Variable aleatoria y distribución de probabilidad
10. Taller: construir una distribución de probabilidad
Objetivo de aprendizaje
- Construir distribuciones de probabilidad para variables aleatorias discretas.
- Verificar que una distribución de probabilidad sea válida.
- Interpretar una distribución usando tablas, gráficos y medidas como la esperanza.
Pasos para construir una distribución
- Identificar el experimento aleatorio.
- Definir claramente la variable aleatoria.
- Determinar todos los valores posibles de la variable.
- Calcular la probabilidad asociada a cada valor.
- Organizar la información en una tabla.
- Verificar que todas las probabilidades estén entre \(0\) y \(1\), y que sumen \(1\).
Condición de validez
Si \(X\) es una variable aleatoria discreta, su distribución debe cumplir:
\[ 0\leq P(X=x)\leq 1 \]
para cada valor posible de \(X\), y además:
\[ \sum P(X=x)=1 \]
Ejemplo guía: cantidad de caras al lanzar tres monedas
Se lanzan tres monedas equilibradas y se define \(X\) como la cantidad de caras obtenidas.
Los valores posibles de \(X\) son:
\[ 0,\ 1,\ 2,\ 3 \]
Contamos cuántos resultados producen cada valor:
| Valor de \(X\) | Resultados favorables | Cantidad | Probabilidad |
|---|---|---|---|
| \(0\) | SSS | \(1\) | \(\frac{1}{8}\) |
| \(1\) | CSS, SCS, SSC | \(3\) | \(\frac{3}{8}\) |
| \(2\) | CCS, CSC, SCC | \(3\) | \(\frac{3}{8}\) |
| \(3\) | CCC | \(1\) | \(\frac{1}{8}\) |
La distribución de probabilidad queda:
| Valor de \(X\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) |
|---|---|---|---|---|
| \(P(X=x)\) | \(\frac{1}{8}\) | \(\frac{3}{8}\) | \(\frac{3}{8}\) | \(\frac{1}{8}\) |
El gráfico muestra visualmente la distribución:
Verificamos la suma total:
\[ \frac{1}{8}+\frac{3}{8}+\frac{3}{8}+\frac{1}{8}=\frac{8}{8}=1 \]
Por lo tanto, la tabla sí representa una distribución de probabilidad válida.
Error frecuente
No se deben confundir los resultados del experimento con los valores de la variable aleatoria.
Por ejemplo, al lanzar tres monedas hay \(8\) resultados posibles, pero la variable “cantidad de caras” solo puede tomar \(4\) valores: \(0,\ 1,\ 2,\ 3\).
Ejercicios progresivos a desafiantes
Ejercicio 1: construir desde una moneda
Se lanza una moneda equilibrada y se define \(X\) así:
- \(X=1\) si sale cara.
- \(X=0\) si sale sello.
Construye la distribución de probabilidad de \(X\) y verifica que sea válida.
La moneda tiene dos resultados igualmente probables: cara y sello.
Según la definición:
- Si sale sello, \(X=0\).
- Si sale cara, \(X=1\).
Como la moneda es equilibrada:
\[ P(X=0)=\frac{1}{2},\qquad P(X=1)=\frac{1}{2} \]
| Valor de \(X\) | \(0\) | \(1\) |
|---|---|---|
| \(P(X=x)\) | \(\frac{1}{2}\) | \(\frac{1}{2}\) |
Verificamos la suma:
\[ \frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1 \]
La distribución es válida: \(P(X=0)=\frac{1}{2}\) y \(P(X=1)=\frac{1}{2}\).
Ejercicio 2: variable desde un dado
Se lanza un dado equilibrado y se define \(X\) como la cantidad que vale \(1\) si el resultado es par y \(0\) si el resultado es impar.
- Indica los valores posibles de \(X\).
- Construye su distribución de probabilidad.
- Verifica que la suma de probabilidades sea \(1\).
Los valores posibles de \(X\) son \(0\) y \(1\).
