Distribución binomial
5. Parámetros \(n\) y \(p\)
Objetivo de aprendizaje
- Identificar los parámetros \(n\) y \(p\) en una situación binomial.
- Interpretar \(n\) como el número de ensayos y \(p\) como la probabilidad de éxito en cada ensayo.
Parámetros de una distribución binomial
Una distribución binomial se caracteriza por dos parámetros:
- \(n\): número de ensayos o repeticiones.
- \(p\): probabilidad de éxito en cada ensayo.
Si una variable aleatoria \(X\) sigue una distribución binomial con parámetros \(n\) y \(p\), se puede escribir:
\[ X\sim B(n,p) \]
Esta notación se lee: “\(X\) sigue una distribución binomial con parámetros \(n\) y \(p\)”.
¿Qué representa \(n\)?
El parámetro \(n\) indica cuántas veces se repite el ensayo de Bernoulli.
Por ejemplo, si se lanza una moneda \(12\) veces, entonces:
\[ n=12 \]
Si se revisan \(40\) productos, entonces:
\[ n=40 \]
¿Qué representa \(p\)?
El parámetro \(p\) indica la probabilidad de éxito en cada ensayo.
Si el éxito es obtener cara al lanzar una moneda equilibrada, entonces:
\[ p=\frac{1}{2} \]
Si el éxito es que un producto sea defectuoso y la probabilidad de defecto es \(0{,}03\), entonces:
\[ p=0{,}03 \]
La probabilidad de fracaso es:
\[ 1-p \]
Idea clave
Antes de aplicar cualquier fórmula binomial, se debe identificar correctamente \(n\) y \(p\).
El parámetro \(n\) responde “¿cuántas veces se repite?”, mientras que \(p\) responde “¿cuál es la probabilidad de éxito en cada repetición?”.
Ejemplo 1: lanzamiento de una moneda
Se lanza una moneda equilibrada \(10\) veces y se define \(X\) como la cantidad de caras obtenidas.
En esta situación:
- cada ensayo corresponde a un lanzamiento de la moneda,
- el éxito es obtener cara,
- la variable \(X\) cuenta la cantidad de éxitos.
Como se realizan \(10\) lanzamientos:
\[ n=10 \]
Como la moneda es equilibrada:
\[ p=P(\text{cara})=\frac{1}{2}=0{,}5 \]
Por lo tanto:
\[ X\sim B(10,0{,}5) \]
Ejemplo 2: encuesta
En una comuna, se sabe que el \(35\%\) de las personas usa bicicleta al menos una vez por semana. Se encuesta de forma independiente a \(80\) personas.
Se define \(X\) como la cantidad de personas encuestadas que usan bicicleta al menos una vez por semana.
En esta situación:
\[ n=80 \]
y la probabilidad de éxito es:
\[ p=0{,}35 \]
La probabilidad de fracaso es:
\[ 1-p=1-0{,}35=0{,}65 \]
El siguiente gráfico muestra la probabilidad de éxito y de fracaso en cada ensayo:
La notación del modelo es:
\[ X\sim B(80,0{,}35) \]
Ejemplo 3: productos defectuosos
Una máquina produce artículos con una probabilidad de defecto de \(0{,}04\). Se revisan \(25\) artículos de forma independiente y se define \(X\) como la cantidad de artículos defectuosos.
El número de ensayos es:
\[ n=25 \]
Como el éxito es encontrar un artículo defectuoso:
\[ p=0{,}04 \]
Entonces:
\[ X\sim B(25,0{,}04) \]
Aunque “defectuoso” no sea un resultado positivo para la fábrica, se considera éxito porque es el resultado que se desea contar.
Error frecuente
No se debe confundir \(p\) con el porcentaje de éxitos observados en una muestra.
En el modelo binomial, \(p\) es la probabilidad de éxito en cada ensayo. La cantidad de éxitos observados puede variar de una repetición del experimento a otra.
Ejercicios progresivos a desafiantes
Ejercicio 1: identificar \(n\) y \(p\)
Se lanza una moneda equilibrada \(6\) veces y se define \(X\) como la cantidad de sellos obtenidos.
Identifica \(n\), \(p\) y escribe la notación binomial correspondiente.
El número de ensayos corresponde a la cantidad de lanzamientos:
\[ n=6 \]
El éxito es obtener sello. Como la moneda es equilibrada:
\[ p=P(\text{sello})=\frac{1}{2}=0{,}5 \]
Entonces la variable se puede escribir como:
\[ X\sim B(6,0{,}5) \]
\(n=6\), \(p=0{,}5\) y \(X\sim B(6,0{,}5)\).
Ejercicio 2: encuesta escolar
Se sabe que la probabilidad de que un estudiante prefiera estudiar con música es \(0{,}40\). Se seleccionan \(30\) estudiantes de forma independiente.
Sea \(X\) la cantidad de estudiantes que prefieren estudiar con música.
- Identifica \(n\).
- Identifica \(p\).
