Distribución binomial
3. Éxito y fracaso
Objetivo de aprendizaje
- Comprender que en un modelo binomial el éxito es el resultado que interesa contar.
- Distinguir entre éxito y fracaso según el contexto del experimento aleatorio.
¿Qué significa éxito?
En probabilidad, la palabra éxito no siempre significa algo positivo o conveniente.
En un ensayo de Bernoulli, éxito significa simplemente que ocurre el resultado que queremos contar o estudiar.
El fracaso corresponde a que no ocurre ese resultado de interés.
Organización básica
En cada ensayo de Bernoulli se define:
- Éxito: ocurre el resultado de interés.
- Fracaso: no ocurre el resultado de interés.
Si la probabilidad de éxito es \(p\), entonces la probabilidad de fracaso es:
\[ 1-p \]
Idea clave
La elección de qué se llama éxito depende de la pregunta que se quiere responder.
En una misma situación, se puede definir éxito de distintas maneras, siempre que quede claro qué resultado se está contando.
Ejemplo 1: moneda
Se lanza una moneda equilibrada y se quiere contar cuántas veces sale cara.
| Resultado | Clasificación | Probabilidad |
|---|---|---|
| Cara | Éxito | \(p=\frac{1}{2}\) |
| Sello | Fracaso | \(1-p=\frac{1}{2}\) |
En este caso, el éxito es obtener cara porque ese es el resultado que se quiere contar.
Ejemplo 2: producto defectuoso
Una fábrica revisa productos y desea contar cuántos salen defectuosos.
En este contexto, se puede definir:
| Resultado | Clasificación |
|---|---|
| El producto es defectuoso | Éxito |
| El producto no es defectuoso | Fracaso |
Aunque encontrar un producto defectuoso no sea algo bueno para la fábrica, se llama éxito porque es el resultado que se está contando.
Ejemplo 3: cambiar el resultado de interés
Se lanza un dado equilibrado.
Si queremos contar cuántas veces sale un número par, entonces:
- éxito: sale \(2\), \(4\) o \(6\),
- fracaso: sale \(1\), \(3\) o \(5\).
La probabilidad de éxito es:
\[ p=\frac{3}{6}=\frac{1}{2} \]
Pero si queremos contar cuántas veces sale \(6\), entonces:
- éxito: sale \(6\),
- fracaso: sale \(1\), \(2\), \(3\), \(4\) o \(5\).
En ese caso, la probabilidad de éxito cambia:
\[ p=\frac{1}{6} \]
La situación es la misma, pero la definición de éxito cambia según la pregunta.
Error frecuente
No se debe elegir el éxito por intuición o por si el resultado parece “bueno”.
El éxito debe definirse según lo que se quiere contar. Si se estudian productos defectuosos, “defectuoso” puede ser éxito. Si se estudian respuestas incorrectas, “incorrecta” puede ser éxito.
Ejercicios progresivos a desafiantes
Ejercicio 1: identificar éxito y fracaso
Se lanza una moneda y se quiere estudiar si sale sello.
Indica cuál es el éxito y cuál es el fracaso.
El resultado de interés es que salga sello.
Por lo tanto:
- éxito: sale sello,
- fracaso: no sale sello, es decir, sale cara.
Éxito: sello. Fracaso: cara.
Ejercicio 2: resultado defectuoso
Una empresa revisa artículos y quiere contar cuántos están defectuosos.
Define éxito y fracaso para esta situación.
Como se quiere contar artículos defectuosos, el resultado de interés es “estar defectuoso”.
Entonces:
- éxito: el artículo está defectuoso,
- fracaso: el artículo no está defectuoso.
La palabra éxito no significa que sea un buen resultado para la empresa, sino que es el resultado que se desea contar.
Éxito: defectuoso. Fracaso: no defectuoso.
Ejercicio 3: calcular probabilidad de fracaso
En un ensayo de Bernoulli, la probabilidad de éxito es \(p=0{,}35\).
