Distribución normal y puntaje Z
5. Interpretar valores sobre y bajo el promedio
Objetivo de aprendizaje
- Interpretar valores ubicados sobre, bajo o cerca del promedio en una distribución normal.
- Relacionar la posición de un valor con su distancia respecto de la media.
- Comprender que no basta saber si un valor está sobre o bajo el promedio: también importa qué tan lejos está.
La media como punto de referencia
En una distribución normal, la media \(\mu\) se ubica en el centro de la campana.
Un valor puede estar:
- sobre el promedio, si es mayor que \(\mu\);
- bajo el promedio, si es menor que \(\mu\);
- en el promedio, si es igual a \(\mu\).
Pero para interpretar correctamente un valor, también debemos observar qué tan lejos está de la media.
Diferencia respecto de la media
Para comparar un valor \(x\) con la media \(\mu\), podemos calcular:
\[ x-\mu \]
- Si \(x-\mu>0\), el valor está sobre el promedio.
- Si \(x-\mu<0\), el valor está bajo el promedio.
- Si \(x-\mu=0\), el valor coincide con el promedio.
La desviación estándar \(\sigma\) ayuda a interpretar si esa diferencia es pequeña, moderada o grande.
Ejemplo 1: puntaje sobre el promedio
Los puntajes de una prueba se distribuyen aproximadamente de forma normal:
\[ X\sim N(70,8) \]
Un estudiante obtiene \(82\) puntos.
Comparamos el puntaje con la media:
\[ 82-70=12 \]
El puntaje está \(12\) puntos sobre el promedio.
Como la desviación estándar es \(8\), esa diferencia equivale a una vez y media la desviación estándar:
\[ \frac{12}{8}=1{,}5 \]
El valor \(82\) se ubica a la derecha de la media. Esto indica que es un puntaje superior al promedio del grupo.
Ejemplo 2: valor bajo el promedio
Los tiempos de respuesta de una actividad se modelan como:
\[ T\sim N(30,5) \]
Una persona demora \(22\) minutos.
Comparamos con la media:
\[ 22-30=-8 \]
El tiempo está \(8\) minutos bajo el promedio.
Como se trata de tiempo, estar bajo el promedio significa que la persona demoró menos que el tiempo medio.
El valor \(22\) se ubica a la izquierda de la media. En este contexto, representa un tiempo menor al promedio.
Ejemplo 3: misma diferencia, distinta interpretación
Consideremos dos pruebas:
- Prueba A: \(X_A\sim N(60,5)\)
- Prueba B: \(X_B\sim N(60,15)\)
En ambas pruebas, un estudiante obtiene \(75\) puntos.
En ambos casos, el puntaje está sobre el promedio:
\[ 75-60=15 \]
Pero la interpretación cambia por la desviación estándar.
En la Prueba A:
\[ \frac{15}{5}=3 \]
El puntaje está \(3\) desviaciones estándar sobre la media, por lo que es muy alto respecto de ese grupo.
En la Prueba B:
\[ \frac{15}{15}=1 \]
El puntaje está \(1\) desviación estándar sobre la media, por lo que sigue siendo sobre el promedio, pero menos extremo que en la Prueba A.
Idea clave
Decir que un valor está sobre o bajo el promedio es solo el primer paso.
Para interpretar mejor su posición en la distribución normal, también hay que considerar la desviación estándar.
Error frecuente
No todo valor sobre el promedio es necesariamente excepcional.
Un valor apenas mayor que la media puede ser muy común. En cambio, un valor ubicado varias desviaciones estándar sobre la media puede ser poco frecuente.
Ejercicios progresivos a desafiantes
Ejercicio 1: sobre o bajo la media
Una variable se distribuye normalmente con media \(\mu=100\).
Indica si cada valor está sobre, bajo o en el promedio:
- \(x=115\)
- \(x=92\)
- \(x=100\)
Comparamos cada valor con la media \(\mu=100\).
- Como \(115>100\), el valor está sobre el promedio.
- Como \(92<100\), el valor está bajo el promedio.
- Como \(100=100\), el valor coincide con el promedio.
\(115\) está sobre el promedio, \(92\) está bajo el promedio y \(100\) está en el promedio.
Ejercicio 2: diferencia respecto de la media
Los puntajes de una prueba tienen media \(\mu=65\).
Calcula \(x-\mu\) para cada puntaje e interpreta el resultado:
- \(x=72\)
- \(x=58\)
Para \(x=72\):
\[ x-\mu=72-65=7 \]
El puntaje está \(7\) puntos sobre el promedio.