- Calcula la probabilidad de fracaso.
El número de ensayos es la cantidad de estudiantes seleccionados:
\[ n=30 \]
El éxito es que un estudiante prefiera estudiar con música. La probabilidad de éxito es:
\[ p=0{,}40 \]
La probabilidad de fracaso es:
\[ 1-p=1-0{,}40=0{,}60 \]
\(n=30\), \(p=0{,}40\) y la probabilidad de fracaso es \(0{,}60\).
Ejercicio 3: escribir la notación \(B(n,p)\)
Una prueba tiene \(20\) preguntas de verdadero o falso. Un estudiante responde al azar y se define \(X\) como la cantidad de respuestas correctas.
Escribe la distribución binomial de \(X\) usando la notación \(B(n,p)\).
Hay \(20\) preguntas, por lo tanto:
\[ n=20 \]
En cada pregunta de verdadero o falso respondida al azar, la probabilidad de responder correctamente es:
\[ p=\frac{1}{2}=0{,}5 \]
Como \(X\) cuenta la cantidad de respuestas correctas:
\[ X\sim B(20,0{,}5) \]
La distribución es \(X\sim B(20,0{,}5)\).
Ejercicio 4: productos defectuosos
Una línea de producción tiene una probabilidad de defecto de \(0{,}02\). Se revisan \(100\) productos de forma independiente y \(X\) representa la cantidad de productos defectuosos.
- Identifica el éxito.
- Identifica \(n\) y \(p\).
- Escribe la notación binomial correspondiente.
El éxito es encontrar un producto defectuoso, porque \(X\) cuenta productos defectuosos.
Como se revisan \(100\) productos:
\[ n=100 \]
La probabilidad de éxito es:
\[ p=0{,}02 \]
Por lo tanto:
\[ X\sim B(100,0{,}02) \]
Éxito: producto defectuoso. \(n=100\), \(p=0{,}02\), \(X\sim B(100,0{,}02)\).
Ejercicio 5: distinguir \(p\) y \(1-p\)
En una ciudad, la probabilidad de que una persona use transporte público diariamente es \(0{,}55\). Se encuesta a \(70\) personas de forma independiente y se define \(X\) como la cantidad de personas que usan transporte público diariamente.
- Identifica \(n\).
- Identifica \(p\).
- Calcula \(1-p\).
- Interpreta \(1-p\) en el contexto.
Se encuestan \(70\) personas, por lo tanto:
\[ n=70 \]
El éxito es usar transporte público diariamente, entonces:
\[ p=0{,}55 \]
La probabilidad de fracaso es:
\[ 1-p=1-0{,}55=0{,}45 \]
En contexto, \(0{,}45\) es la probabilidad de que una persona no use transporte público diariamente.
\(n=70\), \(p=0{,}55\), \(1-p=0{,}45\).
Ejercicio 6: detectar un parámetro incorrecto
Se lanza un dado equilibrado \(15\) veces y se define \(X\) como la cantidad de veces que aparece un número mayor que \(4\).
Un estudiante afirma que \(X\sim B(15,\frac{4}{6})\).
Explica si la afirmación es correcta o incorrecta.
El número de ensayos sí es correcto:
\[ n=15 \]
Pero la probabilidad de éxito no es \(\frac{4}{6}\).
El éxito es obtener un número mayor que \(4\). En un dado, los números mayores que \(4\) son:
\[ 5,\ 6 \]
Hay \(2\) resultados favorables de \(6\), por lo tanto:
\[ p=\frac{2}{6}=\frac{1}{3} \]
La notación correcta es:
\[ X\sim B(15,\frac{1}{3}) \]
La afirmación es incorrecta; el parámetro correcto es \(p=\frac{1}{3}\).
Ejercicio 7: caso desafiante
Una aplicación envía una notificación a \(200\) usuarios. Históricamente, la probabilidad de que un usuario abra la notificación es \(0{,}18\). Se define \(X\) como la cantidad de usuarios que abren la notificación.
- Identifica el ensayo de Bernoulli.
- Define éxito y fracaso.
- Identifica \(n\) y \(p\).
- Escribe la notación binomial.
- Interpreta \(1-p\) en el contexto.
El ensayo de Bernoulli corresponde a observar a un usuario y registrar si abre o no la notificación.
Como \(X\) cuenta usuarios que abren la notificación:
- éxito: el usuario abre la notificación,
- fracaso: el usuario no abre la notificación.
Como se envía la notificación a \(200\) usuarios:
\[ n=200 \]
La probabilidad de éxito es:
\[ p=0{,}18 \]
Entonces:
\[ X\sim B(200,0{,}18) \]
La probabilidad de fracaso es:
\[ 1-p=1-0{,}18=0{,}82 \]
En contexto, \(0{,}82\) es la probabilidad de que un usuario no abra la notificación.
Ensayo: un usuario. Éxito: abre. Fracaso: no abre. \(n=200\), \(p=0{,}18\), \(X\sim B(200,0{,}18)\).