Calcula la probabilidad de fracaso.
La probabilidad de fracaso es \(1-p\).
Como \(p=0{,}35\), entonces:
\[ 1-p=1-0{,}35=0{,}65 \]
Esto significa que la probabilidad de que no ocurra el éxito es \(0{,}65\).
La probabilidad de fracaso es \(0{,}65\).
Ejercicio 4: dado y resultado de interés
Se lanza un dado equilibrado y se define éxito como obtener un número mayor que \(4\).
- Indica los resultados que corresponden a éxito.
- Indica los resultados que corresponden a fracaso.
- Calcula \(p\), la probabilidad de éxito.
Los números mayores que \(4\) en un dado son \(5\) y \(6\).
Por lo tanto, los resultados de éxito son:
\[ 5,\ 6 \]
Los resultados de fracaso son los que no son mayores que \(4\):
\[ 1,\ 2,\ 3,\ 4 \]
Como hay \(2\) éxitos posibles de \(6\) resultados totales:
\[ p=\frac{2}{6}=\frac{1}{3} \]
Éxito: \(5\) o \(6\). Fracaso: \(1,\ 2,\ 3,\ 4\). \(p=\frac{1}{3}\).
Ejercicio 5: misma situación, distinto éxito
Se lanza un dado equilibrado.
- Si el éxito es obtener un número par, calcula \(p\).
- Si el éxito es obtener un número \(6\), calcula \(p\).
- Explica por qué las probabilidades son distintas.
Si el éxito es obtener un número par, los resultados favorables son:
\[ 2,\ 4,\ 6 \]
Entonces:
\[ p=\frac{3}{6}=\frac{1}{2} \]
Si el éxito es obtener un \(6\), hay solo un resultado favorable:
\[ 6 \]
Entonces:
\[ p=\frac{1}{6} \]
Las probabilidades son distintas porque el resultado de interés cambió. En el primer caso hay tres resultados favorables; en el segundo, solo uno.
Para número par, \(p=\frac{1}{2}\). Para obtener \(6\), \(p=\frac{1}{6}\).
Ejercicio 6: interpretar éxito en contexto
Una prueba tiene \(20\) preguntas. Un docente quiere estudiar cuántas preguntas fueron respondidas incorrectamente por un estudiante.
Define éxito y fracaso en este contexto.
El resultado que se quiere contar es una respuesta incorrecta.
Por eso, en este contexto:
- éxito: la respuesta es incorrecta,
- fracaso: la respuesta no es incorrecta, es decir, es correcta.
Esto puede parecer extraño porque “incorrecta” no es algo positivo, pero en probabilidad éxito significa resultado de interés.
Éxito: respuesta incorrecta. Fracaso: respuesta correcta.
Ejercicio 7: caso desafiante
Una encuesta pregunta a una persona por su medio principal de transporte: bus, metro, bicicleta, auto o caminata.
Se quiere estudiar si la persona usa transporte público, considerando transporte público como bus o metro.
- Define éxito.
- Define fracaso.
- Si las probabilidades son \(P(\text{bus})=0{,}30\), \(P(\text{metro})=0{,}25\), \(P(\text{bicicleta})=0{,}15\), \(P(\text{auto})=0{,}20\) y \(P(\text{caminata})=0{,}10\), calcula la probabilidad de éxito.
El éxito corresponde a que la persona use transporte público.
Como transporte público incluye bus o metro:
- éxito: la persona usa bus o metro,
- fracaso: la persona usa bicicleta, auto o caminata.
Calculamos la probabilidad de éxito sumando las probabilidades de bus y metro:
\[ p=P(\text{bus})+P(\text{metro}) \]
\[ p=0{,}30+0{,}25=0{,}55 \]
La probabilidad de fracaso también se puede verificar:
\[ 1-p=1-0{,}55=0{,}45 \]
Éxito: usar bus o metro. Fracaso: usar bicicleta, auto o caminata. La probabilidad de éxito es \(p=0{,}55\).