Variable aleatoria y distribución de probabilidad
9. Juegos justos e injustos
Objetivo de aprendizaje
- Usar la esperanza matemática para analizar juegos de azar simples.
- Distinguir entre juegos justos, favorables y desfavorables según la ganancia esperada.
Ganancia neta
En un juego de azar, no basta con mirar el premio que se puede ganar. También hay que considerar el costo de participar.
La ganancia neta se calcula como:
\[ \text{ganancia neta}=\text{premio recibido}-\text{costo de participación} \]
Si la ganancia neta es negativa, significa que la persona perdió dinero en esa jugada.
Juego justo
Un juego se considera justo para el jugador cuando la esperanza de la ganancia neta es \(0\).
\[ E(G)=0 \]
donde \(G\) representa la ganancia neta.
Si \(E(G)>0\), el juego favorece al jugador en promedio.
Si \(E(G)<0\), el juego desfavorece al jugador en promedio.
Idea clave
Un juego justo no significa que siempre se gane lo mismo ni que no haya riesgo.
Significa que, si el juego se repitiera muchas veces, la ganancia promedio esperada sería \(0\).
Ejemplo 1: juego justo con una moneda
Un juego consiste en lanzar una moneda equilibrada.
- Si sale cara, el jugador gana \(\$500\).
- Si sale sello, el jugador pierde \(\$500\).
Sea \(G\) la ganancia neta del jugador. La distribución es:
| Valor de \(G\) | \(-500\) | \(500\) |
|---|---|---|
| \(P(G=g)\) | \(\frac{1}{2}\) | \(\frac{1}{2}\) |
Calculamos la esperanza:
\[ E(G)=(-500)\cdot \frac{1}{2}+500\cdot \frac{1}{2} \]
\[ E(G)=-250+250=0 \]
Como \(E(G)=0\), el juego es justo para el jugador.
Ejemplo 2: juego desfavorable
Un juego cuesta \(\$300\) para participar. Se lanza un dado equilibrado.
- Si sale \(6\), el jugador recibe un premio de \(\$1\,200\).
- Si no sale \(6\), no recibe premio.
Primero calculamos la ganancia neta.
Si sale \(6\):
\[ G=1\,200-300=900 \]
Si no sale \(6\):
\[ G=0-300=-300 \]
La distribución de \(G\) es:
| Valor de \(G\) | \(-300\) | \(900\) |
|---|---|---|
| \(P(G=g)\) | \(\frac{5}{6}\) | \(\frac{1}{6}\) |
Calculamos la esperanza:
\[ E(G)=(-300)\cdot \frac{5}{6}+900\cdot \frac{1}{6} \]
\[ E(G)=-250+150=-100 \]
Como \(E(G)<0\), el juego es desfavorable para el jugador. En promedio teórico, perdería \(\$100\) por participación.
Ejemplo 3: calcular el costo justo
Una rifa entrega un premio de \(\$4\,000\) con probabilidad \(0{,}1\), y no entrega premio con probabilidad \(0{,}9\).
Queremos determinar cuánto debería costar participar para que el juego sea justo.
Primero calculamos el valor esperado del premio:
\[ E(\text{premio})=4\,000\cdot 0{,}1+0\cdot 0{,}9 \]
\[ E(\text{premio})=400 \]
Para que el juego sea justo, el costo debe ser igual al valor esperado del premio.
Por lo tanto, el costo justo de participación es \(\$400\).
Si el costo fuera mayor que \(\$400\), el juego sería desfavorable para el jugador. Si fuera menor, sería favorable para el jugador.
Error frecuente
No se debe decidir si un juego es justo mirando solo el premio máximo.
Un premio grande puede tener una probabilidad muy baja. Por eso, se debe calcular la esperanza de la ganancia neta.
Ejercicios progresivos a desafiantes
Ejercicio 1: juego con moneda
Un juego consiste en lanzar una moneda equilibrada.
- Si sale cara, el jugador gana \(\$200\).
- Si sale sello, el jugador pierde \(\$200\).
Calcula la esperanza de la ganancia neta e indica si el juego es justo.
Sea \(G\) la ganancia neta del jugador.
Los valores posibles son:
\[ G=200 \quad \text{y} \quad G=-200 \]
Cada uno ocurre con probabilidad \(\frac{1}{2}\).
Calculamos:
\[ E(G)=200\cdot \frac{1}{2}+(-200)\cdot \frac{1}{2} \]
\[ E(G)=100-100=0 \]
Como la esperanza es \(0\), el juego es justo para el jugador.
\(E(G)=0\). El juego es justo.
Ejercicio 2: juego desfavorable con dado
Un juego cuesta \(\$500\) para participar. Se lanza un dado equilibrado.
- Si sale \(6\), el jugador recibe \(\$2\,400\).
- Si no sale \(6\), no recibe premio.
Calcula la ganancia esperada neta e interpreta el resultado.
