Distribución binomial
7. Fórmula binomial
Objetivo de aprendizaje
- Comprender la estructura de la fórmula binomial.
- Identificar el significado de cada parte de la fórmula en una situación binomial.
¿Para qué sirve la fórmula binomial?
En una situación binomial, la variable \(X\) cuenta el número de éxitos obtenidos en \(n\) ensayos.
La fórmula binomial permite calcular la probabilidad de obtener exactamente \(k\) éxitos.
Por ejemplo, sirve para calcular probabilidades como:
- exactamente \(3\) caras en \(5\) lanzamientos,
- exactamente \(2\) productos defectuosos en \(20\) productos revisados,
- exactamente \(8\) respuestas correctas en una prueba de \(10\) preguntas.
Fórmula binomial
Si \(X\sim B(n,p)\), entonces la probabilidad de obtener exactamente \(k\) éxitos es:
\[ P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k} \]
donde:
- \(n\) es el número de ensayos.
- \(p\) es la probabilidad de éxito en cada ensayo.
- \(k\) es la cantidad exacta de éxitos que se quiere obtener.
- \(1-p\) es la probabilidad de fracaso.
- \(\binom{n}{k}\) cuenta cuántas formas hay de ubicar los \(k\) éxitos entre los \(n\) ensayos.
Estructura de la fórmula
La fórmula binomial combina tres ideas: formas de ordenar éxitos, probabilidad de los éxitos y probabilidad de los fracasos.
Coeficiente binomial
El símbolo \(\binom{n}{k}\) se lee “\(n\) sobre \(k\)” y se calcula como:
\[ \binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!} \]
Este número indica cuántas formas distintas hay de elegir \(k\) posiciones de éxito entre \(n\) ensayos.
Ejemplo 1: interpretar la fórmula
Se lanza una moneda equilibrada \(5\) veces y se define \(X\) como la cantidad de caras obtenidas.
Queremos expresar la probabilidad de obtener exactamente \(2\) caras.
En esta situación:
- \(n=5\), porque hay \(5\) lanzamientos.
- \(p=\frac{1}{2}\), porque la moneda es equilibrada.
- \(k=2\), porque se quieren exactamente \(2\) caras.
- \(n-k=5-2=3\), porque habría \(3\) fracasos.
Entonces:
\[ P(X=2)=\binom{5}{2}\left(\frac{1}{2}\right)^2\left(1-\frac{1}{2}\right)^3 \]
Como \(1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\), también se puede escribir:
\[ P(X=2)=\binom{5}{2}\left(\frac{1}{2}\right)^2\left(\frac{1}{2}\right)^3 \]
Ejemplo 2: productos defectuosos
Una máquina produce artículos con probabilidad de defecto \(p=0{,}04\). Se revisan \(20\) artículos de forma independiente.
Sea \(X\) la cantidad de artículos defectuosos. Queremos expresar la probabilidad de obtener exactamente \(3\) defectuosos.
Identificamos:
- \(n=20\),
- \(p=0{,}04\),
- \(k=3\),
- \(1-p=0{,}96\),
- \(n-k=20-3=17\).
Aplicando la fórmula:
\[ P(X=3)=\binom{20}{3}(0{,}04)^3(0{,}96)^{17} \]
Esta expresión representa la probabilidad de que, entre los \(20\) artículos revisados, exactamente \(3\) sean defectuosos.
Ejemplo 3: por qué aparece \(\binom{n}{k}\)
Supongamos que se realizan \(4\) ensayos y se quieren exactamente \(2\) éxitos.
Algunas formas posibles de ubicar los éxitos \(E\) y fracasos \(F\) son:
| Forma | Secuencia |
|---|---|
| 1 | \(E,E,F,F\) |
| 2 | \(E,F,E,F\) |
| 3 | \(E,F,F,E\) |
| 4 | \(F,E,E,F\) |
| 5 | \(F,E,F,E\) |
| 6 | \(F,F,E,E\) |
Hay \(6\) formas distintas de ubicar \(2\) éxitos en \(4\) ensayos.
Eso coincide con:
\[ \binom{4}{2}=6 \]
Error frecuente
No se debe olvidar el factor \(\binom{n}{k}\).
La expresión \(p^k(1-p)^{n-k}\) corresponde a una secuencia específica de éxitos y fracasos, pero la misma cantidad de éxitos puede ocurrir en varios órdenes distintos.
Ejercicios progresivos a desafiantes
Ejercicio 1: identificar las partes de la fórmula
Sea \(X\sim B(8,0{,}3)\). Se quiere calcular \(P(X=2)\).
Identifica \(n\), \(p\), \(k\), \(1-p\) y \(n-k\).
De la notación \(X\sim B(8,0{,}3)\), se identifica:
\[ n=8,\qquad p=0{,}3 \]
Como se quiere calcular \(P(X=2)\), entonces:
\[ k=2 \]
La probabilidad de fracaso es:
\[ 1-p=1-0{,}3=0{,}7 \]
La cantidad de fracasos es:
\[ n-k=8-2=6 \]
\(n=8\), \(p=0{,}3\), \(k=2\), \(1-p=0{,}7\) y \(n-k=6\).
