)\) producen \(S=7\).
El resultado del experimento y el valor de la variable no siempre son lo mismo.
Ejercicio 6: caso desafiante
Un juego consiste en lanzar una moneda dos veces. Se gana \(\$500\) por cada cara obtenida y no se gana dinero por los sellos.
Define una variable aleatoria \(G\) que represente la ganancia total del juego. Luego indica sus valores posibles.
La variable \(G\) puede definirse como la ganancia total obtenida al lanzar dos monedas.
Si no aparece ninguna cara, la ganancia es:
\[ G=0 \]
Si aparece una cara, se gana:
\[ G=500 \]
Si aparecen dos caras, se gana:
\[ G=1\,000 \]
Por lo tanto, los valores posibles de \(G\) son:
\[ 0,\ 500,\ 1\,000 \]
La variable \(G\) representa la ganancia total y puede tomar los valores \(0,\ 500,\ 1\,000\).