Distribución normal y puntaje Z
7. Puntaje Z
Objetivo de aprendizaje
- Comprender el significado del puntaje Z en una distribución normal.
- Calcular el puntaje Z de un valor usando la media y la desviación estándar.
- Interpretar si un valor está sobre, bajo o en el promedio según su puntaje Z.
¿Qué es el puntaje Z?
El puntaje Z indica cuántas desviaciones estándar se encuentra un valor respecto de la media.
Permite expresar la posición de un dato en una escala común, sin depender directamente de las unidades originales.
Por ejemplo, un puntaje \(Z=2\) significa que el valor está \(2\) desviaciones estándar sobre la media.
Fórmula del puntaje Z
Si una variable \(X\) tiene media \(\mu\) y desviación estándar \(\sigma\), el puntaje Z asociado a un valor \(x\) se calcula como:
\[ z=\frac{x-\mu}{\sigma} \]
donde:
- \(x\) es el valor observado.
- \(\mu\) es la media de la distribución.
- \(\sigma\) es la desviación estándar.
Interpretación del signo
- Si \(z>0\), el valor está sobre la media.
- Si \(z<0\), el valor está bajo la media.
- Si \(z=0\), el valor coincide con la media.
Mientras mayor sea el valor absoluto de \(z\), más lejos está el dato respecto de la media.
Ejemplo 1: puntaje sobre el promedio
Los puntajes de una prueba se modelan como:
\[ X\sim N(70,10) \]
Un estudiante obtiene \(85\) puntos. Calculamos su puntaje Z:
\[ z=\frac{x-\mu}{\sigma} \]
\[ z=\frac{85-70}{10} \]
\[ z=\frac{15}{10}=1{,}5 \]
El puntaje está \(1{,}5\) desviaciones estándar sobre la media.
En la normal estándar, este valor se ubica a la derecha del centro, porque \(z\) es positivo.
Ejemplo 2: puntaje bajo el promedio
Los tiempos de espera en una atención se modelan como:
\[ T\sim N(30,5) \]
Una persona espera \(22\) minutos. Calculamos:
\[ z=\frac{22-30}{5} \]
\[ z=\frac{-8}{5}=-1{,}6 \]
El tiempo está \(1{,}6\) desviaciones estándar bajo la media.
Como el puntaje Z es negativo, el valor se ubica a la izquierda del centro de la distribución.
Ejemplo 3: comparar valores de distintas distribuciones
Dos estudiantes obtienen puntajes en pruebas distintas:
- Estudiante A: obtiene \(78\) puntos en una prueba con \(\mu=70\) y \(\sigma=4\).
- Estudiante B: obtiene \(90\) puntos en una prueba con \(\mu=80\) y \(\sigma=8\).
Calculamos el puntaje Z de cada uno.
Para el estudiante A:
\[ z_A=\frac{78-70}{4}=\frac{8}{4}=2 \]
Para el estudiante B:
\[ z_B=\frac{90-80}{8}=\frac{10}{8}=1{,}25 \]
Aunque el estudiante B obtuvo más puntos en términos absolutos, el estudiante A tuvo un resultado más alto respecto de su propia distribución, porque \(2>1{,}25\).
Error frecuente
No se debe interpretar el puntaje Z como si fuera el puntaje original.
El puntaje Z no está en puntos, centímetros, minutos ni kilogramos. Indica distancia respecto de la media medida en desviaciones estándar.
Ejercicios progresivos a desafiantes
Ejercicio 1: calcular un puntaje Z positivo
Una variable se distribuye normalmente con media \(\mu=100\) y desviación estándar \(\sigma=15\).
Calcula el puntaje Z correspondiente al valor \(x=130\).
Usamos la fórmula:
\[ z=\frac{x-\mu}{\sigma} \]
Reemplazamos los datos:
\[ z=\frac{130-100}{15} \]
\[ z=\frac{30}{15}=2 \]
El valor \(130\) está \(2\) desviaciones estándar sobre la media.
El puntaje Z es \(z=2\).
Ejercicio 2: calcular un puntaje Z negativo
Los puntajes de una prueba se modelan con media \(\mu=60\) y desviación estándar \(\sigma=8\).
