Distribución binomial
9. Probabilidad de “a lo más”
Objetivo de aprendizaje
- Interpretar expresiones de probabilidad binomial de la forma \(P(X\leq k)\).
- Calcular probabilidades de “a lo más” sumando probabilidades binomiales exactas.
¿Qué significa “a lo más”?
En una variable binomial, \(X\) cuenta la cantidad de éxitos obtenidos en \(n\) ensayos.
La expresión “a lo más \(k\) éxitos” significa que pueden ocurrir \(k\) éxitos o menos.
En símbolos:
\[ P(X\leq k) \]
Por ejemplo, “a lo más \(2\) éxitos” incluye los casos:
\[ X=0,\quad X=1,\quad X=2 \]
Cómo calcular \(P(X\leq k)\)
Si \(X\sim B(n,p)\), entonces:
\[ P(X\leq k)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+\cdots+P(X=k) \]
Cada término se calcula usando la fórmula binomial:
\[ P(X=r)=\binom{n}{r}p^r(1-p)^{n-r} \]
donde \(r\) toma los valores \(0,\ 1,\ 2,\ldots,\ k\).
Idea clave
La probabilidad de “a lo más” no se calcula con un solo valor de \(X\), sino sumando varios casos.
Por eso, \(P(X\leq 2)\) no es lo mismo que \(P(X=2)\).
Ejemplo 1: a lo más una cara
Se lanza una moneda equilibrada \(4\) veces. Sea \(X\) la cantidad de caras obtenidas.
Queremos calcular la probabilidad de obtener a lo más \(1\) cara:
\[ P(X\leq 1) \]
Como “a lo más \(1\)” significa \(0\) o \(1\), debemos sumar:
\[ P(X\leq 1)=P(X=0)+P(X=1) \]
Calculamos cada término:
\[ P(X=0)=\binom{4}{0}\left(\frac{1}{2}\right)^0\left(\frac{1}{2}\right)^4=\frac{1}{16} \]
\[ P(X=1)=\binom{4}{1}\left(\frac{1}{2}\right)^1\left(\frac{1}{2}\right)^3=\frac{4}{16} \]
Entonces:
\[ P(X\leq 1)=\frac{1}{16}+\frac{4}{16}=\frac{5}{16}=0{,}3125 \]
La probabilidad de obtener a lo más \(1\) cara en \(4\) lanzamientos es \(0{,}3125\), es decir, \(31{,}25\%\).
En esta distribución, \(P(X\leq 1)\) corresponde a sumar las barras de \(X=0\) y \(X=1\).
Ejemplo 2: a lo más un producto defectuoso
Una máquina produce artículos con probabilidad de defecto \(0{,}10\). Se revisan \(10\) artículos de forma independiente.
Sea \(X\) la cantidad de artículos defectuosos. Queremos calcular:
\[ P(X\leq 1) \]
Esto significa encontrar la probabilidad de obtener \(0\) o \(1\) artículo defectuoso:
\[ P(X\leq 1)=P(X=0)+P(X=1) \]
Calculamos:
\[ P(X=0)=\binom{10}{0}(0{,}10)^0(0{,}90)^{10}=0{,}90^{10} \]
\[ P(X=0)\approx 0{,}3487 \]
Luego:
\[ P(X=1)=\binom{10}{1}(0{,}10)^1(0{,}90)^9 \]
\[ P(X=1)\approx 0{,}3874 \]
Sumamos:
\[ P(X\leq 1)\approx 0{,}3487+0{,}3874=0{,}7361 \]
La probabilidad de encontrar a lo más un producto defectuoso es aproximadamente \(0{,}7361\), es decir, \(73{,}61\%\).
Ejemplo 3: a lo más dos respuestas “sí”
En una encuesta, la probabilidad de que una persona responda “sí” es \(0{,}30\). Se encuesta a \(6\) personas de forma independiente.