Ejercicio 2: escribir la fórmula sin calcular
Sea \(X\sim B(10,0{,}4)\).
Escribe, sin calcular el valor final, la expresión para \(P(X=3)\).
Tenemos:
\[ n=10,\qquad p=0{,}4,\qquad k=3 \]
La probabilidad de fracaso es:
\[ 1-p=1-0{,}4=0{,}6 \]
La cantidad de fracasos es:
\[ n-k=10-3=7 \]
Aplicamos la fórmula binomial:
\[ P(X=3)=\binom{10}{3}(0{,}4)^3(0{,}6)^7 \]
La expresión es \(P(X=3)=\binom{10}{3}(0{,}4)^3(0{,}6)^7\).
Ejercicio 3: calcular un coeficiente binomial
Calcula el valor de:
\[ \binom{6}{2} \]
Usamos la fórmula:
\[ \binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!} \]
En este caso, \(n=6\) y \(k=2\):
\[ \binom{6}{2}=\frac{6!}{2!(6-2)!} \]
\[ \binom{6}{2}=\frac{6!}{2!4!} \]
Como \(6!=6\cdot 5\cdot 4!\), se simplifica:
\[ \binom{6}{2}=\frac{6\cdot 5\cdot 4!}{2\cdot 1\cdot 4!} \]
\[ \binom{6}{2}=\frac{30}{2}=15 \]
\(\binom{6}{2}=15\).
Ejercicio 4: interpretar el exponente de fracaso
En una situación binomial hay \(n=12\) ensayos y se quiere obtener exactamente \(k=5\) éxitos.
¿Cuál debe ser el exponente de \((1-p)\) en la fórmula? Justifica.
El exponente de \((1-p)\) representa la cantidad de fracasos.
Si hay \(12\) ensayos y se quieren \(5\) éxitos, entonces la cantidad de fracasos es:
\[ n-k=12-5=7 \]
Por lo tanto, el exponente de \((1-p)\) debe ser \(7\).
El exponente es \(7\), porque habría \(7\) fracasos.
Ejercicio 5: construir la expresión desde un contexto
Una encuesta se aplica a \(25\) personas. La probabilidad de que una persona responda “sí” es \(0{,}6\). Sea \(X\) la cantidad de personas que responden “sí”.
Escribe la expresión para calcular la probabilidad de que exactamente \(15\) personas respondan “sí”.
Primero identificamos los parámetros:
\[ n=25,\qquad p=0{,}6 \]
Como se quieren exactamente \(15\) respuestas “sí”, entonces:
\[ k=15 \]
La probabilidad de fracaso es:
\[ 1-p=1-0{,}6=0{,}4 \]
La cantidad de fracasos es:
\[ n-k=25-15=10 \]
Entonces:
\[ P(X=15)=\binom{25}{15}(0{,}6)^{15}(0{,}4)^{10} \]
La expresión es \(P(X=15)=\binom{25}{15}(0{,}6)^{15}(0{,}4)^{10}\).
Ejercicio 6: corregir una fórmula
Sea \(X\sim B(9,0{,}2)\). Un estudiante escribe:
\[ P(X=4)=\binom{9}{4}(0{,}2)^4(0{,}8)^4 \]
Explica el error y escribe la expresión correcta.
La parte \(\binom{9}{4}\) es correcta, porque se quieren \(4\) éxitos en \(9\) ensayos.
También es correcto usar \((0{,}2)^4\), porque la probabilidad de éxito es \(0{,}2\) y se quieren \(4\) éxitos.
El error está en el exponente de \(0{,}8\), que representa la probabilidad de fracaso.
Si hay \(9\) ensayos y \(4\) éxitos, la cantidad de fracasos es:
\[ 9-4=5 \]
Por lo tanto, el exponente correcto debe ser \(5\), no \(4\).
La expresión correcta es:
\[ P(X=4)=\binom{9}{4}(0{,}2)^4(0{,}8)^5 \]
El error está en el exponente de la probabilidad de fracaso; debe ser \(5\).
Ejercicio 7: caso desafiante
Una aplicación tiene una probabilidad de \(0{,}18\) de que un usuario abra una notificación. Se envía una notificación a \(200\) usuarios de forma independiente.
Sea \(X\) la cantidad de usuarios que abren la notificación.
- Identifica \(n\), \(p\), \(1-p\).
- Escribe la expresión para \(P(X=40)\).
- Interpreta el significado de \(\binom{200}{40}\) en este contexto.
Como se envía la notificación a \(200\) usuarios:
\[ n=200 \]
La probabilidad de éxito, es decir, que un usuario abra la notificación, es:
\[ p=0{,}18 \]
La probabilidad de fracaso es:
\[ 1-p=1-0{,}18=0{,}82 \]
Para calcular la probabilidad de que exactamente \(40\) usuarios abran la notificación, usamos \(k=40\):
\[ P(X=40)=\binom{200}{40}(0{,}18)^{40}(0{,}82)^{160} \]
El número \(\binom{200}{40}\) representa la cantidad de formas distintas en que se pueden elegir cuáles \(40\) usuarios, entre los \(200\), abren la notificación.
\(P(X=40)=\binom{200}{40}(0{,}18)^{40}(0{,}82)^{160}\).