Variable aleatoria y distribución de probabilidad
5. Tabla de distribución
Objetivo de aprendizaje
- Construir tablas de distribución de probabilidad para variables aleatorias discretas.
- Interpretar los valores y probabilidades de una variable aleatoria a partir de una tabla.
¿Qué es una tabla de distribución?
Una tabla de distribución organiza los valores posibles de una variable aleatoria y la probabilidad correspondiente a cada valor.
Para una variable aleatoria discreta \(X\), una tabla de distribución suele tener esta forma:
| Valor de \(X\) | \(x_1\) | \(x_2\) | \(x_3\) | \(\cdots\) |
|---|---|---|---|---|
| \(P(X=x)\) | \(P(X=x_1)\) | \(P(X=x_2)\) | \(P(X=x_3)\) | \(\cdots\) |
Cómo construir una tabla de distribución
- Define claramente la variable aleatoria.
- Identifica todos los valores posibles de la variable.
- Cuenta cuántos resultados producen cada valor, si los casos son equiprobables.
- Calcula la probabilidad asociada a cada valor.
- Organiza los valores y probabilidades en una tabla.
Idea clave
La tabla de distribución permite ver el comportamiento completo de una variable aleatoria, no solo un caso particular.
Por eso, antes de calcular probabilidades aisladas, conviene ordenar todos los valores posibles y sus probabilidades.
Ejemplo 1: cantidad de caras al lanzar dos monedas
Se lanzan dos monedas equilibradas y se define \(X\) como la cantidad de caras obtenidas.
Los resultados posibles son:
| Resultado | Valor de \(X\) |
|---|---|
| Sello, sello | \(0\) |
| Cara, sello | \(1\) |
| Sello, cara | \(1\) |
| Cara, cara | \(2\) |
Ahora contamos cuántas veces aparece cada valor de \(X\):
| Valor de \(X\) | Cantidad de resultados | Probabilidad |
|---|---|---|
| \(0\) | \(1\) | \(\frac{1}{4}\) |
| \(1\) | \(2\) | \(\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\) |
| \(2\) | \(1\) | \(\frac{1}{4}\) |
La tabla de distribución queda así:
| Valor de \(X\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) |
|---|---|---|---|
| \(P(X=x)\) | \(\frac{1}{4}\) | \(\frac{1}{2}\) | \(\frac{1}{4}\) |
El gráfico permite observar visualmente que \(X=1\) es el valor más probable:
Ejemplo 2: ficha extraída de una bolsa
Una bolsa contiene \(2\) fichas rojas, \(1\) ficha azul y \(3\) fichas verdes. Se extrae una ficha al azar.
Se define la variable aleatoria \(Y\) así:
- \(Y=1\) si la ficha es roja,
- \(Y=2\) si la ficha es azul,
- \(Y=3\) si la ficha es verde.
En total hay:
\[ 2+1+3=6 \]
fichas.
Entonces:
\[ P(Y=1)=\frac{2}{6},\qquad P(Y=2)=\frac{1}{6},\qquad P(Y=3)=\frac{3}{6} \]
| Valor de \(Y\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) |
|---|---|---|---|
| Significado | Roja | Azul | Verde |
| \(P(Y=y)\) | \(\frac{2}{6}\) | \(\frac{1}{6}\) | \(\frac{3}{6}\) |
La mayor probabilidad corresponde a \(Y=3\), porque hay más fichas verdes que de los otros colores.
Error frecuente
No se debe repetir un mismo valor de la variable en varias columnas de la tabla de distribución.
Si distintos resultados del experimento producen el mismo valor de \(X\), sus probabilidades se agrupan en una sola columna.
Ejercicios progresivos a desafiantes
Ejercicio 1: leer una tabla
Sea \(X\) una variable aleatoria con la siguiente tabla de distribución:
| Valor de \(X\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) |
|---|---|---|---|
| \(P(X=x)\) | \(0{,}3\) | \(0{,}4\) | \(0{,}3\) |
- ¿Cuáles son los valores posibles de \(X\)?
- ¿Cuánto vale \(P(X=1)\)?
- ¿Cuál valor tiene mayor probabilidad?
Los valores posibles de \(X\) son los que aparecen en la primera fila de la tabla:
\[ 0,\ 1,\ 2 \]
Desde la tabla se observa que:
\[ P(X=1)=0{,}4 \]
Para identificar el valor más probable, comparamos las probabilidades:
\[ 0{,}3,\quad 0{,}4,\quad 0{,}3 \]
La mayor probabilidad es \(0{,}4\), asociada al valor \(X=1\).
Valores posibles: \(0,\ 1,\ 2\). \(P(X=1)=0{,}4\). El valor más probable es \(X=1\).
Ejercicio 2: completar una tabla de distribución
Se lanza un dado equilibrado y se define \(X\) así:
- \(X=1\) si el resultado es \(1\) o \(2\),
- \(X=2\) si el resultado es \(3\) o \(4\),
- \(X=3\) si el resultado es \(5\) o \(6\).
Construye la tabla de distribución de \(X\).
El dado tiene \(6\) resultados igualmente probables.
Para \(X=1\), los resultados favorables son \(1\) y \(2\), por lo que hay \(2\) casos:
\[ P(X=1)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3} \]
Para \(X=2\), los resultados favorables son \(3\) y \(4\):
\[ P(X=2)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3} \]
Para \(X=3\), los resultados favorables son \(5\) y \(6\):
\[ P(X=3)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3} \]
| Valor de \(X\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) |
|---|---|---|---|
| \(P(X=x)\) | \(\frac{1}{3}\) | \(\frac{1}{3}\) | \(\frac{1}{3}\) |
Los tres valores tienen probabilidad \(\frac{1}{3}\).
