Distribución normal y puntaje Z
8. Estandarización
Objetivo de aprendizaje
- Comprender la estandarización como el proceso de transformar un valor normal en puntaje Z.
- Convertir valores e intervalos de una distribución normal cualquiera a la normal estándar.
- Interpretar eventos equivalentes entre \(X\) y \(Z\).
¿Qué significa estandarizar?
Estandarizar significa transformar un valor \(x\), que pertenece a una distribución normal con media \(\mu\) y desviación estándar \(\sigma\), en un puntaje Z.
Este proceso permite expresar el valor original según cuántas desviaciones estándar está sobre o bajo la media.
Después de estandarizar, se trabaja con la normal estándar, que tiene media \(0\) y desviación estándar \(1\).
Transformación a puntaje Z
Si:
\[ X\sim N(\mu,\sigma) \]
entonces el valor estandarizado se calcula mediante:
\[ Z=\frac{X-\mu}{\sigma} \]
La variable \(Z\) sigue una distribución normal estándar:
\[ Z\sim N(0,1) \]
Idea clave
La estandarización permite cambiar una pregunta sobre \(X\) por una pregunta equivalente sobre \(Z\).
Por ejemplo:
\[ P(X<85)=P\left(Z<\frac{85-\mu}{\sigma}\right) \]
Este paso será fundamental para usar la tabla normal estándar.
Ejemplo 1: estandarizar un valor
Los puntajes de una prueba se modelan como:
\[ X\sim N(70,10) \]
Un estudiante obtiene \(85\) puntos. Queremos estandarizar ese valor.
Usamos la fórmula:
\[ z=\frac{x-\mu}{\sigma} \]
Reemplazamos:
\[ z=\frac{85-70}{10} \]
\[ z=\frac{15}{10}=1{,}5 \]
Entonces, el puntaje \(85\) equivale a \(z=1{,}5\) en la normal estándar.
En la escala original, el valor \(85\) está a la derecha de la media \(70\).
En la escala estandarizada, el mismo punto corresponde a \(z=1{,}5\).
Por lo tanto:
\[ P(X<85)=P(Z<1{,}5) \]
Ejemplo 2: estandarizar un intervalo
Sea:
\[ X\sim N(70,10) \]
Queremos transformar el evento:
\[ 60
Estandarizamos cada extremo del intervalo.
Para \(x=60\):
\[ z=\frac{60-70}{10}=\frac{-10}{10}=-1 \]
Para \(x=80\):
\[ z=\frac{80-70}{10}=\frac{10}{10}=1 \]
Entonces:
\[ P(60
Ambas zonas representan la misma probabilidad, pero expresada en escalas distintas.
Ejemplo 3: interpretar una estandarización
Los tiempos de espera se modelan como:
\[ T\sim N(30,5) \]
Una persona espera \(22\) minutos.
Calculamos su puntaje Z:
\[ z=\frac{22-30}{5}=\frac{-8}{5}=-1{,}6 \]
Esto significa que \(22\) minutos está \(1{,}6\) desviaciones estándar bajo la media.
Además, el evento:
\[ P(T<22) \]
se puede escribir como:
\[ P(Z<-1{,}6) \]
Esto permite consultar la probabilidad en una tabla normal estándar.
Error frecuente
No se debe olvidar restar la media antes de dividir por la desviación estándar.
La fórmula correcta es:
\[ z=\frac{x-\mu}{\sigma} \]
No corresponde calcular \(\frac{x}{\sigma}-\mu\), ni dividir solo el valor original por la desviación estándar.
Ejercicios progresivos a desafiantes
Ejercicio 1: estandarizar un valor sobre la media
Una variable se distribuye normalmente con media \(\mu=80\) y desviación estándar \(\sigma=6\).
Estandariza el valor \(x=92\).
Usamos la fórmula:
\[ z=\frac{x-\mu}{\sigma} \]
Reemplazamos:
\[ z=\frac{92-80}{6} \]
\[ z=\frac{12}{6}=2 \]
El valor \(92\) está \(2\) desviaciones estándar sobre la media.