Calcula el puntaje Z correspondiente al valor \(x=48\).
Aplicamos la fórmula:
\[ z=\frac{x-\mu}{\sigma} \]
Reemplazamos:
\[ z=\frac{48-60}{8} \]
\[ z=\frac{-12}{8}=-1{,}5 \]
El valor \(48\) está \(1{,}5\) desviaciones estándar bajo la media.
El puntaje Z es \(z=-1{,}5\).
Ejercicio 3: interpretar un puntaje Z
Un dato tiene puntaje Z igual a:
\[ z=0{,}75 \]
Interpreta este valor respecto de la media.
Como \(z=0{,}75\) es positivo, el dato está sobre la media.
El número \(0{,}75\) indica la distancia respecto de la media en desviaciones estándar.
Por lo tanto, el dato está \(0{,}75\) desviaciones estándar sobre la media.
El dato está \(0{,}75\) desviaciones estándar sobre la media.
Ejercicio 4: interpretar un valor bajo el promedio
Un dato tiene puntaje Z igual a:
\[ z=-2{,}1 \]
Explica qué significa el signo negativo y qué indica el número \(2{,}1\).
El signo negativo indica que el dato está bajo la media.
El número \(2{,}1\) indica la distancia respecto de la media medida en desviaciones estándar.
Entonces, \(z=-2{,}1\) significa que el dato está \(2{,}1\) desviaciones estándar bajo la media.
Como está a más de dos desviaciones estándar, puede considerarse un valor bastante bajo respecto de la distribución.
Está \(2{,}1\) desviaciones estándar bajo la media.
Ejercicio 5: encontrar el valor original desde \(z\)
Una distribución normal tiene media \(\mu=70\) y desviación estándar \(\sigma=6\).
Un valor tiene puntaje Z igual a \(z=1{,}5\).
Calcula el valor original \(x\).
Partimos desde la fórmula:
\[ z=\frac{x-\mu}{\sigma} \]
Reemplazamos:
\[ 1{,}5=\frac{x-70}{6} \]
Multiplicamos por \(6\):
\[ 1{,}5\cdot 6=x-70 \]
\[ 9=x-70 \]
Sumamos \(70\):
\[ x=79 \]
El valor original es \(x=79\).
Ejercicio 6: corregir un error
Una variable tiene media \(\mu=50\) y desviación estándar \(\sigma=5\). Para \(x=40\), un estudiante calcula:
\[ z=\frac{50-40}{5}=2 \]
Explica el error y calcula el puntaje Z correcto.
El error está en invertir el orden de la resta.
La fórmula correcta es:
\[ z=\frac{x-\mu}{\sigma} \]
Como \(x=40\), \(\mu=50\) y \(\sigma=5\):
\[ z=\frac{40-50}{5} \]
\[ z=\frac{-10}{5}=-2 \]
El valor \(40\) está \(2\) desviaciones estándar bajo la media, por eso el puntaje Z debe ser negativo.
El puntaje Z correcto es \(z=-2\).
Ejercicio 7: caso desafiante
Dos postulantes rinden evaluaciones distintas:
- Postulante A: obtiene \(86\) puntos en una evaluación con \(\mu=75\) y \(\sigma=5\).
- Postulante B: obtiene \(92\) puntos en una evaluación con \(\mu=80\) y \(\sigma=8\).
- Calcula el puntaje Z de cada postulante.
- Indica cuál tuvo mejor desempeño relativo respecto de su propia evaluación.
- Explica por qué no basta comparar los puntajes originales.
Para el postulante A:
\[ z_A=\frac{86-75}{5} \]
\[ z_A=\frac{11}{5}=2{,}2 \]
Para el postulante B:
\[ z_B=\frac{92-80}{8} \]
\[ z_B=\frac{12}{8}=1{,}5 \]
Como \(2{,}2>1{,}5\), el postulante A tuvo mejor desempeño relativo respecto de su propia evaluación.
No basta comparar los puntajes originales porque las evaluaciones tienen medias y desviaciones estándar distintas. El puntaje Z permite comparar considerando el contexto de cada distribución.
\(z_A=2{,}2\), \(z_B=1{,}5\). El mejor desempeño relativo corresponde al postulante A.