Sea \(X\) la cantidad de personas que responden “sí”. Queremos calcular:
\[ P(X\leq 2) \]
Esto incluye los casos:
\[ X=0,\quad X=1,\quad X=2 \]
Entonces:
\[ P(X\leq 2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2) \]
Calculamos:
\[ P(X=0)=\binom{6}{0}(0{,}30)^0(0{,}70)^6=0{,}117649 \]
\[ P(X=1)=\binom{6}{1}(0{,}30)^1(0{,}70)^5=0{,}302526 \]
\[ P(X=2)=\binom{6}{2}(0{,}30)^2(0{,}70)^4=0{,}324135 \]
Por lo tanto:
\[ P(X\leq 2)=0{,}117649+0{,}302526+0{,}324135=0{,}74431 \]
La probabilidad de que a lo más \(2\) personas respondan “sí” es aproximadamente \(0{,}7443\), es decir, \(74{,}43\%\).
Error frecuente
No se debe interpretar \(P(X\leq k)\) como si fuera solo \(P(X=k)\).
La expresión \(X\leq k\) incluye todos los valores desde \(0\) hasta \(k\), siempre que esos valores sean posibles para la variable.
Ejercicios progresivos a desafiantes
Ejercicio 1: interpretar “a lo más”
Sea \(X\) la cantidad de éxitos en un experimento binomial.
Escribe qué valores de \(X\) se incluyen en el evento:
\[ X\leq 3 \]
La expresión \(X\leq 3\) significa que \(X\) puede tomar valores menores o iguales que \(3\).
Como \(X\) cuenta éxitos, sus valores son enteros no negativos.
Por lo tanto, el evento incluye:
\[ X=0,\quad X=1,\quad X=2,\quad X=3 \]
El evento \(X\leq 3\) incluye los valores \(0,\ 1,\ 2,\ 3\).
Ejercicio 2: a lo más dos caras
Se lanza una moneda equilibrada \(5\) veces. Sea \(X\) la cantidad de caras obtenidas.
Calcula:
\[ P(X\leq 2) \]
Como “a lo más \(2\)” incluye \(0,\ 1\) y \(2\), calculamos:
\[ P(X\leq 2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2) \]
En \(5\) lanzamientos de una moneda equilibrada, cada secuencia tiene probabilidad \(\left(\frac{1}{2}\right)^5=\frac{1}{32}\).
Usando coeficientes binomiales:
\[ P(X=0)=\binom{5}{0}\frac{1}{32}=\frac{1}{32} \]
\[ P(X=1)=\binom{5}{1}\frac{1}{32}=\frac{5}{32} \]
\[ P(X=2)=\binom{5}{2}\frac{1}{32}=\frac{10}{32} \]
Sumamos:
\[ P(X\leq 2)=\frac{1+5+10}{32}=\frac{16}{32}=\frac{1}{2}=0{,}5 \]
La probabilidad es \(P(X\leq 2)=0{,}5\), es decir, \(50\%\).
Ejercicio 3: calcular con decimales
Sea \(X\sim B(4,0{,}2)\).
Calcula:
\[ P(X\leq 1) \]
El evento \(X\leq 1\) incluye \(X=0\) y \(X=1\).
Por lo tanto:
\[ P(X\leq 1)=P(X=0)+P(X=1) \]
Calculamos:
\[ P(X=0)=\binom{4}{0}(0{,}2)^0(0{,}8)^4=0{,}8^4=0{,}4096 \]
\[ P(X=1)=\binom{4}{1}(0{,}2)^1(0{,}8)^3 \]
\[ P(X=1)=4\cdot 0{,}2\cdot 0{,}512=0{,}4096 \]
Entonces:
\[ P(X\leq 1)=0{,}4096+0{,}4096=0{,}8192 \]
La probabilidad es \(P(X\leq 1)=0{,}8192\).
Ejercicio 4: defectos en productos
Una fábrica produce artículos con probabilidad de defecto \(0{,}05\). Se revisan \(12\) artículos de forma independiente.
Sea \(X\) la cantidad de artículos defectuosos.
