Variable aleatoria y distribución de probabilidad
7. Esperanza matemática
Objetivo de aprendizaje
- Comprender la esperanza matemática como el valor promedio esperado de una variable aleatoria a largo plazo.
- Calcular la esperanza matemática de una variable aleatoria discreta usando su distribución de probabilidad.
¿Qué significa esperanza matemática?
La esperanza matemática de una variable aleatoria representa el valor promedio que se esperaría obtener si el experimento aleatorio se repitiera muchas veces bajo las mismas condiciones.
No siempre coincide con un valor que la variable pueda tomar en una repetición individual. Es un promedio teórico de largo plazo.
Fórmula de la esperanza
Si una variable aleatoria discreta \(X\) puede tomar los valores \(x_1,\ x_2,\ldots,\ x_n\), entonces su esperanza matemática se calcula como:
\[ E(X)=x_1\cdot P(X=x_1)+x_2\cdot P(X=x_2)+\cdots+x_n\cdot P(X=x_n) \]
De forma abreviada:
\[ E(X)=\sum x\cdot P(X=x) \]
Idea clave
La esperanza matemática es un promedio ponderado: cada valor de la variable se multiplica por la probabilidad de que ocurra.
Los valores más probables influyen más en la esperanza que los valores poco probables.
Ejemplo 1: cantidad de caras al lanzar dos monedas
Se lanzan dos monedas equilibradas y se define \(X\) como la cantidad de caras obtenidas.
La distribución de probabilidad es:
| Valor de \(X\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) |
|---|---|---|---|
| \(P(X=x)\) | \(\frac{1}{4}\) | \(\frac{1}{2}\) | \(\frac{1}{4}\) |
El gráfico muestra la distribución de \(X\):
Calculamos la esperanza:
\[ E(X)=0\cdot \frac{1}{4}+1\cdot \frac{1}{2}+2\cdot \frac{1}{4} \]
\[ E(X)=0+\frac{1}{2}+\frac{2}{4} \]
\[ E(X)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1 \]
Esto significa que, si se lanzaran dos monedas muchas veces, se esperaría obtener en promedio \(1\) cara por lanzamiento doble.
Ejemplo 2: puntaje en un juego
En un juego, una variable aleatoria \(Y\) representa el puntaje obtenido. Su distribución es:
| Valor de \(Y\) | \(0\) | \(5\) | \(10\) |
|---|---|---|---|
| \(P(Y=y)\) | \(0{,}5\) | \(0{,}3\) | \(0{,}2\) |
Calculamos:
\[ E(Y)=0\cdot 0{,}5+5\cdot 0{,}3+10\cdot 0{,}2 \]
\[ E(Y)=0+1{,}5+2=3{,}5 \]
La esperanza matemática es \(3{,}5\) puntos.
Esto no significa que en una partida se puedan obtener exactamente \(3{,}5\) puntos. Significa que, a largo plazo, el promedio esperado por partida es \(3{,}5\) puntos.
Ejemplo 3: ganancia esperada
En una rifa, una persona puede ganar \(\$2\,000\) con probabilidad \(0{,}1\), o ganar \(\$0\) con probabilidad \(0{,}9\).
Sea \(G\) la ganancia obtenida. Entonces:
| Valor de \(G\) | \(0\) | \(2\,000\) |
|---|---|---|
| \(P(G=g)\) | \(0{,}9\) | \(0{,}1\) |
Calculamos:
\[ E(G)=0\cdot 0{,}9+2\,000\cdot 0{,}1 \]
\[ E(G)=0+200=200 \]
La ganancia esperada es \(\$200\). Esto representa el promedio teórico de ganancia por participación si el juego se repitiera muchas veces.
Error frecuente
No se debe interpretar la esperanza como el resultado que necesariamente ocurrirá en el próximo intento.
La esperanza describe un promedio de largo plazo, no una predicción exacta de una repetición individual.
Ejercicios progresivos a desafiantes
Ejercicio 1: calcular esperanza desde una tabla simple
Sea \(X\) una variable aleatoria con la siguiente distribución:
| Valor de \(X\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) |
|---|---|---|---|
| \(P(X=x)\) | \(0{,}2\) | \(0{,}5\) | \(0{,}3\) |
Calcula \(E(X)\).
Usamos la fórmula:
\[ E(X)=\sum x\cdot P(X=x) \]
Entonces:
\[ E(X)=0\cdot 0{,}2+1\cdot 0{,}5+2\cdot 0{,}3 \]
\[ E(X)=0+0{,}5+0{,}6=1{,}1 \]
La esperanza matemática es \(E(X)=1{,}1\).
Ejercicio 2: interpretar una esperanza no entera
En un juego, el puntaje \(Y\) puede tomar los valores \(0\), \(2\) y \(4\), con la siguiente distribución:
| Valor de \(Y\) | \(0\) | \(2\) | \(4\) |
|---|---|---|---|
| \(P(Y=y)\) | \(0{,}4\) | \(0{,}4\) | \(0{,}2\) |
Calcula \(E(Y)\) e interpreta el resultado.
