Distribución binomial
13. Desviación estándar de una binomial
Objetivo de aprendizaje
- Calcular la varianza y la desviación estándar de una variable aleatoria binomial.
- Interpretar la desviación estándar como una medida de variabilidad en la cantidad de éxitos.
¿Qué mide la desviación estándar?
En una distribución binomial, la variable \(X\) cuenta cuántos éxitos ocurren en \(n\) ensayos.
La esperanza \(E(X)=np\) indica el número promedio de éxitos esperados.
La desviación estándar indica cuánto suelen variar los valores de \(X\) alrededor de esa esperanza.
Varianza y desviación estándar binomial
Si \(X\sim B(n,p)\), entonces:
\[ E(X)=np \]
La varianza es:
\[ Var(X)=np(1-p) \]
La desviación estándar es:
\[ \sigma=\sqrt{np(1-p)} \]
donde \(1-p\) es la probabilidad de fracaso.
Idea clave
La desviación estándar se interpreta en las mismas unidades que la variable.
Si \(X\) cuenta personas, productos, respuestas o caras, entonces \(\sigma\) también se interpreta como una variación típica en esa cantidad de éxitos.
Ejemplo 1: caras en una moneda
Se lanza una moneda equilibrada \(10\) veces. Sea \(X\) la cantidad de caras obtenidas.
Entonces:
\[ X\sim B(10,0{,}5) \]
Calculamos la esperanza:
\[ E(X)=np=10\cdot 0{,}5=5 \]
Calculamos la varianza:
\[ Var(X)=np(1-p)=10\cdot 0{,}5\cdot 0{,}5=2{,}5 \]
Por lo tanto, la desviación estándar es:
\[ \sigma=\sqrt{2{,}5}\approx 1{,}58 \]
Esto significa que la cantidad de caras suele variar alrededor de \(5\) con una desviación típica aproximada de \(1{,}58\) caras.
Ejemplo 2: productos defectuosos
Una fábrica produce artículos con probabilidad de defecto \(0{,}04\). Se revisan \(80\) productos de forma independiente.
Sea \(X\) la cantidad de productos defectuosos.
Identificamos:
\[ n=80,\qquad p=0{,}04,\qquad 1-p=0{,}96 \]
La esperanza es:
\[ E(X)=80\cdot 0{,}04=3{,}2 \]
La varianza es:
\[ Var(X)=80\cdot 0{,}04\cdot 0{,}96=3{,}072 \]
La desviación estándar es:
\[ \sigma=\sqrt{3{,}072}\approx 1{,}75 \]
Esto significa que se esperan \(3{,}2\) productos defectuosos en promedio, con una variación típica aproximada de \(1{,}75\) productos defectuosos.
Ejemplo 3: comparar variabilidad
Consideremos dos variables binomiales:
- \(A\sim B(100,0{,}5)\)
- \(B\sim B(100,0{,}1)\)
Para \(A\):
\[ \sigma_A=\sqrt{100\cdot 0{,}5\cdot 0{,}5}=\sqrt{25}=5 \]
Para \(B\):
\[ \sigma_B=\sqrt{100\cdot 0{,}1\cdot 0{,}9}=\sqrt{9}=3 \]
En este caso, \(A\) tiene mayor desviación estándar que \(B\), por lo que presenta mayor variabilidad absoluta en la cantidad de éxitos.
Error frecuente
No se debe calcular la desviación estándar como \(\sqrt{np}\).
Primero se calcula la varianza \(np(1-p)\), y luego se aplica la raíz cuadrada:
\[ \sigma=\sqrt{np(1-p)} \]
Ejercicios progresivos a desafiantes
Ejercicio 1: cálculo directo
Sea \(X\sim B(12,0{,}5)\).
- Calcula \(E(X)\).
- Calcula \(Var(X)\).
- Calcula la desviación estándar \(\sigma\).
Identificamos:
\[ n=12,\qquad p=0{,}5,\qquad 1-p=0{,}5 \]
La esperanza es:
\[ E(X)=np=12\cdot 0{,}5=6 \]
La varianza es:
\[ Var(X)=np(1-p)=12\cdot 0{,}5\cdot 0{,}5=3 \]
La desviación estándar es:
\[ \sigma=\sqrt{3}\approx 1{,}73 \]
\(E(X)=6\), \(Var(X)=3\) y \(\sigma\approx 1{,}73\).
Ejercicio 2: ensayos con \(p=0{,}2\)
Sea \(X\sim B(50,0{,}2)\).
Calcula la varianza y la desviación estándar de \(X\).
Identificamos:
\[ n=50,\qquad p=0{,}2,\qquad 1-p=0{,}8 \]
La varianza es:
\[ Var(X)=np(1-p)=50\cdot 0{,}2\cdot 0{,}8 \]
\[ Var(X)=8 \]
La desviación estándar es:
\[ \sigma=\sqrt{8}\approx 2{,}83 \]
La varianza es \(8\) y la desviación estándar es aproximadamente \(2{,}83\).
