Distribución binomial
12. Esperanza de una binomial
Objetivo de aprendizaje
- Calcular la esperanza de una variable aleatoria binomial.
- Interpretar la esperanza como el número esperado de éxitos en \(n\) ensayos.
¿Qué representa la esperanza?
En una distribución binomial, la variable \(X\) cuenta cuántos éxitos ocurren en \(n\) ensayos.
La esperanza matemática indica cuántos éxitos se esperan en promedio si el experimento se repitiera muchas veces bajo las mismas condiciones.
No significa que ese número de éxitos tenga que ocurrir exactamente en cada realización del experimento.
Fórmula de la esperanza binomial
Si \(X\sim B(n,p)\), entonces la esperanza de \(X\) es:
\[ E(X)=np \]
donde:
- \(n\) es el número de ensayos.
- \(p\) es la probabilidad de éxito en cada ensayo.
La esperanza se interpreta como el número promedio de éxitos esperados.
Idea clave
La fórmula \(E(X)=np\) resume una idea simple: si se realizan \(n\) ensayos y en cada uno la probabilidad de éxito es \(p\), entonces se espera aproximadamente una proporción \(p\) de éxitos sobre el total de ensayos.
Ejemplo 1: caras en una moneda
Se lanza una moneda equilibrada \(10\) veces y se define \(X\) como la cantidad de caras obtenidas.
Como la moneda es equilibrada:
\[ p=\frac{1}{2}=0{,}5 \]
Además:
\[ n=10 \]
Entonces:
\[ E(X)=np=10\cdot 0{,}5=5 \]
Esto significa que, en promedio, se esperan \(5\) caras en \(10\) lanzamientos.
En esta distribución, el valor esperado está en torno a \(X=5\).
Ejemplo 2: productos defectuosos
Una fábrica produce artículos con probabilidad de defecto \(0{,}04\). Se revisan \(80\) productos de forma independiente.
Sea \(X\) la cantidad de productos defectuosos.
Identificamos:
\[ n=80,\qquad p=0{,}04 \]
Calculamos la esperanza:
\[ E(X)=np=80\cdot 0{,}04=3{,}2 \]
Esto significa que, en promedio, se esperan \(3{,}2\) productos defectuosos por cada \(80\) revisados.
Como \(X\) cuenta productos, en una revisión real no pueden aparecer \(3{,}2\) productos defectuosos. Ese valor corresponde a un promedio esperado a largo plazo.
Ejemplo 3: respuestas en una encuesta
En una comuna, la probabilidad de que una persona responda “sí” a una pregunta es \(0{,}62\). Se encuesta de forma independiente a \(200\) personas.
Sea \(X\) la cantidad de personas que responden “sí”.
Entonces:
\[ X\sim B(200,0{,}62) \]
La esperanza es:
\[ E(X)=200\cdot 0{,}62=124 \]
Se espera que, en promedio, \(124\) de las \(200\) personas respondan “sí”.
Error frecuente
No se debe interpretar la esperanza como una predicción exacta.
Si \(E(X)=3{,}2\), no significa que necesariamente se observarán \(3{,}2\) éxitos. La variable \(X\) toma valores enteros, pero su promedio esperado puede ser decimal.
Ejercicios progresivos a desafiantes
Ejercicio 1: calcular esperanza directa
Sea \(X\sim B(12,0{,}5)\).
Calcula \(E(X)\) e interpreta el resultado.
Usamos la fórmula de la esperanza binomial:
\[ E(X)=np \]
En este caso:
\[ n=12,\qquad p=0{,}5 \]
Entonces:
\[ E(X)=12\cdot 0{,}5=6 \]
Esto significa que se esperan, en promedio, \(6\) éxitos en \(12\) ensayos.
\(E(X)=6\).
Ejercicio 2: productos defectuosos
Una máquina produce artículos con probabilidad de defecto \(0{,}03\). Se revisan \(50\) artículos de forma independiente.
Sea \(X\) la cantidad de artículos defectuosos.
Calcula la esperanza de \(X\) e interprétala en contexto.
La variable \(X\) cuenta productos defectuosos.
Los parámetros son:
\[ n=50,\qquad p=0{,}03 \]
Calculamos:
\[ E(X)=np=50\cdot 0{,}03=1{,}5 \]
Esto significa que, en promedio, se esperan \(1{,}5\) artículos defectuosos entre \(50\) revisados.
