Distribución normal y puntaje Z
4. Media y desviación estándar como parámetros
Objetivo de aprendizaje
- Interpretar la media y la desviación estándar como parámetros de una distribución normal.
- Reconocer cómo cambia la curva normal al modificar la media o la desviación estándar.
- Usar la notación \(X\sim N(\mu,\sigma)\) en contextos sencillos.
Parámetros de la distribución normal
Una distribución normal queda determinada por dos parámetros principales:
- la media, representada por \(\mu\),
- la desviación estándar, representada por \(\sigma\).
La media indica el centro de la distribución. La desviación estándar indica qué tan dispersos están los valores alrededor de ese centro.
Notación
Si una variable aleatoria \(X\) se distribuye normalmente con media \(\mu\) y desviación estándar \(\sigma\), se escribe:
\[ X\sim N(\mu,\sigma) \]
Esta notación se lee: “\(X\) sigue una distribución normal con media \(\mu\) y desviación estándar \(\sigma\)”.
La desviación estándar siempre debe ser positiva:
\[ \sigma>0 \]
Idea clave
La media \(\mu\) mueve la campana hacia la izquierda o hacia la derecha.
La desviación estándar \(\sigma\) cambia el ancho de la campana: si \(\sigma\) es pequeña, los datos están más concentrados; si \(\sigma\) es grande, los datos están más dispersos.
Ejemplo 1: interpretar \(X\sim N(60,10)\)
Supongamos que los puntajes de una prueba se distribuyen aproximadamente de forma normal y se modelan como:
\[ X\sim N(60,10) \]
Esto significa que:
- la media es \(\mu=60\),
- la desviación estándar es \(\sigma=10\).
El centro de la campana está en \(60\). Además, una desviación estándar corresponde a \(10\) puntos.
La zona sombreada muestra valores ubicados entre una desviación estándar bajo la media y una desviación estándar sobre la media:
\[ 60-10=50,\qquad 60+10=70 \]
Ejemplo 2: misma media, distinta desviación estándar
Consideremos dos distribuciones normales con la misma media:
- \(A\sim N(60,5)\)
- \(B\sim N(60,15)\)
Ambas están centradas en \(60\), pero tienen distinta dispersión.
Para \(A\), la desviación estándar es menor, por lo que los valores tienden a concentrarse más cerca de \(60\):
Para \(B\), la desviación estándar es mayor, por lo que los valores tienden a estar más dispersos alrededor de \(60\):
La media determina el centro, pero la desviación estándar determina qué tan ancha o estrecha es la campana.
Ejemplo 3: misma desviación estándar, distinta media
Consideremos dos cursos cuyos puntajes tienen la misma dispersión, pero distinto promedio:
- Curso A: \(X_A\sim N(55,8)\)
- Curso B: \(X_B\sim N(70,8)\)
Ambos tienen desviación estándar \(8\), por lo que presentan una dispersión similar.
Sin embargo, el Curso B tiene una media mayor, por lo que su campana está desplazada hacia la derecha respecto del Curso A.
En contexto, esto indica que el Curso B tiene puntajes más altos en promedio, aunque la variabilidad de ambos cursos sea similar.
Error frecuente
No se debe confundir la media con la desviación estándar.
La media indica dónde está el centro de la distribución. La desviación estándar indica qué tan alejados suelen estar los valores respecto de ese centro.
Ejercicios progresivos a desafiantes
Ejercicio 1: identificar parámetros
Sea:
\[ X\sim N(80,12) \]
Identifica la media y la desviación estándar.
La notación \(X\sim N(\mu,\sigma)\) indica que el primer número corresponde a la media y el segundo a la desviación estándar.
En este caso:
\[ X\sim N(80,12) \]
Por lo tanto:
\[ \mu=80,\qquad \sigma=12 \]
La media es \(80\) y la desviación estándar es \(12\).
Ejercicio 2: escribir la notación normal
Los tiempos de espera en una atención se distribuyen aproximadamente de forma normal, con media \(15\) minutos y desviación estándar \(3\) minutos.