Si sale \(6\), el jugador recibe \(\$2\,400\), pero pagó \(\$500\). Entonces la ganancia neta es:
\[ 2\,400-500=1\,900 \]
Si no sale \(6\), no recibe premio, pero pagó \(\$500\). Entonces:
\[ 0-500=-500 \]
Las probabilidades son:
\[ P(G=1\,900)=\frac{1}{6},\qquad P(G=-500)=\frac{5}{6} \]
Calculamos la esperanza:
\[ E(G)=1\,900\cdot \frac{1}{6}+(-500)\cdot \frac{5}{6} \]
\[ E(G)=\frac{1\,900}{6}-\frac{2\,500}{6}=\frac{-600}{6}=-100 \]
La ganancia esperada neta es \(-\$100\).
Esto significa que, en promedio teórico de largo plazo, el jugador perdería \(\$100\) por participación.
\(E(G)=-\$100\). El juego es desfavorable para el jugador.
Ejercicio 3: decidir si favorece al jugador
La ganancia neta \(G\), en pesos, de un juego tiene la siguiente distribución:
| Valor de \(G\) | \(-100\) | \(200\) | \(500\) |
|---|---|---|---|
| \(P(G=g)\) | \(0{,}50\) | \(0{,}30\) | \(0{,}20\) |
Calcula \(E(G)\) e indica si el juego favorece o desfavorece al jugador.
Calculamos la esperanza de la ganancia neta:
\[ E(G)=(-100)\cdot 0{,}50+200\cdot 0{,}30+500\cdot 0{,}20 \]
\[ E(G)=-50+60+100=110 \]
Como \(E(G)=110>0\), el juego favorece al jugador en promedio.
Esto no asegura que el jugador gane en una partida individual, pero sí indica que la ganancia promedio esperada es positiva.
\(E(G)=\$110\). El juego favorece al jugador.
Ejercicio 4: encontrar el costo justo
Una tómbola entrega un premio de \(\$3\,000\) con probabilidad \(0{,}2\), y no entrega premio con probabilidad \(0{,}8\).
¿Cuál debería ser el costo de participación para que el juego sea justo?
Primero calculamos el valor esperado del premio:
\[ E(\text{premio})=3\,000\cdot 0{,}2+0\cdot 0{,}8 \]
\[ E(\text{premio})=600+0=600 \]
Para que el juego sea justo, el costo debe ser igual al valor esperado del premio.
Así, la ganancia neta esperada sería:
\[ E(G)=600-600=0 \]
El costo justo de participación es \(\$600\).
Ejercicio 5: analizar una afirmación
Un juego cuesta \(\$1\,000\). La probabilidad de ganar un premio de \(\$10\,000\) es \(0{,}05\), y la probabilidad de no ganar premio es \(0{,}95\).
Un estudiante afirma: “Conviene jugar porque el premio es mucho mayor que el costo”.
Evalúa la afirmación usando la esperanza de la ganancia neta.
Si gana el premio, la ganancia neta es:
\[ 10\,000-1\,000=9\,000 \]
Si no gana premio, pierde el costo de participación:
\[ 0-1\,000=-1\,000 \]
Calculamos la esperanza:
\[ E(G)=9\,000\cdot 0{,}05+(-1\,000)\cdot 0{,}95 \]
\[ E(G)=450-950=-500 \]
La esperanza es negativa, por lo tanto el juego desfavorece al jugador en promedio.
La afirmación del estudiante es incorrecta porque considera solo el tamaño del premio, pero no la baja probabilidad de ganarlo.
\(E(G)=-\$500\). No conviene en promedio; el juego es desfavorable para el jugador.
Ejercicio 6: caso desafiante
Un juego consiste en extraer una ficha de una bolsa con \(2\) fichas rojas, \(3\) fichas azules y \(5\) fichas verdes.
El juego cuesta \(\$400\) para participar.
- Si sale roja, el jugador recibe \(\$1\,500\).
- Si sale azul, el jugador recibe \(\$600\).
- Si sale verde, no recibe premio.
- Construye la distribución de la ganancia neta \(G\).
- Calcula \(E(G)\).
- Indica si el juego es justo, favorable o desfavorable para el jugador.
En total hay:
\[ 2+3+5=10 \]
fichas.
Calculamos las ganancias netas:
Si sale roja:
\[ G=1\,500-400=1\,100 \]
Si sale azul:
\[ G=600-400=200 \]
Si sale verde:
\[ G=0-400=-400 \]
Las probabilidades son:
\[ P(G=1\,100)=\frac{2}{10},\quad P(G=200)=\frac{3}{10},\quad P(G=-400)=\frac{5}{10} \]
| Valor de \(G\) | \(-400\) | \(200\) | \(1\,100\) |
|---|---|---|---|
| \(P(G=g)\) | \(\frac{5}{10}\) | \(\frac{3}{10}\) | \(\frac{2}{10}\) |
Calculamos la esperanza:
\[ E(G)=(-400)\cdot \frac{5}{10}+200\cdot \frac{3}{10}+1\,100\cdot \frac{2}{10} \]
\[ E(G)=-200+60+220=80 \]
Como \(E(G)>0\), el juego favorece al jugador en promedio.
La distribución es \(P(G=-400)=\frac{5}{10}\), \(P(G=200)=\frac{3}{10}\), \(P(G=1\,100)=\frac{2}{10}\). Además, \(E(G)=\$80\), por lo que el juego es favorable para el jugador.