Variable aleatoria y distribución de probabilidad
4. Distribución de probabilidad
Objetivo de aprendizaje
- Comprender que una distribución de probabilidad indica los valores posibles de una variable aleatoria y la probabilidad asociada a cada uno.
- Representar distribuciones de probabilidad discretas mediante tablas y gráficos de barras.
Definición
Una distribución de probabilidad muestra cómo se reparte la probabilidad entre los valores posibles de una variable aleatoria.
Si \(X\) es una variable aleatoria discreta, una distribución de probabilidad indica valores como:
\[ P(X=0),\quad P(X=1),\quad P(X=2),\ldots \]
¿Qué información entrega?
Una distribución de probabilidad responde preguntas como:
- ¿Qué valores puede tomar la variable?
- ¿Qué probabilidad tiene cada valor?
- ¿Cuáles valores son más probables y cuáles menos probables?
Idea clave
La distribución de probabilidad no se centra en un solo evento aislado, sino en el comportamiento completo de una variable aleatoria.
Por ejemplo, no solo interesa calcular la probabilidad de obtener exactamente una cara, sino comparar esa probabilidad con las de obtener \(0\) o \(2\) caras.
Ejemplo 1: cantidad de caras al lanzar dos monedas
Se lanzan dos monedas y se define \(X\) como la cantidad de caras obtenidas.
Los resultados posibles son:
| Resultado | Valor de \(X\) |
|---|---|
| Sello, sello | \(0\) |
| Cara, sello | \(1\) |
| Sello, cara | \(1\) |
| Cara, cara | \(2\) |
Como hay \(4\) resultados igualmente probables, calculamos la probabilidad de cada valor de \(X\):
| Valor de \(X\) | Resultados favorables | Probabilidad |
|---|---|---|
| \(0\) | 1 | \(P(X=0)=\frac{1}{4}=0{,}25\) |
| \(1\) | 2 | \(P(X=1)=\frac{2}{4}=0{,}5\) |
| \(2\) | 1 | \(P(X=2)=\frac{1}{4}=0{,}25\) |
Esta tabla es la distribución de probabilidad de \(X\).
El gráfico muestra que el valor más probable es \(X=1\), porque hay dos formas de obtener exactamente una cara.
Ejemplo 2: número obtenido al lanzar un dado
Se lanza un dado equilibrado y se define \(Y\) como el número obtenido.
Los valores posibles de \(Y\) son:
\[ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6 \]
Como el dado es equilibrado, cada resultado tiene la misma probabilidad:
\[ P(Y=1)=P(Y=2)=P(Y=3)=P(Y=4)=P(Y=5)=P(Y=6)=\frac{1}{6} \]
| Valor de \(Y\) | Probabilidad |
|---|---|
| \(1\) | \(\frac{1}{6}\) |
| \(2\) | \(\frac{1}{6}\) |
| \(3\) | \(\frac{1}{6}\) |
| \(4\) | \(\frac{1}{6}\) |
| \(5\) | \(\frac{1}{6}\) |
| \(6\) | \(\frac{1}{6}\) |
En este caso, todos los valores tienen la misma probabilidad. Por eso, la distribución es uniforme.
Error frecuente
No basta con listar los valores posibles de una variable aleatoria.
Para tener una distribución de probabilidad, también se debe indicar la probabilidad asociada a cada valor.
Ejercicios progresivos a desafiantes
Ejercicio 1: leer una distribución
Sea \(X\) una variable aleatoria con la siguiente distribución:
| Valor de \(X\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) |
|---|---|---|---|
| \(P(X=x)\) | \(0{,}2\) | \(0{,}5\) | \(0{,}3\) |
Responde:
- ¿Cuáles son los valores posibles de \(X\)?
- ¿Cuál es el valor más probable?
- ¿Cuánto vale \(P(X=2)\)?
Los valores posibles de \(X\) son los que aparecen en la primera fila de la tabla:
\[ 0,\ 1,\ 2 \]
El valor más probable es el que tiene mayor probabilidad. Comparando:
\[ 0{,}2,\quad 0{,}5,\quad 0{,}3 \]
La mayor probabilidad es \(0{,}5\), asociada a \(X=1\).
Además, desde la tabla se observa que:
\[ P(X=2)=0{,}3 \]
Valores posibles: \(0,\ 1,\ 2\). Valor más probable: \(1\). \(P(X=2)=0{,}3\).
Ejercicio 2: construir una distribución simple
Se lanza una moneda equilibrada y se define \(X\) así:
- \(X=1\) si sale cara,
- \(X=0\) si sale sello.
Construye la distribución de probabilidad de \(X\).
Como la moneda es equilibrada, los dos resultados tienen la misma probabilidad:
\[ P(\text{cara})=\frac{1}{2},\qquad P(\text{sello})=\frac{1}{2} \]
Según la definición de la variable:
- Si sale sello, \(X=0\).