Ejercicio 3: productos defectuosos
Una empresa revisa \(100\) productos de forma independiente. La probabilidad de que un producto sea defectuoso es \(0{,}03\).
Sea \(X\) la cantidad de productos defectuosos.
- Calcula \(E(X)\).
- Calcula \(Var(X)\).
- Calcula \(\sigma\).
La variable se puede modelar como:
\[ X\sim B(100,0{,}03) \]
La esperanza es:
\[ E(X)=100\cdot 0{,}03=3 \]
La probabilidad de fracaso es:
\[ 1-p=1-0{,}03=0{,}97 \]
La varianza es:
\[ Var(X)=100\cdot 0{,}03\cdot 0{,}97=2{,}91 \]
La desviación estándar es:
\[ \sigma=\sqrt{2{,}91}\approx 1{,}71 \]
\(E(X)=3\), \(Var(X)=2{,}91\) y \(\sigma\approx 1{,}71\).
Ejercicio 4: interpretar la desviación estándar
En una encuesta a \(200\) personas, \(X\) representa la cantidad de personas que responden “sí”.
Se sabe que:
\[ E(X)=120,\qquad \sigma\approx 6{,}93 \]
Interpreta ambos valores en contexto.
La esperanza \(E(X)=120\) significa que, en promedio, se espera que \(120\) de las \(200\) personas respondan “sí”.
La desviación estándar \(\sigma\approx 6{,}93\) indica que la cantidad de respuestas “sí” suele variar alrededor de \(120\) con una variación típica aproximada de \(6{,}93\) personas.
No significa que siempre se obtendrán exactamente entre \(120-6{,}93\) y \(120+6{,}93\), sino que entrega una medida de dispersión alrededor del valor esperado.
Se esperan \(120\) respuestas “sí” en promedio, con una variabilidad típica cercana a \(6{,}93\) personas.
Ejercicio 5: comparar dos distribuciones
Compara las siguientes variables binomiales:
- \(A\sim B(40,0{,}5)\)
- \(B\sim B(40,0{,}2)\)
Calcula la desviación estándar de cada una e indica cuál tiene mayor variabilidad absoluta.
Para \(A\):
\[ \sigma_A=\sqrt{40\cdot 0{,}5\cdot 0{,}5} \]
\[ \sigma_A=\sqrt{10}\approx 3{,}16 \]
Para \(B\):
\[ \sigma_B=\sqrt{40\cdot 0{,}2\cdot 0{,}8} \]
\[ \sigma_B=\sqrt{6{,}4}\approx 2{,}53 \]
Como \(3{,}16>2{,}53\), la variable \(A\) tiene mayor desviación estándar.
\(A\) tiene mayor variabilidad absoluta, porque \(\sigma_A\approx 3{,}16\) y \(\sigma_B\approx 2{,}53\).
Ejercicio 6: detectar un error
Sea \(X\sim B(25,0{,}4)\). Un estudiante calcula:
\[ \sigma=\sqrt{25\cdot 0{,}4} \]
Explica el error y calcula la desviación estándar correcta.
El error consiste en olvidar el factor \(1-p\).
La fórmula correcta es:
\[ \sigma=\sqrt{np(1-p)} \]
Como \(p=0{,}4\), entonces:
\[ 1-p=0{,}6 \]
Por lo tanto:
\[ \sigma=\sqrt{25\cdot 0{,}4\cdot 0{,}6} \]
\[ \sigma=\sqrt{6}\approx 2{,}45 \]
La desviación estándar correcta es \(\sigma\approx 2{,}45\).
Ejercicio 7: caso desafiante
Una campaña digital tiene probabilidad \(0{,}25\) de que un usuario haga clic en un enlace. La campaña se muestra a \(480\) usuarios de forma independiente.
Sea \(X\) la cantidad de clics obtenidos.
- Calcula \(E(X)\).
- Calcula \(Var(X)\).
- Calcula \(\sigma\).
- Interpreta la desviación estándar en contexto.
La variable se modela como:
\[ X\sim B(480,0{,}25) \]
La esperanza es:
\[ E(X)=np=480\cdot 0{,}25=120 \]
La probabilidad de fracaso es:
\[ 1-p=1-0{,}25=0{,}75 \]
La varianza es:
\[ Var(X)=480\cdot 0{,}25\cdot 0{,}75=90 \]
La desviación estándar es:
\[ \sigma=\sqrt{90}\approx 9{,}49 \]
Esto significa que, aunque se esperan \(120\) clics en promedio, la cantidad observada suele variar alrededor de ese valor con una desviación típica aproximada de \(9{,}49\) clics.
\(E(X)=120\), \(Var(X)=90\) y \(\sigma\approx 9{,}49\).