Escribe la notación correspondiente usando \(X\).
La variable \(X\) representa el tiempo de espera.
La media es:
\[ \mu=15 \]
La desviación estándar es:
\[ \sigma=3 \]
Entonces, la notación normal es:
\[ X\sim N(15,3) \]
La notación es \(X\sim N(15,3)\).
Ejercicio 3: interpretar la media
Las estaturas de un grupo grande de estudiantes se modelan como:
\[ X\sim N(168,7) \]
Interpreta el valor \(168\) en el contexto.
En la notación \(X\sim N(168,7)\), el primer parámetro corresponde a la media.
Por lo tanto:
\[ \mu=168 \]
En contexto, esto significa que el centro de la distribución de estaturas está en \(168\) cm.
Es decir, la estatura promedio del grupo es \(168\) cm.
El valor \(168\) representa la estatura promedio, en centímetros.
Ejercicio 4: interpretar la desviación estándar
Los puntajes de una prueba se modelan como:
\[ X\sim N(65,9) \]
Interpreta el valor \(9\) en el contexto.
En la notación \(X\sim N(65,9)\), el segundo parámetro corresponde a la desviación estándar.
Por lo tanto:
\[ \sigma=9 \]
En contexto, esto significa que los puntajes suelen variar alrededor de la media \(65\) con una desviación típica de \(9\) puntos.
No significa que todos los puntajes estén exactamente a \(9\) puntos de la media, sino que \(9\) mide la dispersión típica.
El valor \(9\) representa la desviación estándar de los puntajes.
Ejercicio 5: comparar dispersión
Dos variables se distribuyen normalmente:
- \(A\sim N(50,4)\)
- \(B\sim N(50,12)\)
¿Cuál tiene mayor dispersión? Justifica.
Ambas distribuciones tienen la misma media:
\[ \mu=50 \]
La diferencia está en la desviación estándar:
\[ \sigma_A=4,\qquad \sigma_B=12 \]
Como \(12>4\), la variable \(B\) tiene mayor desviación estándar.
Por lo tanto, sus valores están más dispersos alrededor de la media.
\(B\) tiene mayor dispersión, porque su desviación estándar es mayor.
Ejercicio 6: comparar medias
Dos cursos tienen puntajes que se modelan así:
- Curso A: \(X_A\sim N(58,10)\)
- Curso B: \(X_B\sim N(72,10)\)
¿Cuál curso tiene mayor promedio? ¿Qué se puede decir de la dispersión?
Comparamos las medias:
\[ \mu_A=58,\qquad \mu_B=72 \]
Como \(72>58\), el Curso B tiene mayor promedio.
Ahora comparamos las desviaciones estándar:
\[ \sigma_A=10,\qquad \sigma_B=10 \]
Como ambas desviaciones estándar son iguales, los cursos tienen una dispersión similar.
El Curso B tiene mayor promedio, y ambos cursos tienen la misma dispersión.
Ejercicio 7: caso desafiante
Dos máquinas llenan botellas con jugo. La cantidad de jugo, en mililitros, se modela así:
- Máquina A: \(X_A\sim N(500,5)\)
- Máquina B: \(X_B\sim N(500,15)\)
- ¿Cuál máquina tiene el llenado promedio más cercano a \(500\) ml?
- ¿Cuál máquina presenta mayor variabilidad?
- Si se quiere un llenado más regular, ¿cuál máquina conviene preferir?
Ambas máquinas tienen la misma media:
\[ \mu_A=500,\qquad \mu_B=500 \]
Por lo tanto, ambas tienen el llenado promedio centrado en \(500\) ml.
Ahora comparamos las desviaciones estándar:
\[ \sigma_A=5,\qquad \sigma_B=15 \]
Como \(15>5\), la Máquina B presenta mayor variabilidad.
Si se quiere un llenado más regular, conviene preferir la Máquina A, porque sus valores se concentran más cerca de \(500\) ml.
Ambas tienen media \(500\), pero la Máquina A es más regular porque tiene menor desviación estándar.