Para \(x=58\):
\[ x-\mu=58-65=-7 \]
El puntaje está \(7\) puntos bajo el promedio.
\(72\) está \(7\) puntos sobre la media y \(58\) está \(7\) puntos bajo la media.
Ejercicio 3: interpretar en contexto
El tiempo de espera en una atención se distribuye aproximadamente de forma normal con media \(18\) minutos.
Una persona espera \(25\) minutos.
- ¿Está sobre o bajo el promedio?
- ¿Qué significa esto en el contexto?
Comparamos el tiempo observado con la media:
\[ 25-18=7 \]
Como la diferencia es positiva, \(25\) minutos está sobre el promedio.
En contexto, esto significa que la persona esperó más que el tiempo promedio de atención.
Está sobre el promedio; la persona esperó \(7\) minutos más que la media.
Ejercicio 4: valores simétricos respecto de la media
Una distribución normal tiene media \(\mu=40\).
Los valores \(34\) y \(46\) están a la misma distancia de la media.
- Verifica esa afirmación con cálculos.
- Indica en qué lado de la campana se ubica cada valor.
Calculamos la distancia de cada valor respecto de la media.
Para \(34\):
\[ 40-34=6 \]
Para \(46\):
\[ 46-40=6 \]
Ambos valores están a \(6\) unidades de la media.
El valor \(34\) está bajo el promedio, por lo que se ubica a la izquierda de la campana.
El valor \(46\) está sobre el promedio, por lo que se ubica a la derecha de la campana.
Son valores simétricos respecto de \(40\): \(34\) a la izquierda y \(46\) a la derecha.
Ejercicio 5: distancia usando desviación estándar
Los puntajes de una prueba se modelan como:
\[ X\sim N(70,10) \]
Un estudiante obtiene \(90\) puntos.
- ¿Cuántos puntos sobre el promedio obtuvo?
- ¿A cuántas desviaciones estándar equivale esa diferencia?
- Interpreta el resultado.
La media es \(\mu=70\) y la desviación estándar es \(\sigma=10\).
Calculamos la diferencia:
\[ 90-70=20 \]
El estudiante obtuvo \(20\) puntos sobre el promedio.
Ahora dividimos esa diferencia por la desviación estándar:
\[ \frac{20}{10}=2 \]
Esto significa que el puntaje está \(2\) desviaciones estándar sobre la media.
El puntaje está \(20\) puntos, o \(2\) desviaciones estándar, sobre el promedio.
Ejercicio 6: corregir una interpretación
Un estudiante afirma: “Si un valor está sobre el promedio, entonces necesariamente es un valor extremo”.
Explica por qué esta afirmación es incorrecta.
La afirmación es incorrecta porque estar sobre el promedio solo significa que el valor es mayor que la media.
Un valor puede estar apenas sobre la media y seguir siendo muy común.
Para saber si un valor es extremo, se debe considerar qué tan lejos está de la media en relación con la desviación estándar.
Por ejemplo, si \(\mu=50\) y \(\sigma=10\), el valor \(52\) está sobre el promedio, pero solo \(2\) unidades sobre la media.
Eso no lo convierte necesariamente en un valor extremo.
Estar sobre el promedio no basta para ser extremo; importa la distancia respecto de la media y la desviación estándar.
Ejercicio 7: caso desafiante
Dos estudiantes obtienen puntajes sobre el promedio en pruebas distintas:
- Estudiante A: obtiene \(78\) puntos en una prueba con \(\mu=70\) y \(\sigma=4\).
- Estudiante B: obtiene \(90\) puntos en una prueba con \(\mu=80\) y \(\sigma=8\).
- ¿Cuántos puntos sobre el promedio obtuvo cada estudiante?
- ¿Cuántas desviaciones estándar sobre la media representa cada puntaje?
- ¿Cuál puntaje es más alto respecto de su propia distribución?
Para el Estudiante A:
\[ 78-70=8 \]
Está \(8\) puntos sobre el promedio.
Como \(\sigma=4\):
\[ \frac{8}{4}=2 \]
Está \(2\) desviaciones estándar sobre la media.
Para el Estudiante B:
\[ 90-80=10 \]
Está \(10\) puntos sobre el promedio.
Como \(\sigma=8\):
\[ \frac{10}{8}=1{,}25 \]
Está \(1{,}25\) desviaciones estándar sobre la media.
Aunque el Estudiante B tiene una diferencia de \(10\) puntos y el Estudiante A de \(8\), el puntaje del Estudiante A es más alto respecto de su propia distribución, porque está a \(2\) desviaciones estándar sobre la media.
El puntaje del Estudiante A es más destacado respecto de su distribución.