El valor estandarizado es \(z=2\).
Ejercicio 2: estandarizar un valor bajo la media
Los puntajes de una prueba tienen media \(\mu=60\) y desviación estándar \(\sigma=8\).
Estandariza el valor \(x=54\).
Aplicamos la fórmula:
\[ z=\frac{x-\mu}{\sigma} \]
Reemplazamos:
\[ z=\frac{54-60}{8} \]
\[ z=\frac{-6}{8}=-0{,}75 \]
El valor \(54\) está \(0{,}75\) desviaciones estándar bajo la media.
El valor estandarizado es \(z=-0{,}75\).
Ejercicio 3: transformar una probabilidad acumulada
Sea:
\[ X\sim N(65,5) \]
Transforma el evento \(P(X<75)\) a una probabilidad equivalente usando \(Z\).
Debemos estandarizar el valor \(75\).
Usamos:
\[ z=\frac{x-\mu}{\sigma} \]
Reemplazamos:
\[ z=\frac{75-65}{5} \]
\[ z=\frac{10}{5}=2 \]
Por lo tanto, el evento:
\[ P(X<75) \]
es equivalente a:
\[ P(Z<2) \]
\(P(X<75)=P(Z<2)\).
Ejercicio 4: estandarizar un intervalo
Sea:
\[ X\sim N(100,15) \]
Transforma el evento:
\[ 85
a una expresión equivalente con \(Z\).
Estandarizamos ambos extremos.
Para \(x=85\):
\[ z=\frac{85-100}{15} \]
\[ z=\frac{-15}{15}=-1 \]
Para \(x=130\):
\[ z=\frac{130-100}{15} \]
\[ z=\frac{30}{15}=2 \]
Por lo tanto:
\[ P(85
El intervalo estandarizado es \(-1
Ejercicio 5: volver desde \(Z\) al valor original
Una distribución normal tiene media \(\mu=50\) y desviación estándar \(\sigma=4\).
Un valor tiene puntaje Z igual a:
\[ z=-1{,}5 \]
Calcula el valor original \(x\).
Partimos de la fórmula:
\[ z=\frac{x-\mu}{\sigma} \]
Reemplazamos:
\[ -1{,}5=\frac{x-50}{4} \]
Multiplicamos por \(4\):
\[ -1{,}5\cdot 4=x-50 \]
\[ -6=x-50 \]
Sumamos \(50\):
\[ x=44 \]
El valor original es \(x=44\).
Ejercicio 6: corregir una estandarización
Sea \(X\sim N(40,5)\). Para \(x=55\), un estudiante escribe:
\[ z=\frac{55}{5}-40=-29 \]
Explica el error y calcula el valor correcto de \(z\).
El error está en aplicar incorrectamente la fórmula.
Primero se debe restar la media al valor observado, y luego dividir por la desviación estándar:
\[ z=\frac{x-\mu}{\sigma} \]
En este caso:
\[ z=\frac{55-40}{5} \]
\[ z=\frac{15}{5}=3 \]
El valor \(55\) está \(3\) desviaciones estándar sobre la media.
El puntaje Z correcto es \(z=3\).
Ejercicio 7: caso desafiante
La masa de cierto producto se modela como:
\[ X\sim N(500,20) \]
Un producto se considera aceptable si su masa está entre \(470\) g y \(530\) g.
- Estandariza ambos límites.
- Escribe el evento de aceptación usando \(Z\).
- Interpreta los puntajes Z obtenidos.
Estandarizamos el límite inferior \(470\):
\[ z=\frac{470-500}{20} \]
\[ z=\frac{-30}{20}=-1{,}5 \]
Estandarizamos el límite superior \(530\):
\[ z=\frac{530-500}{20} \]
\[ z=\frac{30}{20}=1{,}5 \]
El evento de aceptación:
\[ 470
se transforma en:
\[ -1{,}5
Esto significa que un producto aceptable tiene una masa ubicada entre \(1{,}5\) desviaciones estándar bajo la media y \(1{,}5\) desviaciones estándar sobre la media.
El evento estandarizado es \(P(-1{,}5