- Si sale cara, \(X=1\).
| Valor de \(X\) | Probabilidad |
|---|---|
| \(0\) | \(\frac{1}{2}\) |
| \(1\) | \(\frac{1}{2}\) |
La distribución es \(P(X=0)=\frac{1}{2}\) y \(P(X=1)=\frac{1}{2}\).
Ejercicio 3: dado y números pares
Se lanza un dado equilibrado y se define \(X\) como la cantidad que vale:
- \(X=1\) si el resultado es par,
- \(X=0\) si el resultado es impar.
Construye la distribución de probabilidad de \(X\).
Los resultados posibles del dado son:
\[ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6 \]
Los resultados pares son \(2,\ 4,\ 6\). Hay \(3\) resultados pares de un total de \(6\), por lo tanto:
\[ P(X=1)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2} \]
Los resultados impares son \(1,\ 3,\ 5\). También hay \(3\) resultados impares, entonces:
\[ P(X=0)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2} \]
| Valor de \(X\) | Probabilidad |
|---|---|
| \(0\) | \(\frac{1}{2}\) |
| \(1\) | \(\frac{1}{2}\) |
La distribución es \(P(X=0)=\frac{1}{2}\) y \(P(X=1)=\frac{1}{2}\).
Ejercicio 4: cantidad de caras en dos monedas
Se lanzan dos monedas equilibradas y se define \(X\) como la cantidad de caras obtenidas.
- Indica los valores posibles de \(X\).
- Construye la distribución de probabilidad.
Los resultados posibles son:
\[ SS,\ CS,\ SC,\ CC \]
La variable \(X\) representa la cantidad de caras, por lo que sus valores posibles son:
\[ 0,\ 1,\ 2 \]
Ahora contamos los casos favorables para cada valor:
- \(X=0\): ocurre con \(SS\). Hay \(1\) caso.
- \(X=1\): ocurre con \(CS\) y \(SC\). Hay \(2\) casos.
- \(X=2\): ocurre con \(CC\). Hay \(1\) caso.
Como hay \(4\) resultados igualmente probables:
| Valor de \(X\) | Probabilidad |
|---|---|
| \(0\) | \(\frac{1}{4}\) |
| \(1\) | \(\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\) |
| \(2\) | \(\frac{1}{4}\) |
La distribución es \(P(X=0)=\frac{1}{4}\), \(P(X=1)=\frac{1}{2}\) y \(P(X=2)=\frac{1}{4}\).
Ejercicio 5: interpretar un gráfico
El siguiente gráfico representa la distribución de probabilidad de una variable aleatoria \(X\):
- ¿Cuál es el valor más probable de \(X\)?
- ¿Cuál es el valor menos probable de \(X\)?
- ¿Cuánto vale \(P(X=3)\)?
El valor más probable corresponde a la barra más alta. En el gráfico, la mayor probabilidad es \(0{,}4\), asociada a \(X=1\).
El valor menos probable corresponde a la barra más baja. En el gráfico, la menor probabilidad es \(0{,}1\), asociada a \(X=0\).
Además, la barra correspondiente a \(X=3\) tiene altura \(0{,}2\), por lo tanto:
\[ P(X=3)=0{,}2 \]
Más probable: \(X=1\). Menos probable: \(X=0\). \(P(X=3)=0{,}2\).
Ejercicio 6: caso desafiante
Una bolsa contiene \(3\) fichas rojas y \(2\) fichas azules. Se extrae una ficha al azar y se define \(X\) así:
- \(X=1\) si la ficha es roja,
- \(X=0\) si la ficha es azul.
- Construye la distribución de probabilidad de \(X\).
- Indica cuál valor de \(X\) es más probable.
- Interpreta el significado de ese valor en el contexto.
En total hay:
\[ 3+2=5 \]
fichas.
Como hay \(3\) fichas rojas, la probabilidad de obtener una ficha roja es:
\[ P(X=1)=\frac{3}{5}=0{,}6 \]
Como hay \(2\) fichas azules, la probabilidad de obtener una ficha azul es:
\[ P(X=0)=\frac{2}{5}=0{,}4 \]
| Valor de \(X\) | Significado | Probabilidad |
|---|---|---|
| \(0\) | La ficha es azul | \(\frac{2}{5}=0{,}4\) |
| \(1\) | La ficha es roja | \(\frac{3}{5}=0{,}6\) |
El valor más probable es \(X=1\), porque \(0{,}6>0{,}4\).
En contexto, esto significa que es más probable extraer una ficha roja que una ficha azul.
La distribución es \(P(X=0)=0{,}4\) y \(P(X=1)=0{,}6\). El valor más probable es \(X=1\).