Calcula la probabilidad de encontrar a lo más \(1\) artículo defectuoso.
Queremos calcular:
\[ P(X\leq 1) \]
Esto incluye:
\[ P(X=0)+P(X=1) \]
Como \(X\sim B(12,0{,}05)\), tenemos \(1-p=0{,}95\).
Calculamos:
\[ P(X=0)=\binom{12}{0}(0{,}05)^0(0{,}95)^{12}=0{,}95^{12} \]
\[ P(X=0)\approx 0{,}5404 \]
Luego:
\[ P(X=1)=\binom{12}{1}(0{,}05)^1(0{,}95)^{11} \]
\[ P(X=1)\approx 0{,}3413 \]
Sumamos:
\[ P(X\leq 1)\approx 0{,}5404+0{,}3413=0{,}8817 \]
La probabilidad de encontrar a lo más \(1\) defectuoso es aproximadamente \(0{,}8817\), es decir, \(88{,}17\%\).
Ejercicio 5: escribir sin calcular
Sea \(X\sim B(15,0{,}4)\).
Escribe, sin calcular el valor final, la expresión correspondiente a:
\[ P(X\leq 3) \]
El evento \(X\leq 3\) incluye:
\[ X=0,\quad X=1,\quad X=2,\quad X=3 \]
Entonces:
\[ P(X\leq 3)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3) \]
Como \(p=0{,}4\), se tiene \(1-p=0{,}6\).
Por lo tanto:
\[ P(X\leq 3)=\binom{15}{0}(0{,}4)^0(0{,}6)^{15} \]
\[ +\binom{15}{1}(0{,}4)^1(0{,}6)^{14} \]
\[ +\binom{15}{2}(0{,}4)^2(0{,}6)^{13} \]
\[ +\binom{15}{3}(0{,}4)^3(0{,}6)^{12} \]
Se deben sumar las probabilidades exactas desde \(X=0\) hasta \(X=3\).
Ejercicio 6: interpretar una diferencia
Sea \(X\) la cantidad de respuestas correctas en una prueba de \(10\) preguntas.
Explica la diferencia entre \(P(X=4)\) y \(P(X\leq 4)\).
\(P(X=4)\) representa la probabilidad de obtener exactamente \(4\) respuestas correctas.
En cambio, \(P(X\leq 4)\) representa la probabilidad de obtener a lo más \(4\) respuestas correctas.
Eso incluye los casos:
\[ X=0,\quad X=1,\quad X=2,\quad X=3,\quad X=4 \]
Por lo tanto:
\[ P(X\leq 4)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4) \]
\(P(X=4)\) considera solo un valor; \(P(X\leq 4)\) suma varios valores.
Ejercicio 7: caso desafiante
En una encuesta, la probabilidad de que una persona prefiera clases en modalidad híbrida es \(0{,}35\). Se seleccionan \(8\) personas de forma independiente.
Sea \(X\) la cantidad de personas que prefieren modalidad híbrida.
- Calcula \(P(X\leq 2)\).
- Interpreta el resultado en contexto.
Tenemos:
\[ X\sim B(8,0{,}35) \]
Queremos calcular:
\[ P(X\leq 2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2) \]
Como \(1-p=0{,}65\), calculamos:
\[ P(X=0)=\binom{8}{0}(0{,}35)^0(0{,}65)^8\approx 0{,}0319 \]
\[ P(X=1)=\binom{8}{1}(0{,}35)^1(0{,}65)^7\approx 0{,}1375 \]
\[ P(X=2)=\binom{8}{2}(0{,}35)^2(0{,}65)^6\approx 0{,}2596 \]
Sumamos:
\[ P(X\leq 2)\approx 0{,}0319+0{,}1375+0{,}2596=0{,}4290 \]
Esto significa que la probabilidad de que a lo más \(2\) de las \(8\) personas prefieran modalidad híbrida es aproximadamente \(42{,}90\%\).
\(P(X\leq 2)\approx 0{,}4290\).