Variable aleatoria y distribución de probabilidad
3. Variable aleatoria discreta
Objetivo de aprendizaje
- Comprender qué caracteriza a una variable aleatoria discreta.
- Identificar los valores posibles de una variable aleatoria discreta en experimentos aleatorios simples.
Definición
Una variable aleatoria discreta es una variable aleatoria que puede tomar valores separados y contables.
Sus valores posibles pueden ser finitos, como \(0,\ 1,\ 2,\ 3\), o infinitos contables, como \(0,\ 1,\ 2,\ 3,\ldots\).
¿Qué significa “discreta”?
Una variable es discreta cuando sus valores no forman una escala continua, sino que aparecen como valores aislados.
Generalmente, una variable aleatoria discreta cuenta algo: cantidad de caras, cantidad de respuestas correctas, cantidad de productos defectuosos o cantidad de intentos.
Idea clave
Si la variable cuenta cuántas veces ocurre algo, normalmente es discreta.
Por ejemplo, no tiene sentido obtener \(2{,}5\) caras al lanzar monedas. Se pueden obtener \(0\), \(1\), \(2\), etc., pero no valores intermedios.
Ejemplo 1: cantidad de caras al lanzar tres monedas
Se lanzan tres monedas y se define \(X\) como la cantidad de caras obtenidas.
Los valores posibles de \(X\) son:
\[ 0,\ 1,\ 2,\ 3 \]
No se puede obtener \(1{,}5\) caras ni \(2{,}7\) caras. Por eso, \(X\) es una variable aleatoria discreta.
| Valor de \(X\) | Significado |
|---|---|
| \(0\) | No aparece ninguna cara |
| \(1\) | Aparece exactamente una cara |
| \(2\) | Aparecen exactamente dos caras |
| \(3\) | Aparecen tres caras |
El siguiente gráfico muestra cuántos resultados posibles producen cada valor de \(X\):
Los valores de \(X\) son separados y contables, por lo tanto \(X\) es discreta.
Ejemplo 2: número de respuestas correctas
Un estudiante responde al azar un cuestionario de \(5\) preguntas de verdadero o falso.
Se define \(Y\) como la cantidad de respuestas correctas.
Los valores posibles de \(Y\) son:
\[ 0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5 \]
Como \(Y\) cuenta respuestas correctas, solo puede tomar valores enteros. Por eso, \(Y\) es una variable aleatoria discreta.
Ejemplo 3: variable que no es discreta
Se elige al azar un estudiante y se mide el tiempo que tarda en llegar al colegio.
Si \(T\) representa el tiempo en minutos, podría tomar valores como:
\[ 12,\quad 12{,}5,\quad 12{,}73,\quad 13{,}1 \]
El tiempo puede tomar muchos valores intermedios, dependiendo de la precisión con que se mida.
Por eso, \(T\) no es una variable aleatoria discreta. Más adelante se estudiarán variables de este tipo con otros modelos.
Error frecuente
No toda variable numérica es discreta.
Si la variable mide una magnitud continua, como tiempo, masa, estatura o temperatura, no se considera discreta en este contexto.
Ejercicios progresivos a desafiantes
Ejercicio 1: reconocer valores posibles
Se lanza una moneda \(4\) veces y se define \(X\) como la cantidad de caras obtenidas.
Indica todos los valores posibles de \(X\).
La variable \(X\) cuenta la cantidad de caras obtenidas en \(4\) lanzamientos.
La menor cantidad posible de caras es \(0\), cuando no aparece ninguna cara.
La mayor cantidad posible de caras es \(4\), cuando las cuatro monedas muestran cara.
Por lo tanto, los valores posibles son:
\[ 0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4 \]
Los valores posibles son \(X=0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4\).
Ejercicio 2: decidir si es discreta
Se lanza un dado y se define \(Y\) como el número obtenido.
¿\(Y\) es una variable aleatoria discreta? Justifica.
Sí, \(Y\) es una variable aleatoria discreta.
Sus valores posibles son:
\[ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6 \]
Estos valores son separados y contables. No se puede obtener \(3{,}5\) como resultado del dado.