En una revisión real no aparecerá medio artículo defectuoso; el valor \(1{,}5\) es un promedio esperado.
\(E(X)=1{,}5\) productos defectuosos esperados.
Ejercicio 3: encuesta
En una encuesta, la probabilidad de que una persona prefiera clases presenciales es \(0{,}70\). Se encuesta a \(90\) personas de forma independiente.
Sea \(X\) la cantidad de personas que prefieren clases presenciales.
Calcula \(E(X)\).
Identificamos los parámetros:
\[ n=90,\qquad p=0{,}70 \]
Aplicamos la fórmula:
\[ E(X)=np \]
\[ E(X)=90\cdot 0{,}70=63 \]
Se espera que, en promedio, \(63\) de las \(90\) personas prefieran clases presenciales.
\(E(X)=63\).
Ejercicio 4: prueba de verdadero o falso
Una prueba tiene \(20\) preguntas de verdadero o falso. Un estudiante responde al azar.
Sea \(X\) la cantidad de respuestas correctas.
- Identifica \(n\) y \(p\).
- Calcula \(E(X)\).
- Interpreta el resultado.
Hay \(20\) preguntas, por lo tanto:
\[ n=20 \]
Como cada pregunta es de verdadero o falso y se responde al azar, la probabilidad de responder correctamente es:
\[ p=\frac{1}{2}=0{,}5 \]
Calculamos la esperanza:
\[ E(X)=np=20\cdot 0{,}5=10 \]
Esto significa que, al responder al azar, se esperan en promedio \(10\) respuestas correctas.
\(n=20\), \(p=0{,}5\) y \(E(X)=10\).
Ejercicio 5: interpretar una esperanza decimal
Una variable binomial \(X\) representa la cantidad de fallas detectadas en \(40\) revisiones independientes. La probabilidad de falla en cada revisión es \(0{,}08\).
- Calcula \(E(X)\).
- Explica por qué el resultado no tiene que ser un número entero.
Identificamos:
\[ n=40,\qquad p=0{,}08 \]
Calculamos:
\[ E(X)=np=40\cdot 0{,}08=3{,}2 \]
La esperanza es \(3{,}2\), lo que significa que se esperan \(3{,}2\) fallas en promedio.
La variable \(X\) sí toma valores enteros, como \(0,\ 1,\ 2,\ 3,\ldots,40\), porque cuenta fallas reales.
Sin embargo, la esperanza puede ser decimal porque representa un promedio a largo plazo, no un resultado individual.
\(E(X)=3{,}2\), interpretado como promedio esperado de fallas.
Ejercicio 6: comparar dos situaciones binomiales
Compara las siguientes variables:
- \(A\sim B(30,0{,}20)\)
- \(B\sim B(50,0{,}10)\)
Calcula \(E(A)\), \(E(B)\) e indica en cuál situación se espera una mayor cantidad de éxitos.
Para la variable \(A\):
\[ E(A)=30\cdot 0{,}20=6 \]
Para la variable \(B\):
\[ E(B)=50\cdot 0{,}10=5 \]
Por lo tanto, aunque \(B\) tiene más ensayos, su probabilidad de éxito es menor.
La mayor esperanza corresponde a \(A\), porque se esperan \(6\) éxitos, mientras que en \(B\) se esperan \(5\).
\(E(A)=6\), \(E(B)=5\). Se espera una mayor cantidad de éxitos en \(A\).
Ejercicio 7: caso desafiante
Una campaña digital tiene una probabilidad de \(0{,}25\) de que un usuario haga clic en un enlace. Se quiere lograr una esperanza de al menos \(120\) clics.
Sea \(X\) la cantidad de clics obtenidos.
- Plantea una desigualdad usando \(E(X)=np\).
- Determina el mínimo número de usuarios a quienes se debe mostrar la campaña.
- Interpreta el resultado.
La probabilidad de éxito es:
\[ p=0{,}25 \]
Se quiere que la esperanza sea al menos \(120\):
\[ E(X)\geq 120 \]
Como \(E(X)=np\), reemplazamos:
\[ n\cdot 0{,}25\geq 120 \]
Despejamos \(n\):
\[ n\geq \frac{120}{0{,}25} \]
\[ n\geq 480 \]
Por lo tanto, se debe mostrar la campaña al menos a \(480\) usuarios para esperar \(120\) clics en promedio.
El mínimo número de usuarios es \(480\).