Distribución binomial
11. Uso de tabla o tecnología
Objetivo de aprendizaje
- Usar tablas o tecnología para calcular probabilidades binomiales.
- Interpretar correctamente probabilidades exactas, acumuladas y complementarias en una distribución binomial.
¿Por qué usar tablas o tecnología?
La fórmula binomial permite calcular probabilidades exactas, pero cuando \(n\) es grande o se deben sumar muchos valores, los cálculos pueden ser largos.
Por eso, en muchos problemas se usan tablas, calculadoras o planillas para obtener los valores de manera más eficiente.
Lo importante no es solo obtener el número, sino saber qué probabilidad se está buscando.
Tipos de probabilidades binomiales
Si \(X\sim B(n,p)\), se pueden calcular distintos tipos de probabilidades:
- Exactamente \(k\) éxitos: \(\ P(X=k)\).
- A lo más \(k\) éxitos: \(\ P(X\leq k)\).
- Al menos \(k\) éxitos: \(\ P(X\geq k)\).
Para probabilidades acumuladas, se puede sumar o usar complemento:
\[ P(X\leq k)=P(X=0)+P(X=1)+\cdots+P(X=k) \]
\[ P(X\geq k)=1-P(X\leq k-1) \]
Antes de usar una tabla
Antes de leer una tabla binomial o usar tecnología, se deben identificar tres datos:
- \(n\): número de ensayos.
- \(p\): probabilidad de éxito.
- El evento pedido: exactamente, a lo más o al menos.
Además, se debe revisar si la tabla entrega probabilidades exactas \(P(X=k)\) o probabilidades acumuladas \(P(X\leq k)\).
Ejemplo 1: leer una tabla de probabilidades exactas
Sea \(X\sim B(5,0{,}5)\). La siguiente tabla muestra probabilidades exactas:
| \(k\) | \(P(X=k)\) |
|---|---|
| \(0\) | \(0{,}03125\) |
| \(1\) | \(0{,}15625\) |
| \(2\) | \(0{,}3125\) |
| \(3\) | \(0{,}3125\) |
| \(4\) | \(0{,}15625\) |
| \(5\) | \(0{,}03125\) |
Si se pide \(P(X=3)\), se busca directamente la fila \(k=3\):
\[ P(X=3)=0{,}3125 \]
El gráfico representa las mismas probabilidades de la tabla.
Ejemplo 2: calcular una probabilidad acumulada usando tabla
Con la misma variable \(X\sim B(5,0{,}5)\), calculemos:
\[ P(X\leq 2) \]
Como la tabla entrega probabilidades exactas, debemos sumar:
\[ P(X\leq 2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2) \]
Usando la tabla:
\[ P(X\leq 2)=0{,}03125+0{,}15625+0{,}3125 \]
\[ P(X\leq 2)=0{,}5 \]
La probabilidad de obtener a lo más \(2\) éxitos es \(0{,}5\), es decir, \(50\%\).
Ejemplo 3: usar complemento con apoyo tecnológico
Sea \(X\sim B(10,0{,}3)\). Se quiere calcular:
\[ P(X\geq 4) \]
En lugar de sumar \(P(X=4)+P(X=5)+\cdots+P(X=10)\), se puede usar el complemento:
\[ P(X\geq 4)=1-P(X\leq 3) \]
Si una tabla o tecnología entrega:
\[ P(X\leq 3)\approx 0{,}6496 \]
entonces:
\[ P(X\geq 4)\approx 1-0{,}6496=0{,}3504 \]
Por lo tanto, la probabilidad de obtener al menos \(4\) éxitos es aproximadamente \(0{,}3504\), es decir, \(35{,}04\%\).
Error frecuente
No todas las tablas entregan el mismo tipo de información.
Algunas muestran \(P(X=k)\), mientras otras muestran \(P(X\leq k)\). Antes de usar un valor, se debe leer el encabezado de la tabla.
Ejercicios progresivos a desafiantes
Ejercicio 1: leer probabilidad exacta
Sea \(X\sim B(5,0{,}5)\). Usa la siguiente tabla:
| \(k\) | \(P(X=k)\) |
|---|---|
| \(0\) | \(0{,}03125\) |
| \(1\) | \(0{,}15625\) |
| \(2\) | \(0{,}3125\) |
| \(3\) | \(0{,}3125\) |
| \(4\) | \(0{,}15625\) |
| \(5\) | \(0{,}03125\) |
Calcula \(P(X=4)\).
La tabla entrega probabilidades exactas \(P(X=k)\).
Para calcular \(P(X=4)\), buscamos la fila donde \(k=4\).
En esa fila se indica:
\[ P(X=4)=0{,}15625 \]
La probabilidad es \(P(X=4)=0{,}15625\).