En el dado, los resultados impares son \(1,\ 3,\ 5\). Hay \(3\) resultados impares de \(6\), por lo tanto:
\[ P(X=0)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2} \]
Los resultados pares son \(2,\ 4,\ 6\). Hay \(3\) resultados pares de \(6\), por lo tanto:
\[ P(X=1)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2} \]
| Valor de \(X\) | \(0\) | \(1\) |
|---|---|---|
| \(P(X=x)\) | \(\frac{1}{2}\) | \(\frac{1}{2}\) |
La suma es:
\[ \frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1 \]
La distribución es válida y ambos valores tienen la misma probabilidad.
Ejercicio 3: construir una distribución con fichas
Una bolsa contiene \(2\) fichas rojas, \(3\) fichas azules y \(5\) fichas verdes. Se extrae una ficha al azar.
Se define \(X\) así:
- \(X=0\) si la ficha es roja.
- \(X=1\) si la ficha es azul.
- \(X=2\) si la ficha es verde.
Construye la distribución de probabilidad de \(X\).
Primero calculamos el total de fichas:
\[ 2+3+5=10 \]
Si la ficha es roja, \(X=0\). Como hay \(2\) fichas rojas:
\[ P(X=0)=\frac{2}{10}=0{,}2 \]
Si la ficha es azul, \(X=1\). Como hay \(3\) fichas azules:
\[ P(X=1)=\frac{3}{10}=0{,}3 \]
Si la ficha es verde, \(X=2\). Como hay \(5\) fichas verdes:
\[ P(X=2)=\frac{5}{10}=0{,}5 \]
| Valor de \(X\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) |
|---|---|---|---|
| \(P(X=x)\) | \(0{,}2\) | \(0{,}3\) | \(0{,}5\) |
Verificamos:
\[ 0{,}2+0{,}3+0{,}5=1 \]
La distribución es \(P(X=0)=0{,}2\), \(P(X=1)=0{,}3\) y \(P(X=2)=0{,}5\).
Ejercicio 4: cantidad de caras en dos monedas
Se lanzan dos monedas equilibradas y se define \(X\) como la cantidad de caras obtenidas.
- Escribe los resultados posibles del experimento.
- Construye la distribución de probabilidad de \(X\).
- Calcula \(E(X)\).
Los resultados posibles son:
\[ SS,\ CS,\ SC,\ CC \]
Los valores posibles de \(X\) son \(0,\ 1,\ 2\).
- \(X=0\): ocurre con \(SS\). Hay \(1\) caso.
- \(X=1\): ocurre con \(CS\) y \(SC\). Hay \(2\) casos.
- \(X=2\): ocurre con \(CC\). Hay \(1\) caso.
Como hay \(4\) resultados igualmente probables:
| Valor de \(X\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) |
|---|---|---|---|
| \(P(X=x)\) | \(\frac{1}{4}\) | \(\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\) | \(\frac{1}{4}\) |
Calculamos la esperanza:
\[ E(X)=0\cdot \frac{1}{4}+1\cdot \frac{1}{2}+2\cdot \frac{1}{4} \]
\[ E(X)=0+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1 \]
La distribución es \(\frac{1}{4},\frac{1}{2},\frac{1}{4}\), y la esperanza es \(E(X)=1\).
Ejercicio 5: completar una distribución
La siguiente tabla corresponde a una distribución de probabilidad válida:
| Valor de \(X\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) |
|---|---|---|---|---|
| \(P(X=x)\) | \(0{,}10\) | \(p\) | \(0{,}35\) | \(0{,}25\) |
- Encuentra el valor de \(p\).
- Indica el valor más probable de \(X\).
- Calcula \(P(X\geq 2)\).
Como la tabla es una distribución válida, las probabilidades deben sumar \(1\):
\[ 0{,}10+p+0{,}35+0{,}25=1 \]
Sumamos los valores conocidos:
\[ 0{,}10+0{,}35+0{,}25=0{,}70 \]
Entonces:
\[ 0{,}70+p=1 \]
\[ p=0{,}30 \]
Las probabilidades son:
\[ 0{,}10,\quad 0{,}30,\quad 0{,}35,\quad 0{,}25 \]
La mayor es \(0{,}35\), asociada a \(X=2\). Por lo tanto, el valor más probable es \(2\).