\(Y\) es discreta porque toma valores enteros separados.
Ejercicio 3: clasificar variables
Clasifica cada variable como discreta o no discreta. Justifica brevemente.
- \(A\): cantidad de estudiantes ausentes en un curso un día lunes.
- \(B\): tiempo que tarda un estudiante en resolver una guía.
- \(C\): cantidad de productos defectuosos en una caja.
\(A\) es discreta, porque cuenta estudiantes ausentes. Sus valores son enteros como \(0,\ 1,\ 2,\ldots\).
\(B\) no es discreta, porque mide tiempo. El tiempo puede tomar valores intermedios, como \(15{,}5\) minutos o \(15{,}75\) minutos.
\(C\) es discreta, porque cuenta productos defectuosos. Solo puede tomar valores enteros.
\(A\) y \(C\) son discretas; \(B\) no es discreta.
Ejercicio 4: completar valores posibles
Una familia tiene \(3\) hijos. Se define \(X\) como la cantidad de hijas mujeres.
Indica los valores posibles de \(X\) y explica por qué es una variable aleatoria discreta.
La variable \(X\) cuenta cuántas hijas mujeres hay en una familia de \(3\) hijos.
La cantidad mínima posible es \(0\), si no hay hijas mujeres.
La cantidad máxima posible es \(3\), si los tres hijos son mujeres.
Entonces, los valores posibles de \(X\) son:
\[ 0,\ 1,\ 2,\ 3 \]
Es una variable aleatoria discreta porque sus valores son cantidades enteras, separadas y contables.
Los valores posibles son \(0,\ 1,\ 2,\ 3\), y la variable es discreta.
Ejercicio 5: distinguir conteo y medición
En una caja se elige al azar una fruta y se observan dos variables:
- \(X\): cantidad de semillas de la fruta.
- \(Y\): masa de la fruta en gramos.
¿Cuál variable es discreta? ¿Cuál no lo es? Justifica.
\(X\) es discreta porque cuenta semillas. La cantidad de semillas debe ser un número entero: \(0,\ 1,\ 2,\ldots\).
\(Y\) no es discreta en este contexto porque mide masa. La masa puede tomar valores con decimales, como \(145{,}3\) g o \(145{,}37\) g, dependiendo de la precisión del instrumento.
\(X\) es discreta; \(Y\) no es discreta.
Ejercicio 6: construir una variable discreta
Un control tiene \(6\) preguntas. Cada pregunta puede estar correcta o incorrecta.
Define una variable aleatoria discreta para estudiar el desempeño en el control e indica sus valores posibles.
Una variable adecuada es \(X\): cantidad de respuestas correctas en el control.
Como hay \(6\) preguntas, la menor cantidad de respuestas correctas es \(0\) y la mayor es \(6\).
Por lo tanto, los valores posibles son:
\[ 0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6 \]
La variable es discreta porque cuenta respuestas correctas.
Una variable posible es \(X=\) cantidad de respuestas correctas, con valores \(0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6\).
Ejercicio 7: caso desafiante
Se lanzan dos dados y se define \(X\) como la cantidad de dados que muestran un número par.
- Indica los valores posibles de \(X\).
- Escribe un resultado que produzca \(X=0\).
- Escribe dos resultados distintos que produzcan \(X=1\).
- Explica por qué \(X\) es discreta.
La variable \(X\) cuenta cuántos de los dos dados muestran un número par.
Como se lanzan dos dados, puede ocurrir que ninguno sea par, que uno sea par o que ambos sean pares.
Por lo tanto, los valores posibles son:
\[ 0,\ 1,\ 2 \]
Un resultado que produce \(X=0\) es \((1,3)\), porque ambos números son impares.
Dos resultados distintos que producen \(X=1\) son \((2,3)\) y \((5,4)\), porque en cada caso aparece exactamente un número par.
La variable \(X\) es discreta porque cuenta una cantidad de dados que cumplen una condición, y sus valores posibles son enteros separados.
Los valores posibles son \(0,\ 1,\ 2\). La variable es discreta porque cuenta dados pares.