Distribución binomial
8. Probabilidad de exactamente \(k\) éxitos
Objetivo de aprendizaje
- Calcular probabilidades binomiales de la forma \(P(X=k)\).
- Interpretar en contexto la probabilidad de obtener exactamente \(k\) éxitos en \(n\) ensayos.
¿Qué significa exactamente \(k\) éxitos?
En una variable binomial, \(X\) cuenta la cantidad de éxitos obtenidos en \(n\) ensayos.
Calcular \(P(X=k)\) significa calcular la probabilidad de que ocurran exactamente \(k\) éxitos y, por lo tanto, exactamente \(n-k\) fracasos.
Por ejemplo, si \(X\) representa la cantidad de caras en \(5\) lanzamientos, entonces \(P(X=2)\) es la probabilidad de obtener exactamente \(2\) caras.
Fórmula para exactamente \(k\) éxitos
Si \(X\sim B(n,p)\), entonces:
\[ P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k} \]
donde:
- \(n\) es el número total de ensayos.
- \(p\) es la probabilidad de éxito en cada ensayo.
- \(k\) es la cantidad exacta de éxitos.
- \(n-k\) es la cantidad de fracasos.
Procedimiento
- Identificar \(n\), \(p\) y \(k\).
- Calcular \(1-p\).
- Calcular \(n-k\).
- Reemplazar en la fórmula binomial.
- Interpretar el resultado en el contexto del problema.
Ejemplo 1: exactamente 2 caras en 5 lanzamientos
Se lanza una moneda equilibrada \(5\) veces. Sea \(X\) la cantidad de caras obtenidas.
Queremos calcular:
\[ P(X=2) \]
Identificamos:
- \(n=5\)
- \(p=\frac{1}{2}\)
- \(k=2\)
- \(1-p=\frac{1}{2}\)
- \(n-k=5-2=3\)
Aplicamos la fórmula:
\[ P(X=2)=\binom{5}{2}\left(\frac{1}{2}\right)^2\left(\frac{1}{2}\right)^3 \]
Calculamos:
\[ \binom{5}{2}=10 \]
Entonces:
\[ P(X=2)=10\left(\frac{1}{2}\right)^5 \]
\[ P(X=2)=10\cdot \frac{1}{32}=\frac{10}{32}=0{,}3125 \]
La probabilidad de obtener exactamente \(2\) caras en \(5\) lanzamientos es \(0{,}3125\), es decir, \(31{,}25\%\).
En el gráfico, la barra correspondiente a \(X=2\) representa la probabilidad calculada.
Ejemplo 2: exactamente 2 productos defectuosos
Una máquina produce artículos con probabilidad de defecto \(0{,}10\). Se revisan \(10\) artículos de forma independiente.
Sea \(X\) la cantidad de artículos defectuosos. Queremos calcular la probabilidad de obtener exactamente \(2\) defectuosos.
Identificamos:
- \(n=10\)
- \(p=0{,}10\)
- \(k=2\)
- \(1-p=0{,}90\)
- \(n-k=10-2=8\)
Aplicamos la fórmula:
\[ P(X=2)=\binom{10}{2}(0{,}10)^2(0{,}90)^8 \]
Como \(\binom{10}{2}=45\), queda:
\[ P(X=2)=45(0{,}10)^2(0{,}90)^8 \]
\[ P(X=2)\approx 0{,}1937 \]
La probabilidad de encontrar exactamente \(2\) productos defectuosos entre los \(10\) revisados es aproximadamente \(0{,}1937\), es decir, \(19{,}37\%\).
Ejemplo 3: exactamente 4 respuestas “sí”
En una encuesta, la probabilidad de que una persona responda “sí” es \(0{,}30\). Se encuesta a \(12\) personas de forma independiente.
Sea \(X\) la cantidad de personas que responden “sí”. Queremos calcular:
\[ P(X=4) \]
Identificamos:
- \(n=12\)
- \(p=0{,}30\)
- \(k=4\)
- \(1-p=0{,}70\)
- \(n-k=8\)
Entonces:
\[ P(X=4)=\binom{12}{4}(0{,}30)^4(0{,}70)^8 \]
Como \(\binom{12}{4}=495\):
\[ P(X=4)=495(0{,}30)^4(0{,}70)^8 \]
\[ P(X=4)\approx 0{,}2311 \]
La probabilidad de que exactamente \(4\) de las \(12\) personas respondan “sí” es aproximadamente \(23{,}11\%\).
Error frecuente
En \(P(X=k)\), el valor \(k\) corresponde a la cantidad exacta de éxitos, no a la cantidad de fracasos.
La cantidad de fracasos se calcula como \(n-k\). Por eso, el exponente de \(1-p\) debe ser \(n-k\), no \(k\).
Ejercicios progresivos a desafiantes
Ejercicio 1: identificar datos para \(P(X=k)\)
Sea \(X\sim B(9,0{,}4)\). Se quiere calcular \(P(X=3)\).
Identifica \(n\), \(p\), \(k\), \(1-p\) y \(n-k\).
De la notación \(X\sim B(9,0{,}4)\), identificamos:
\[ n=9,\qquad p=0{,}4 \]
Como se quiere calcular \(P(X=3)\), entonces:
\[ k=3 \]
La probabilidad de fracaso es:
\[ 1-p=1-0{,}4=0{,}6 \]
La cantidad de fracasos es:
\[ n-k=9-3=6 \]
\(n=9\), \(p=0{,}4\), \(k=3\), \(1-p=0{,}6\) y \(n-k=6\).
Ejercicio 2: exactamente 3 caras
Se lanza una moneda equilibrada \(4\) veces. Sea \(X\) la cantidad de caras obtenidas.