Ejercicio 2: sumar probabilidades exactas
Usa la misma tabla de \(X\sim B(5,0{,}5)\) para calcular:
\[ P(X\leq 1) \]
El evento \(X\leq 1\) incluye dos valores:
\[ X=0 \quad \text{y} \quad X=1 \]
Por lo tanto:
\[ P(X\leq 1)=P(X=0)+P(X=1) \]
Usando la tabla:
\[ P(X\leq 1)=0{,}03125+0{,}15625=0{,}1875 \]
La probabilidad es \(P(X\leq 1)=0{,}1875\).
Ejercicio 3: usar complemento
Sea \(X\sim B(5,0{,}5)\).
Usa la tabla anterior para calcular:
\[ P(X\geq 4) \]
El evento \(X\geq 4\) incluye:
\[ X=4 \quad \text{y} \quad X=5 \]
Entonces:
\[ P(X\geq 4)=P(X=4)+P(X=5) \]
Usando la tabla:
\[ P(X\geq 4)=0{,}15625+0{,}03125=0{,}1875 \]
También se podría usar complemento:
\[ P(X\geq 4)=1-P(X\leq 3) \]
La probabilidad es \(P(X\geq 4)=0{,}1875\).
Ejercicio 4: interpretar tabla acumulada
Sea \(X\sim B(6,0{,}4)\). La siguiente tabla entrega probabilidades acumuladas:
| \(k\) | \(P(X\leq k)\) |
|---|---|
| \(0\) | \(0{,}0467\) |
| \(1\) | \(0{,}2333\) |
| \(2\) | \(0{,}5443\) |
| \(3\) | \(0{,}8208\) |
| \(4\) | \(0{,}9590\) |
| \(5\) | \(0{,}9959\) |
| \(6\) | \(1{,}0000\) |
Usa la tabla para determinar \(P(X\leq 2)\).
La tabla ya entrega probabilidades acumuladas \(P(X\leq k)\).
Por lo tanto, para encontrar \(P(X\leq 2)\), buscamos directamente la fila \(k=2\).
Según la tabla:
\[ P(X\leq 2)=0{,}5443 \]
No es necesario sumar nuevamente, porque la tabla ya acumuló las probabilidades.
\(P(X\leq 2)=0{,}5443\).
Ejercicio 5: obtener “al menos” desde tabla acumulada
Usa la tabla acumulada de \(X\sim B(6,0{,}4)\) para calcular:
\[ P(X\geq 3) \]
Para calcular \(P(X\geq 3)\), usamos complemento.
El complemento de \(X\geq 3\) es \(X\leq 2\).
Entonces:
\[ P(X\geq 3)=1-P(X\leq 2) \]
De la tabla:
\[ P(X\leq 2)=0{,}5443 \]
Por lo tanto:
\[ P(X\geq 3)=1-0{,}5443=0{,}4557 \]
La probabilidad es \(P(X\geq 3)=0{,}4557\).
Ejercicio 6: distinguir exacta y acumulada
Un estudiante usa una tabla acumulada y lee que, para cierta variable binomial:
\[ P(X\leq 4)=0{,}8120 \]
Luego afirma que \(P(X=4)=0{,}8120\).
Explica el error.
El error consiste en confundir una probabilidad acumulada con una probabilidad exacta.
El valor \(P(X\leq 4)=0{,}8120\) incluye todos los casos:
\[ X=0,\quad X=1,\quad X=2,\quad X=3,\quad X=4 \]
En cambio, \(P(X=4)\) considera solo el caso exacto \(X=4\).
Por lo tanto, no se puede afirmar que \(P(X=4)=0{,}8120\) usando solo ese dato.
El estudiante confundió \(P(X\leq 4)\) con \(P(X=4)\).
Ejercicio 7: caso desafiante
Sea \(X\sim B(10,0{,}3)\). Una herramienta tecnológica entrega:
\[ P(X\leq 3)=0{,}6496 \]
- Calcula \(P(X\geq 4)\).
- Interpreta el resultado en contexto si \(X\) representa la cantidad de respuestas correctas en \(10\) preguntas.
El evento \(X\geq 4\) es el complemento de \(X\leq 3\).
Por lo tanto:
\[ P(X\geq 4)=1-P(X\leq 3) \]
Usando el dato entregado:
\[ P(X\geq 4)=1-0{,}6496=0{,}3504 \]
En contexto, esto significa que la probabilidad de obtener al menos \(4\) respuestas correctas en \(10\) preguntas es aproximadamente \(0{,}3504\), es decir, \(35{,}04\%\).
\(P(X\geq 4)=0{,}3504\).