Para calcular \(P(X\geq 2)\), sumamos:
\[ P(X\geq 2)=P(X=2)+P(X=3)=0{,}35+0{,}25=0{,}60 \]
\(p=0{,}30\), el valor más probable es \(X=2\), y \(P(X\geq 2)=0{,}60\).
Ejercicio 6: construir y verificar
Se lanzan dos dados equilibrados y se define \(X\) como la cantidad de dados que muestran un número par.
- Indica los valores posibles de \(X\).
- Construye la distribución de probabilidad.
- Verifica que la suma de probabilidades sea \(1\).
- Calcula \(E(X)\).
Cada dado puede mostrar un número par o impar. Como se lanzan dos dados, la cantidad de dados pares puede ser:
\[ 0,\ 1,\ 2 \]
En un dado equilibrado, la probabilidad de par es \(\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\), y la de impar también es \(\frac{1}{2}\).
Para \(X=0\), ambos dados deben ser impares:
\[ P(X=0)=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4} \]
Para \(X=2\), ambos dados deben ser pares:
\[ P(X=2)=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4} \]
Para \(X=1\), debe salir exactamente un dado par. Esto puede ocurrir de dos formas: par-impar o impar-par:
\[ P(X=1)=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{2} \]
| Valor de \(X\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) |
|---|---|---|---|
| \(P(X=x)\) | \(\frac{1}{4}\) | \(\frac{1}{2}\) | \(\frac{1}{4}\) |
Verificamos:
\[ \frac{1}{4}+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=1 \]
Calculamos la esperanza:
\[ E(X)=0\cdot \frac{1}{4}+1\cdot \frac{1}{2}+2\cdot \frac{1}{4} \]
\[ E(X)=0+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1 \]
La distribución es válida y la esperanza es \(E(X)=1\).
Ejercicio 7: caso desafiante
Un juego consiste en extraer una ficha de una bolsa con \(4\) fichas rojas, \(3\) fichas azules y \(3\) fichas verdes.
El juego cuesta \(\$500\) para participar.
- Si sale roja, se recibe un premio de \(\$1\,500\).
- Si sale azul, se recibe un premio de \(\$700\).
- Si sale verde, no se recibe premio.
Sea \(G\) la ganancia neta.
- Construye la distribución de probabilidad de \(G\).
- Verifica que sea válida.
- Calcula \(E(G)\).
- Indica si el juego es justo, favorable o desfavorable para el jugador.
En total hay:
\[ 4+3+3=10 \]
fichas.
Calculamos la ganancia neta en cada caso:
Si sale roja:
\[ G=1\,500-500=1\,000 \]
Si sale azul:
\[ G=700-500=200 \]
Si sale verde:
\[ G=0-500=-500 \]
Ahora asignamos las probabilidades:
\[ P(G=1\,000)=\frac{4}{10}=0{,}4 \]
\[ P(G=200)=\frac{3}{10}=0{,}3 \]
\[ P(G=-500)=\frac{3}{10}=0{,}3 \]
| Valor de \(G\) | \(-500\) | \(200\) | \(1\,000\) |
|---|---|---|---|
| \(P(G=g)\) | \(0{,}3\) | \(0{,}3\) | \(0{,}4\) |
Verificamos:
\[ 0{,}3+0{,}3+0{,}4=1 \]
Calculamos la esperanza:
\[ E(G)=(-500)\cdot 0{,}3+200\cdot 0{,}3+1\,000\cdot 0{,}4 \]
\[ E(G)=-150+60+400=310 \]
Como \(E(G)>0\), el juego es favorable para el jugador en promedio.
La distribución es válida, \(E(G)=\$310\), y el juego es favorable para el jugador.
Cierre
Construir una distribución de probabilidad permite estudiar el comportamiento completo de una variable aleatoria.
Una vez construida, se pueden calcular probabilidades, esperanza matemática y analizar situaciones como juegos de azar o decisiones bajo incertidumbre.