Calculamos:
\[ E(Y)=0\cdot 0{,}4+2\cdot 0{,}4+4\cdot 0{,}2 \]
\[ E(Y)=0+0{,}8+0{,}8=1{,}6 \]
La esperanza es \(1{,}6\) puntos.
Esto no significa que en una jugada se obtengan \(1{,}6\) puntos, porque los valores posibles son \(0\), \(2\) y \(4\).
Significa que, si el juego se repitiera muchas veces, el promedio esperado sería de \(1{,}6\) puntos por jugada.
La esperanza es \(E(Y)=1{,}6\) puntos.
Ejercicio 3: esperanza con fracciones
Se lanza una moneda dos veces y \(X\) representa la cantidad de caras obtenidas. Su distribución es:
| Valor de \(X\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) |
|---|---|---|---|
| \(P(X=x)\) | \(\frac{1}{4}\) | \(\frac{1}{2}\) | \(\frac{1}{4}\) |
Calcula \(E(X)\).
Aplicamos la fórmula:
\[ E(X)=0\cdot \frac{1}{4}+1\cdot \frac{1}{2}+2\cdot \frac{1}{4} \]
\[ E(X)=0+\frac{1}{2}+\frac{2}{4} \]
Como \(\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\), entonces:
\[ E(X)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1 \]
La esperanza matemática es \(E(X)=1\).
Ejercicio 4: ganancia esperada
En una tómbola, una persona puede ganar \(\$5\,000\) con probabilidad \(0{,}05\), ganar \(\$1\,000\) con probabilidad \(0{,}20\), o no ganar dinero con probabilidad \(0{,}75\).
Sea \(G\) la ganancia obtenida. Calcula \(E(G)\).
Los valores posibles de \(G\) son \(0\), \(1\,000\) y \(5\,000\).
Calculamos la esperanza:
\[ E(G)=0\cdot 0{,}75+1\,000\cdot 0{,}20+5\,000\cdot 0{,}05 \]
\[ E(G)=0+200+250=450 \]
La ganancia esperada es \(\$450\).
Esto no significa que se ganen exactamente \(\$450\) en una participación, sino que ese sería el promedio esperado por participación si el juego se repitiera muchas veces.
La ganancia esperada es \(E(G)=\$450\).
Ejercicio 5: encontrar una probabilidad faltante y luego calcular esperanza
La siguiente tabla corresponde a una distribución de probabilidad válida:
| Valor de \(X\) | \(0\) | \(2\) | \(4\) |
|---|---|---|---|
| \(P(X=x)\) | \(0{,}25\) | \(p\) | \(0{,}35\) |
- Encuentra el valor de \(p\).
- Calcula \(E(X)\).
Como la tabla es una distribución válida, las probabilidades deben sumar \(1\):
\[ 0{,}25+p+0{,}35=1 \]
Sumamos los valores conocidos:
\[ 0{,}25+0{,}35=0{,}60 \]
Entonces:
\[ 0{,}60+p=1 \]
\[ p=0{,}40 \]
Ahora calculamos la esperanza:
\[ E(X)=0\cdot 0{,}25+2\cdot 0{,}40+4\cdot 0{,}35 \]
\[ E(X)=0+0{,}80+1{,}40=2{,}20 \]
\(p=0{,}40\) y \(E(X)=2{,}20\).
Ejercicio 6: caso desafiante
Un juego cuesta \(\$300\) para participar. El premio depende de una extracción al azar:
- Se gana \(\$1\,000\) con probabilidad \(0{,}2\).
- Se gana \(\$500\) con probabilidad \(0{,}3\).
- No se gana premio con probabilidad \(0{,}5\).
Sea \(N\) la ganancia neta, es decir, premio recibido menos costo de participación.
- Construye los valores posibles de \(N\).
- Calcula \(E(N)\).
- Interpreta si el juego favorece o perjudica al jugador en promedio.
La ganancia neta se calcula restando el costo de participación al premio recibido.
Si se gana \(\$1\,000\), la ganancia neta es:
\[ 1\,000-300=700 \]
Si se gana \(\$500\), la ganancia neta es:
\[ 500-300=200 \]
Si no se gana premio, igualmente se pagó \(\$300\), por lo que:
\[ 0-300=-300 \]
Entonces calculamos:
\[ E(N)=700\cdot 0{,}2+200\cdot 0{,}3+(-300)\cdot 0{,}5 \]
\[ E(N)=140+60-150=50 \]
La esperanza de la ganancia neta es \(\$50\).
Esto significa que, en promedio teórico de largo plazo, el jugador ganaría \(\$50\) por participación.
Los valores posibles son \(700\), \(200\) y \(-300\). La esperanza es \(E(N)=\$50\), por lo que el juego favorece al jugador en promedio.