Ejercicio 3: agrupar resultados con el mismo valor
Se lanzan dos monedas equilibradas y se define \(X\) como la cantidad de sellos obtenidos.
Construye la tabla de distribución de \(X\).
Los resultados posibles son:
\[ CC,\ CS,\ SC,\ SS \]
La variable \(X\) cuenta la cantidad de sellos.
- \(X=0\): ocurre con \(CC\), entonces hay \(1\) caso.
- \(X=1\): ocurre con \(CS\) y \(SC\), entonces hay \(2\) casos.
- \(X=2\): ocurre con \(SS\), entonces hay \(1\) caso.
Como hay \(4\) resultados igualmente probables:
| Valor de \(X\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) |
|---|---|---|---|
| \(P(X=x)\) | \(\frac{1}{4}\) | \(\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\) | \(\frac{1}{4}\) |
La tabla es \(P(X=0)=\frac{1}{4}\), \(P(X=1)=\frac{1}{2}\), \(P(X=2)=\frac{1}{4}\).
Ejercicio 4: construir desde una bolsa
Una bolsa contiene \(4\) fichas blancas y \(6\) fichas negras. Se extrae una ficha al azar.
Se define \(X=1\) si la ficha es negra y \(X=0\) si la ficha es blanca.
Construye la tabla de distribución de \(X\).
En total hay:
\[ 4+6=10 \]
fichas.
Si la ficha es blanca, \(X=0\). Como hay \(4\) fichas blancas:
\[ P(X=0)=\frac{4}{10}=0{,}4 \]
Si la ficha es negra, \(X=1\). Como hay \(6\) fichas negras:
\[ P(X=1)=\frac{6}{10}=0{,}6 \]
| Valor de \(X\) | \(0\) | \(1\) |
|---|---|---|
| \(P(X=x)\) | \(0{,}4\) | \(0{,}6\) |
La distribución es \(P(X=0)=0{,}4\) y \(P(X=1)=0{,}6\).
Ejercicio 5: interpretar y graficar mentalmente
Sea \(X\) una variable aleatoria con la siguiente tabla de distribución:
| Valor de \(X\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) |
|---|---|---|---|---|
| \(P(X=x)\) | \(0{,}1\) | \(0{,}2\) | \(0{,}5\) | \(0{,}2\) |
- ¿Cuál barra sería la más alta en un gráfico de la distribución?
- ¿Cuáles valores tendrían barras de igual altura?
- ¿Cuánto vale \(P(X=0)\)?
La barra más alta corresponde al valor con mayor probabilidad.
Comparando \(0{,}1,\ 0{,}2,\ 0{,}5,\ 0{,}2\), la mayor probabilidad es \(0{,}5\), asociada a \(X=2\).
Los valores \(X=1\) y \(X=3\) tienen la misma probabilidad, \(0{,}2\), por lo que sus barras tendrían igual altura.
Desde la tabla:
\[ P(X=0)=0{,}1 \]
La barra más alta sería la de \(X=2\). \(X=1\) y \(X=3\) tendrían igual altura. \(P(X=0)=0{,}1\).
Ejercicio 6: caso desafiante
Se lanzan dos dados equilibrados y se define \(X\) como la cantidad de dados que muestran un número mayor que \(4\).
- Indica los valores posibles de \(X\).
- Construye la tabla de distribución de \(X\).
- Indica cuál valor de \(X\) es más probable.
En un dado, los resultados mayores que \(4\) son \(5\) y \(6\). Por lo tanto, en cada dado hay \(2\) resultados favorables y \(4\) no favorables.
Como se lanzan dos dados, \(X\) puede tomar los valores:
\[ 0,\ 1,\ 2 \]
Hay \(36\) resultados ordenados posibles al lanzar dos dados.
Para \(X=0\), ninguno de los dos dados debe ser mayor que \(4\). Cada dado tiene \(4\) opciones no favorables, entonces:
\[ P(X=0)=\frac{4\cdot 4}{36}=\frac{16}{36}=\frac{4}{9} \]
Para \(X=2\), ambos dados deben ser mayores que \(4\). Cada dado tiene \(2\) opciones favorables, entonces:
\[ P(X=2)=\frac{2\cdot 2}{36}=\frac{4}{36}=\frac{1}{9} \]
Para \(X=1\), exactamente uno de los dos dados debe ser mayor que \(4\). Puede ocurrir de dos formas: primero favorable y segundo no favorable, o primero no favorable y segundo favorable:
\[ P(X=1)=\frac{2\cdot 4+4\cdot 2}{36}=\frac{16}{36}=\frac{4}{9} \]
| Valor de \(X\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) |
|---|---|---|---|
| \(P(X=x)\) | \(\frac{4}{9}\) | \(\frac{4}{9}\) | \(\frac{1}{9}\) |
Los valores más probables son \(X=0\) y \(X=1\), porque ambos tienen probabilidad \(\frac{4}{9}\).
La distribución es \(P(X=0)=\frac{4}{9}\), \(P(X=1)=\frac{4}{9}\), \(P(X=2)=\frac{1}{9}\). Los valores más probables son \(0\) y \(1\).