Calcula \(P(X=3)\).
La variable sigue una distribución binomial con:
\[ n=4,\qquad p=\frac{1}{2} \]
Queremos exactamente \(3\) caras, por lo tanto \(k=3\).
Aplicamos la fórmula:
\[ P(X=3)=\binom{4}{3}\left(\frac{1}{2}\right)^3\left(\frac{1}{2}\right)^{1} \]
Como \(\binom{4}{3}=4\):
\[ P(X=3)=4\left(\frac{1}{2}\right)^4 \]
\[ P(X=3)=4\cdot \frac{1}{16}=\frac{4}{16}=\frac{1}{4}=0{,}25 \]
La probabilidad es \(P(X=3)=0{,}25\), es decir, \(25\%\).
Ejercicio 3: calcular con decimales
Sea \(X\sim B(6,0{,}4)\).
Calcula \(P(X=2)\).
Identificamos:
\[ n=6,\qquad p=0{,}4,\qquad k=2 \]
La probabilidad de fracaso es:
\[ 1-p=0{,}6 \]
La cantidad de fracasos es:
\[ n-k=6-2=4 \]
Aplicamos la fórmula:
\[ P(X=2)=\binom{6}{2}(0{,}4)^2(0{,}6)^4 \]
Como \(\binom{6}{2}=15\):
\[ P(X=2)=15(0{,}16)(0{,}1296) \]
\[ P(X=2)=0{,}31104 \]
La probabilidad es \(P(X=2)=0{,}31104\), aproximadamente \(31{,}10\%\).
Ejercicio 4: productos defectuosos
Una fábrica tiene una probabilidad de defecto de \(0{,}05\). Se revisan \(8\) productos de forma independiente.
Sea \(X\) la cantidad de productos defectuosos. Calcula la probabilidad de encontrar exactamente \(1\) defectuoso.
Identificamos:
\[ n=8,\qquad p=0{,}05,\qquad k=1 \]
La probabilidad de no encontrar defecto en un producto es:
\[ 1-p=0{,}95 \]
La cantidad de fracasos es:
\[ n-k=8-1=7 \]
Aplicamos la fórmula:
\[ P(X=1)=\binom{8}{1}(0{,}05)^1(0{,}95)^7 \]
Como \(\binom{8}{1}=8\):
\[ P(X=1)=8(0{,}05)(0{,}95)^7 \]
\[ P(X=1)\approx 0{,}2793 \]
La probabilidad de encontrar exactamente \(1\) defectuoso es aproximadamente \(0{,}2793\), es decir, \(27{,}93\%\).
Ejercicio 5: escribir e interpretar
En una ciudad, la probabilidad de que una persona use bicicleta para trasladarse al trabajo es \(0{,}20\). Se seleccionan \(15\) personas de forma independiente.
Sea \(X\) la cantidad de personas que usan bicicleta. Escribe la expresión para calcular la probabilidad de que exactamente \(4\) personas usen bicicleta e interpreta el evento.
Identificamos:
\[ n=15,\qquad p=0{,}20,\qquad k=4 \]
La probabilidad de fracaso es:
\[ 1-p=0{,}80 \]
La cantidad de fracasos es:
\[ n-k=15-4=11 \]
Entonces:
\[ P(X=4)=\binom{15}{4}(0{,}20)^4(0{,}80)^{11} \]
Este evento significa que, entre las \(15\) personas seleccionadas, exactamente \(4\) usan bicicleta para trasladarse al trabajo.
La expresión es \(P(X=4)=\binom{15}{4}(0{,}20)^4(0{,}80)^{11}\).
Ejercicio 6: corregir un cálculo
Sea \(X\sim B(7,0{,}3)\). Un estudiante escribe:
\[ P(X=2)=\binom{7}{2}(0{,}3)^2(0{,}7)^2 \]
Explica el error y escribe la expresión correcta.
El valor \(n=7\), \(p=0{,}3\) y \(k=2\) están bien identificados.
El error está en el exponente de \(0{,}7\), que corresponde a la probabilidad de fracaso.
Si hay \(7\) ensayos y exactamente \(2\) éxitos, entonces hay:
\[ n-k=7-2=5 \]
fracasos.
Por lo tanto, la expresión correcta es:
\[ P(X=2)=\binom{7}{2}(0{,}3)^2(0{,}7)^5 \]
El exponente de \(0{,}7\) debe ser \(5\), no \(2\).
Ejercicio 7: caso desafiante
Una aplicación tiene una probabilidad de \(0{,}18\) de que un usuario abra una notificación. Se envía la notificación a \(20\) usuarios de forma independiente.
Sea \(X\) la cantidad de usuarios que abren la notificación.
- Calcula la probabilidad de que exactamente \(5\) usuarios abran la notificación.
- Interpreta el resultado en contexto.
Identificamos los datos del modelo:
\[ n=20,\qquad p=0{,}18,\qquad k=5 \]
La probabilidad de fracaso es:
\[ 1-p=0{,}82 \]
La cantidad de fracasos es:
\[ n-k=20-5=15 \]
Aplicamos la fórmula binomial:
\[ P(X=5)=\binom{20}{5}(0{,}18)^5(0{,}82)^{15} \]
Como \(\binom{20}{5}=15\,504\), se obtiene:
\[ P(X=5)=15\,504(0{,}18)^5(0{,}82)^{15} \]
\[ P(X=5)\approx 0{,}1468 \]
Esto significa que la probabilidad de que exactamente \(5\) de los \(20\) usuarios abran la notificación es aproximadamente \(14{,}68\%\).
La probabilidad es aproximadamente \(P(X=5)=0{,}1468\).